如何理解“求捆瓶子中繩長”問題中的圓弧拼合部分

顏麗霞

《教學月刊·小學版》（數學）2023年第10期刊登了《如何更好地解決“求捆瓶子中繩長”問題》一文，該文有許多可圈可點之處。然而，文章在求捆三個圓柱形瓶子的繩長（如圖1）時，選擇直接告訴學生三角形的每個內角為60°，三角圓弧所對應的圓心角為120°，這一做法存在一定的問題。經筆者研究發現，許多學生在理解如何確定三角形每個內角為60°以及每條圓弧所對應的圓心角為120°等方面存在困難。此外，理解“三條圓弧的長度之和等于一個圓的周長”這一規律，對學生來說也有較大難度。為幫助學生解決這些難點問題，可以采用以下教學過程。

一、動態感知，想象移拼

教師呈現示意圖（如圖2），要求學生自主操作，用筆尖代替圖中的箭頭，從起點開始轉一周，描出捆三個圓柱形瓶子的繩長，邊描邊思考，圓弧部分拼成了什么圖形？

學生獨立完成操作后反饋：筆尖從起點出發，沿著箭頭轉一周，發現筆尖所經過圓弧部分的路徑恰好為一個圓形。因此，圓弧部分拼起來的長度正好為圓的周長。

二、畫圖表征，推理說明

教師出示圖3，讓學生獨立嘗試畫分割線。

學生獨立嘗試后，教師直觀演示畫圖方法：將相鄰兩個圓的圓心連接，得到一條線段。分別通過這兩個圓心作這條已知線段的垂線（即圓的半徑），并連接半徑與圓相交的兩點，從而得到繩子的線段部分，從而將繩子分為圓弧和直線兩部分（如圖1）。

接著引導學生思考：（1）連接相鄰兩個圓的圓心所形成的線段長度是多少？（2）圓弧部分有什么特點，拼起來是什么圖形？

學生獨立思考后，進行全班交流。

（1）觀察經分割后的線段，連接相鄰兩個圓的圓心所形成的線段由兩條半徑構成，其長度相當于一個圓的直徑。

（2）圖1中，三個圓的圓心兩兩相連，構成三條線段。這三條線段長度相等，形成了一個等邊三角形，每個內角均為60°。

（3）在分割過程中，通過圓心作圓心連線的垂線，夾角為90°。因此，繩子的線段部分、相鄰兩個圓心間的連線以及兩條垂線（即圓的兩條半徑）共同構成一個長方形，內角為90°。

根據以上信息，可以推斷每個圓內圓弧部分所對的圓心角為：360°-90°-90°-60°=120°。因此，每段圓弧的長度為一個圓周長的[13]，即120°÷360°=[13]。分割后有三段圓弧，合起來恰好是一個圓的周長。

（浙江省杭州市臨平區崇賢第一小學）