一道三角恒等變換高考試題的變式探索和教學研究

項怡芳

【摘? 要】? 本文主要介紹了一道三角恒等變換高考試題，通過核心素養分析、變式探究和教材的關聯性進行了深度分析，最后，文章給出了在實際教學中變式教學的相關建議.

【關鍵詞】? 恒等變換；高考試題；多維探究

三角函數求值問題一直是高考試題中的一道常考類型試題，考試難度一般屬于中檔難度，類型考查靈活，需要考生具有較強的邏輯思維能力和轉化劃歸能力.此類試題主要呈現的形式有三類，分別為給值求值、給角求值和給值求角[1]，在解決這類問題時，如果遇到的角度為非特殊角時，一般需要利用三角函數的周期性或者誘導公式進行轉化求解；如果給出的角度不同時，一般要通過三角函數的和差倍角關系將不同的角度轉化為同一角度進行解決.接下來，我們通過一道高考試題進行分析，并通過此試題對所給真題進行變式研究，給出不同視角下的三角恒等變換問題，最后將此類試題與教材的關聯性進行分析，給出教學意見.

1? 真題解析

評注? 對于給值求值問題要觀察已知的條件和所求式子之間的關系，并觀察角度之間的聯系，通過對所給式子進行化簡比較，利用兩角和差公式和二倍角公式即可求解.

2? 素養分析

此題主要考查了兩角和差公式和二倍角公式，主要涉及的數學核心素養有數學運算、邏輯推理和數學建模，下面通過具體點對這些素養進行剖析.

數學運算：此題的求解對數學運算的要求相對不高，需要學生能夠正確的對分式和乘方進行正確運算即可.

數學建模：三角函數中的角度變換模型是恒等變換問題中的一類經典問題，學生需要抓住角度間的差異進行靈活處理.

3? 題目探源

本道高考試題在多個版本教材中均有體現，下面舉出具體的幾個例子，例如：在新教材人教A版第229頁第9題與該題條件相似，結論稍做了改變，新教材北師大版第153頁B組第3題與該題均為給定兩個條件，求解三角函數值的問題，其中一個條件相同，新教材人教B版第110頁第6題，設置條件，求解角度均相同，分別考查了兩角和差公式和二倍角公式.具體題目如下：

因此在實際教學過程中，對教材中的例題、習題都需要按質按量的完成，在教學中也可以按照一題一課的模式進行講解，即以一道母題為原題進行變式教學，而變式出來的習題恰好為本節課所要學習的內容.這里需要強調的還有課后的閱讀材料也是相當重要的內容，通過對高考試題研究，不難發現，很大一部分高考真題的素材來源均取自這里.

4? 教學探究

三角恒等變換是三角函數板塊中一類非常重要的內容，它所呈現出最突出的特點就是靈活，在實際解題時我們常常需要利用一定的變式技巧，從而對所給的三角函數式子進行化簡或證明一些等式，也正因為此知識所具備的這些特點，這類知識則更適用于變式教學，下面我們就具體的問題展開深入討論[2].

4.1? 以基本恒等變換公式為導向，推導變式

在學習三角恒等變換公式中的兩角和差公式和二倍角公式時，首先，應該引導學生熟練掌握三角恒等變換的基本公式，但在解決具體問題時，這些公式是遠遠不夠的，這時則需要利用逆向思想，學會利用變形公式進行求解，例如題目給出的是二倍角，要求解決的是一倍角，則就需要利用二倍角公式的變形公式進行求解.

4.2? 以例演化

通過演示簡單的例子，幫助學生理解三角恒等變換的應用.在選題時，難度不應太大，但邏輯要相對緊密，這有助于學生敏捷性思維的形成.如：已

評注? 本題在原有的命題基礎上改變了命題條件，原題需要利用兩角和差的正弦公式，此題需要借助兩角和差的余弦公式進行求解.

評注? 本題依然是給值求值問題，但不同的是本題對兩角和差公式的運用更加靈活，需要學生先對所給的兩個等式進行平方，再通過觀察平方后的式子，對比所求的表達式，借助兩角差的正弦公式的逆過程進行破解.

評注? 本題仍然是給值求值問題，題目的設置依然為已知兩個條件，求解三角函數的值，在這里除了利用兩角差的正弦、余弦公式外，還需掌握兩角差的正切公式.

點評? 本題是一道給值求角問題，解題時需要通過輔助角公式和誘導公式進行轉化，最終變為同名函數的兩個三角函數值相等，進而確定角度.

4.3? 設置項目式學習

鼓勵學生進行積極性探索，通過嘗試利用不同的方法解決三角恒等變換問題，并發現它們之間的關系和應用方法.設計各種類型的學習任務，以滿足學生的不同需求和能力水平.這些任務可以包括問題解決、實驗探究、小組合作、項目制作等.通過多樣化的任務，可以激發學生的興趣和主動性，并促進他們的學習和發展.

在實際教學過程中，采用變式教學策略時，還可以通過提供不同的教學資源，設置個性化學習和小組合作學習模式進行優化教學方案.比如給學生提供不同的教科書、工作簿、多媒體資料、互動模擬軟件、在線課程等.這些資源可以根據學生的學習風格和需求進行選擇，以便他們以不同的方式獲取知識和信息.根據學生的不同需求和能力，提供個性化的學習支持和指導.這可以包括一對一輔導、個別指導、學習計劃的調整等.通過個性化學習，可以更好地滿足學生的學習需求，幫助他們充分發揮潛力和提高學習成果.除此之外，教師還可以組織學生進行小組合作學習，這樣的實施不僅能夠促進學生的團隊合作意識和提升學生解決問題的能力，還能夠通過討論和分享增強自我的學習能力.在教學中，教師需要根據實際教學情況及時跟進，了解學生的學習動態，不斷優化教學方法改進教學策略，在平時過程中多關注學生的課堂反應和作業完成情況及正確率等，及時設置合理的評價體系，進而促進學生的全方位學習.

總的來說，通過逐步引入基本恒等變換、對所學的基本公式進行變換推導、通過變換例題強調三角恒等變換公式的靈活應用、設置項目式學習、構建實踐和應用培養學生的創造性思維，都能夠較好的幫助學生理解和靈活應用三角恒等變換的解題策略，這樣完整的教學體系能夠有力的幫助學生較好的學習高中的整個教學內容.接下來我們就三角恒等變換問題給出幾道預測試題.

5? 結語

變式教學是一種教學方法，旨在通過提供多樣化的學習體驗和任務來滿足不同學生的學習需求和提高他們的學習成果.變式教學通過提供多樣化的教學資源、學習任務、評估方式，組織小組合作學習，實施個性化學習以及提供及時反饋和調整，可以更好地滿足學生的學習需求，促進他們的全面發展和學習成果.本文通過一道高考試題進行分析，并根據原有真題進行變式演練，通過設置合理的變式條件，給出了不同的變式題型，然后與不同教材進行了對比研究，發現了高考試題與教材是緊密聯系的，最后，文章給出了變式技巧在教學中的應用并給出了相關變式技巧和教學建議，以供讀者在實際教學中提供參考依據.

參考文獻：

[1]陳國林.三角問題靈活多變，多維探究發散思維[J].廣東教育：高中版，2020（11）：22-24

[2]黃蓓.變式教學策略在高三數學復習中的實施[J].教育導刊：上半月， 2013（6）：74-77.