“胡不歸”問題的跨學科領域解決策略

【摘要】“胡不歸”問題考查學生對知識的綜合運用能力，是近些年各省市中考命題的重要考點.文章以豐富的實例，闡明了利用光程最短原理，從研究光的運動方向和運動路徑著手，結合構造含特殊角的直角三角形，使“胡不歸”問題的研究更加直觀、形象，研究過程更簡便、快捷，更容易被學生理解和接受，同時有利于學生形成運用跨學科知識解決問題的意識，逐步提升學生的學科核心素養.

【關鍵詞】光程最短原理;胡不歸問題;解決策略

0前言《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出：“設立跨學科主題學習活動，加強學科間相互關聯，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，帶動課程綜合化實施，強化實踐性要求.感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，提高發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力.”[1]

在初中數學解題教學中，通過與其他學科領域的聯系，可以幫助學生更好地理解數學本身，培養學生更加全面解決問題的能力[2].這既是落實數學課程標準的需要，也有利于學生形成運用跨學科知識解決問題的意識，逐步提升學生的學科核心素養，同時在某些情況下還能取得意想不到的教學效果[3].

平面幾何中著名的“胡不歸”問題注重考查學生對知識的綜合運用能力，雖然主要考“垂線段最短”這個比較簡單的知識點，但由于涉及動點和需要構造含特殊角的直角三角形，是近些年各省市中考命題的重要考點之一，學生研究起來普遍感覺很吃力、很困難，得分率一直不高.以前的教學，我們通常直接給學生講，需要在什么點、在哪一側構造含特殊角的直角三角形，更多的讓學生在記憶的基礎上勉強得出答案.而對于為什么要這樣構造，由于學生尚處于初中階段，還沒有學習高中數學中的向量，對這類問題的理解存在認識上的一些天生不足，教師講解很少，即使有些同學知道怎么做才對，可能也是知其然而不知其所以然，學生根本無法真正理解和掌握.

光程最短原理是由法國數學家費馬提出來的，是一個物理學上面的知識.光沿直線傳播，光程是光運動的最短路徑，是初二上期就學習的內容.利用光程最短原理，從研究光的運動方向和運動路徑入手，結合構造含特殊角的直角三角形研究“胡不歸”問題，會有意想不到的作用和效果.1利用光程最短原理解決“胡不歸”問題

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，Q為線段AC上一動點，試求BQ+12AQ的最小值.

簡析本題的難點有兩個：一是引導學生構造含30°角的直角三角形，從而構造線段12AQ；二是在什么地方構造含30°角的直角三角形，為什么在∠BAC的頂點A處構造？為什么在∠BAC的邊AC的右側而不是左側？

由于點B為定點，雖然點Q為動點，但線段BQ的系數為1，所以線段BQ不需要構造.我們不妨引導學生在線段AC上任選一點Q，假設光從點B出發，先到達線段AC上的點Q，然后從點Q到達點A.如圖2，我們把光的運動方向和運動路徑畫出來后，根據光程最短原理，可以發現解這道題的關鍵在于構造線段12AQ，即用一條從點Q出發的新線段來代替12AQ，且保證這條新線段與12AQ相等同時新線段的運動方向與BQ運動方向更接近于一條直線.很顯然，需要在∠BAC的頂點A處和邊AC的右側構造一個含30°角的直角三角形.我們以A為頂點、AC為邊作∠CAM=30°，然后過點Q作QD⊥AM交AM于點D，則QD=12AQ且點Q到點D的運動方向比點Q到點A的運動方向與點B到點Q的運動方向更接近于一條直線.由于點B為定點，射線AM為確定射線，根據垂線段最短，我們過點B作BE⊥AM交AM于點E.因為BQ+12AQ=BQ+QD，所以BQ+12AQ的最小值為線段BE的長，所求符合條件的點Q為線段BE與AC的交點.在Rt△BAE中，∠AEB=90°，∠BAE=60°，AB=2，則BE=3，即BQ+12AQ的最小值為3.

通過此題的學習，學生很容易明白：因為30°的正弦是12，所以需要構造含30°角的直角三角形.通過畫出光的運動路徑和運動方向，學生也很容易弄懂為什么要在∠BAC的頂點A處和邊AC的右側而不是左側構造.

例2如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB=10，Q為線段AC上一動點，試求2BQ+AQ的最小值.

簡析因為2BQ+AQ=2（BQ+22AQ），不妨在線段AC上任選一點Q，假設光從點B出發，先到達線段AC上的點Q，然后從點Q到達點A.如圖4，我們把光的運動方向和運動路徑畫出來后，我們發現解這道題的關鍵在于構造線段22AQ，即用一條從點Q出發的新線段來代替22AQ，且保證這條新線段與22AQ相等同時新線段的運動方向與BQ運動方向更接近于一條直線.我們以A為頂點、AC為邊作∠CAM=45°，然后過點Q作QE⊥AM交AM于點E，則QE=22AQ且點Q到點E的運動方向比點Q到點A的運動方向與點B到點Q的運動方向更接近于一條直線.由于點B為定點，射線AM為確定射線，根據垂線段最短，我們過點B作BF⊥AM交AM于點F.因為BQ+22AQ=BQ+QE，所以BQ+22AQ的最小值為線段BF的長，所求符合條件的點Q為線段BF與線段AC的交點.在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=60°，AB=10，則BF=53，即BQ+22AQ的最小值為53，所以2BQ+AQ的最小值為56.

例3如圖5，在正方形ABCD中，AB=2，點P是對角線BD上一動點，若PA+PB+PC的值最小，試求點P的位置及PA+PB+PC的最小值.

簡析本題除了可以運用解決“費馬點”問題的方法解答外，也可以利用解決“胡不歸”問題的方法解答.由正方形的軸對稱性可知：PA=PC，則PA+PB+PC=2PA+PB=2（PA+12PB）.

不妨在線段BD上任選一點P，假設光從點A出發，先到達線段BD上的點P，然后從點P到達點B.如圖6，我們把光的運動方向和運動路徑畫出來后，我們發現解這道題的關鍵仍然在于構造線段12PB，即用一條從點P出發的新線段來代替12PB，且保證這條新線段與12PB相等同時新線段的運動方向與AP運動方向更接近于一條直線.我們可以以B為頂點、BD為邊作∠DBM=30°，然后過點P作PE⊥BM交BM于點E，則PE=12PB且點P到點E的運動方向比點P到點B的運動方向與點A到點P的運動方向更接近于一條直線.由于點A為定點，射線BM為確定射線，根據垂線段最短，我們過點A作AF⊥BM交AM于點F.因為PA+12PB=PA+PE，所以PA+12PB的最小值為線段AF的長，所求符合條件的點P為線段AF與線段BD的交點.在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠ABF=75°，AB=2，則AF=6+22，即PA+12PB的最小值為6+22，所以PA+PB+PC的最小值為6+2.

例4如圖7，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為線段CD上一動點，試求PB+32PD的最小值.

簡析以D為頂點、DP為邊作∠CDM=60°，然后過點P作PE⊥DM交DM于點E.因為sin60°=32，則PE=32PD且點P到點E的運動方向比點P到點D的運動方向與點B到點P的運動方向更接近于一條直線.由于點B為定點，射線DM為確定射線，根據垂線段最短，我們過點B作BF⊥DM交DM于點F，如圖8.因為PB+32PD=PB+PE，所以PB+32PD的最小值為線段BF的長，所求符合條件的點P為線段BF與線段CD的交點.易證點A，D，E在同一直線上，在Rt△BAF中，∠BFA=90°，∠BAF=60°，AB=6，則BF=33，即PB+32PD的最小值為33.

例5如圖9，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，AD⊥BC于點D，點M是AD上一點，則BM+35AM的最小值為________.

簡析以A為頂點、AD為邊作∠DAG交BC于點G，使sin∠DAG=35，然后過點M作ME⊥AG交AG于點E.因為sin∠DAG=35，則ME=35AM且點M到點E的運動方向比點M到點A的運動方向與點B到點M的運動方向更接近于一條直線.由于點B為定點，線段AG為確定線段，根據垂線段最短，我們過點B作BF⊥AG交AG于點F.因為BM+35AM=BM+ME，所以BM+35AM的最小值為線段BF的長，所求符合條件的點M為線段BF與線段AD的交點.利用等面積法，易求BF=7，即BM+35AM的最小值為7.2利用光程最短原理解決“胡不歸”問題的主要解題步驟

通過上述實例，可以得出“胡不歸”問題的主要解題步驟如下：

一找：找帶有系數k的線段ka；若k>1，則將ka+b轉化為k（a+1kb）；

二構：畫出光的運動路徑和運動方向，確定在哪一點（含系數線段的定點）和哪一側（不含系數線段定點的異側）構造特殊角，使構造的特殊角的正弦=k（01）；過動點作垂線構造Rt△;哪條線段帶有系數，就以它為斜邊構造直角三角形；

三化：將線段ka轉化為線段c；

四求：使得ka+b=c+b，利用“垂線段最短”轉化為求相應垂線段的長度.

利用光程最短原理，結合構造含特殊角的直角三角形研究“胡不歸”問題，從研究光的運動方向和運動路徑入手，使“胡不歸”問題的研究更加直觀、形象，研究過程更簡便、快捷，也更容易被學生理解和掌握，能較大幅度地提高課堂教學效益.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：人民教育出版社，2022.4：78-88.

[2]孫曉天.如何理解和把握作為核心素養的數學思維：《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的“三會”視角下[J].教育研究與評論，2022（05）：35-40.

[3]劉加霞，劉琳娜.“綜合與實踐”領域的主旨、特征與實施建議：《義務教育數學課程標準（2022年版）》內容解讀[J].湖北教育（教育教學），2022（06）：8-10.

作者簡介

黃樹明（1972—），男，重慶江津人，高級教師;主要研究跨學科領域的初中數學解題教學.