指向初高銜接的初中函數解題教學實踐與思考

毛巾鈞 陳秋曉

【摘要】函數作為初中和高中的重點教學內容之一，具備一定的延續性、階段性和差異性.學業質量評價關注小初高銜接和教學內容的整體把握，而目前初中函數解題教學的內容和難度的把握存在一定的爭議.以2023年無錫市中考試題第28題的解析（宏觀、中觀、微觀點評分析）為例，提出指向初高銜接的初中函數解題教學應從以下4個方面展開：1.加強作圖能力的培養，發展空間觀念；2.注重幾何圖形的構造，發展幾何直觀；3.關注核心知識的關聯，發展推理能力；4.巧用解析幾何的方法，發展運算能力，從而促進思維品質的提升，落實核心素養的培育，形成初高有效且高效的銜接.

【關鍵詞】初高銜接；初中函數；解題教學

1問題的提出

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確提出，數學課程內容由數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個學習領域組成，其中初中階段數與代數領域包括“數與式”“方程與不等式”和“函數”三個主題[1].“函數”作為初中階段數與代數領域最高層次的學習內容，主要研究變量之間的關系，探索事物變化的規律，借助“數與式”這一基本的代數語言，可以進一步認識方程和不等式，函數可謂是數與式、方程與不等式的進階.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出，高中數學課程內容要突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與探究活動四條主線[2]，函數也是高中數學課程的核心內容之一.因此，從初中與高中的數學課程標準來看，函數作為課程標準中的主要且重要的主題內容，有效并高效地銜接顯得尤為重要.

初中函數作為解析幾何的初步，是重點也是難點，既有其初中特征又要銜接高中能力的要求，因而在核心素養的培育目標下，解題教學中如何選擇恰當的適宜初中學生理解和掌握的方法十分重要.目前在一線教學中存在超前教學、要求拔高、結論強記等現象，如何把握函數解題教學的尺度，如何做好有效的初高銜接是諸多一線教師的困惑所在.筆者認為，初中函數相比高中函數而言，形更重于數，初中函數教學應著力發展數形結合、以數輔形的能力，研究函數中的圖形變化問題更重于研究函數本身.筆者以2023年無錫中考試題壓軸題（第28題）的解析為例，展開指向初高銜接的函數解題教學的實踐與思考.

2原題再現一題多法

原題再現（2023江蘇無錫中考題第28題）已知二次函數y=22（x2+bx+c）的圖象與y軸交于點A，且經過點B（4，2）和點C（-1，2）.

（1）請直接寫出b，c的值；

（2）直線BC交y軸于點D，點E是二次函數y=22（x2+bx+c）圖象上位于直線AB下方的動點，過點E作直線AB的垂線，垂足為F.

①求EF的最大值；

②若△AEF中有一個內角是∠ABC的兩倍，求點E的橫坐標.

試題分析此題為2023年無錫市中考數學試題第28題，為壓軸題，根據無錫市中考數學歷年真題分析，二次函數題的位置一向位于解答題的最后兩題之一，考查綜合運用代數函數知識、幾何圖形知識等解決問題的能力.與以往略有不同之處在于本題條件中未給出示意圖形，即要求學生根據條件自行畫圖，一定程度上加大了此題的分析和解題難度，也拉長了本題的解題時間，且同時考查學生的審題能力、幾何分析、幾何作圖能力.此題第（1）題較為基礎，易得b=-3，c=-2，以下就第（2）題的第①問展開一題多法和點評分析.至于第（2）題的第②問，根據本文需要，不作具體分析，留待后續再展開研究.

一題多法

解法1如圖1，作EM∥y軸交AB于點M，易證△ABD∽△MEF，

由相似的性質可得EF=63ME，

由待定系數法求出直線AB對應的函數表達式為y=22x-2，

根據點E在拋物線上，可設點E（t，22t2-322t-2），

則點M（t，22t-2），得EM=-22t2+22t，

運用求二次函數最值的方法（配方法或頂點公式），

當t=2時，EM最大值=22，則EF最大值=433.

解法2如圖2，作EM∥y軸交AB于點M，連接AE，BE，

由S△ABE=12AB·EF=12ME·xB-xA，得EF=63ME，

根據解法1，先求ME最大值，再得EF最大值=433.[TS（1][JZ][HTK]圖2圖3[TS）]

解法3如圖3，作ET∥AB，根據解法1可得，

直線AB對應的函數表達式為y=22x-2.

根據ET∥AB，可設直線ET對應的函數表達式為y=22x+n.

由EF最大時，可得此時直線ET與拋物線有唯一公共點，

因而y=22（x2-3x-2），y=22x+n，有唯一解，即消去y后得關于x的一元二次方程：22（x2-3x-2）=22x+n有兩個相等的實數根，所以根的判別式為0，得n=-32，

則ET對應的函數表達式為y=22x-32，根據高中解析幾何知識——平行線間的距離公式，可得-32+2222+12，求出此時EF=433.

解法4如圖4，由解法1可得，

直線AB對應的函數表達式為y=22x-2，

設E（t，22t2-322t-2），根據高中解析幾何知識——點到直線的距離公式，可得

EF=22t-（22t2-322t-2）-2222+12，運用配方法或頂點公式，求得EF最大值=433.

解法5如圖4，根據解法1設點E（t，22t2-322t-2），根據高中解析幾何知識——若兩條直線互相垂直，則兩條直線斜率乘積為-1，表示出直線EF對應的函數表達式（含字母參數t），由直線EF和直線AB的的函數表達式，求出交點F的坐標（含字母參數t），再運用高中解析幾何知識——兩點間距離公式，表示EF，再用配方法或頂點公式，求出EF的最大值.（簡要說明：此法運算量太大，對含字母參數的運算要求非常高，因篇幅有限，故在此簡要表示解題思路，確有同學采取此法，但能順利做完且做對者少之甚少.）

點評分析

1.宏觀分析——站高位，厘思路

初中階段線段的最值問題求解通常分為兩種：

第一種：一定一動（即線段的兩個端點為一定點和一動點）.常規解法：尋找動點的運動軌跡（初中階段通常為直線或圓弧），利用基本事實（兩點之間線段最短）或基本結論（垂線段最短）尋找特殊位置后進行求解，以形定數，俗稱“幾何法”.

第二種：兩動（即線段的兩個端點都為動點）.常規解法：尋找兩個動點的運動軌跡，如果可以轉化為第一種（一定一動），則用第一種方法求解；如果無法轉化，則利用平面直角坐標系，設點坐標（含字母參數），根據點坐標表示線段長度（含字母參數），通過代數計算的方法求最值，以算定形，俗稱“代數法”.

2.中觀評析——辨方法，明得失

解法1和解法2是初中二次函數中求解線段最值的兩種常規解法.解法1采用平面直角坐標系中常規的線段問題的求解方法——化斜為直，將線段的長度轉化為坐標之差，利用三角形相似得到EF和EM的數量關系，進而運用常規的配方法或頂點公式求出最值.解法2與解法1的相通之處在于化斜為直，即將線段長轉化為坐標之間的關系，不同之處在于利用三角形的等面積法得到EF和EM的數量關系.解法1和解法2，均借助幾何圖形的特殊性（三角形相似、三角形的等面積法等），采用化斜為直這一常規的解題方法，將線段長度表示為坐標之差，然后運用二次函數的最值求解方法進行求解，從形入手將非常規轉化為常規，結合函數中點的坐標的表示，容易求解.

解法3、解法4和解法5均涉及高中解析幾何中的一些知識點（平行線間的距離公式、點到直線的距離公式、兩點間距離公式、互相垂直的直線斜率互為負倒數等），此法均需設字母參數，利用相關公式直接表示線段，雖思維含量不高，看似不難，但運算量很大，尤其解法5對含字母參數的運算要求非常高.其中解法3，涉及直線與拋物線相切（有唯一公共點），借助一元二次方程的根的情況進行求解，對數形結合的理解要求很高.此外，這3種解法均涉及高中解析幾何的一些公式，部分同學對公式一知半解或者生搬硬套公式，因對公式不夠理解或者未達高階思維層次，所以公式運用不熟練或有錯誤，加上含參字母的運算要求又很高，因而采用這3種解法的完成率和正確率都較低.

3.微觀解析——晰本質，掌核心

回顧本題條件和問題，明晰本質為首要.求線段的最值為初中函數教學中常見的一種類型，此題的線段兩個端點均為動點，主動點為在部分拋物線（二次函數圖象上位于直線AB下方）上運動的點E，從動點為由點E向直線AB作垂線而得的垂足F，其運動軌跡為直線AB上的部分線段.對于兩個動點的線段的最值的求解，常用的方法為“代數法”，即設字母參數表示線段長度，構建線段長度的函數模型，通過求解函數的最值解決線段長度的最值.

然而，本題的難點在于易設點E的坐標，卻難以表示點F的坐標，進而難以用字母參數表示線段EF的長度.“直接”困難，則想“間接”，因而初中數學中強調的“轉化”思想體現在此尤為恰當.解法1和解法2均將線段EF轉化為線段EM，通過相似三角形或等面積法建立EF和EM的數量關系，而線段EM的長度較易用字母參數表示，因EM∥y軸，EM的長度可直接表示為兩點縱坐標之差，容易構建關于字母參數的函數模型得以解決.初中函數的教學，圖形的研究為重點也為核心，研究圖形的性質勝于單純研究圖形上的點，因而代數解析法僅為輔助，以形助數，以直觀想象輔助圖形整體性質的研究當為初中函數解題策略的大方向.從本質和核心來看，解法3、解法4和解法5均為純粹解析幾何的方法，較難體現初中函數教學的重點，更偏重高中函數教學的意味，從適宜初中學生的理解來說，值得斟酌與商榷.

3函數解題教學實踐與思考

函數作為初中“數與代數”領域中三大主題之一，更是“數與式”“方程與不等式”這兩個主題的綜合運用，既是重要內容，也是重要方法，還是重要思想，作為工具、模型均可在數學內部和數學外部展開應用.初中階段主要研究三類函數：一次函數、反比例函數和二次函數，研究路徑為“概念——圖象——性質——應用”，其教學的類比性和可遷移性體現明顯，尤其關注以函數圖象研究函數的性質，與初中函數的“變量”定義法不謀而合，主要體現變量之間的變化關系，以圖象直觀呈現，研究圖象得到性質是初中函數研究的主要方法.高中階段主要研究四類函數：冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，高中平面解析幾何還重點研究圓錐曲線（直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的方程與軌跡問題等，均以解析法為重點，與高中函數的“映射”定義法彼此呼應，主要從函數表達式的角度，輔以圖形直觀呈現，研究函數的性質（單調性、奇偶性、對稱性、周期性和最值等），強調以算定形，即代數法為甚.明晰初高中函數教學的重點區分和不同要求，在初中函數解題教學中，基于核心素養的培養目標，指向初高銜接的初中函數解題教學中應關注以下幾個方面.

3.1應加強作圖能力的培養——發展空間觀念

初中函數的研究以形為重，以變化關系研究函數的本質，以函數圖象研究函數的性質，因而在函數解題教學中應加強幾何作圖（畫圖）的能力培養，從函數圖象的示意圖到函數圖象背景下幾何圖形的繪制和勾勒，充分體現初中階段“三會”核心素養中“會用數學的眼光觀察現實世界”，體現核心素養的表現之一的“空間觀念”.正如上述問題的條件中未給出示意圖，這就要求學生要根據題目條件自行畫圖分析，正確的作圖是分析的前提.在學生作答中出現審題有誤、作圖有誤的情況（將線段EF⊥直線AB誤認為線段EF⊥x軸）占比較大，也充分說明學生的空間觀念意識較弱，未能正確認識圖形，未能清晰明確圖形之間的位置關系，這也將會直接影響高中函數性質的學習.未有正確形，難有精準數，從空間意識到空間觀念，從圖形的直觀呈現到代數的精準研究，作圖、讀圖、識圖是關鍵的第一步，有助于提高初高銜接的有效性.

3.2應注重幾何圖形的構造——發展幾何直觀

初中函數雖為“數與代數”領域中的三大內容之一，但其研究重在圖象和性質，尤其對圖象的研究為重中之重.在函數圖象背景下，涉及函數圖象上的若干點，形成一些基本的幾何圖形（線段、三角形、四邊形等），函數問題的考查多以綜合運用代數知識和幾何知識解決問題的能力，因而恰當地構造幾何重點圖形是解決初中函數問題的關鍵.比如上述問題中構造相似三角形、構造平行線、利用三角形的鉛垂高及水平寬計算面積等，以三角形這一基本圖形的研究為重（三角形的研究是初中階段幾何圖形的基礎也是核心），通過幾何直觀，將線段合理轉化，化斜為直，以間接代直接，以直觀代抽象，逐步發展學生的幾何直觀素養，即“會用數學的眼光觀察現實世界”，從而指向高中函數學習中以形輔數這一基本研究方法的習得，形成初高銜接的自然過渡和高效轉化.

3.3應關注核心知識的關聯——發展推理能力

初中階段的幾何教學，重在邏輯推理.2022年版課程標準提出要加強代數推理，因而代數和幾何均講究嚴密的思考和有條理的表達，從而培養學生初步形成邏輯表達和交流的習慣.初中的解題教學，應引導關注核心知識的彼此關聯，形成推理過程中的有效聯想和問題聚焦.上述問題的解決中主要運用相似三角形的性質或等面積法實現線段“化斜為直”的轉化，此為初中階段研究線段問題的核心知識內容之一，即研究線段長度有4種常用方法：構造相似三角形、等面積法計算、運用銳角三角函數或勾股定理計算.關注核心知識的關聯，助推推理能力的提升，即“會用數學的思維思考現實世界”，從而指向數學高階思維的形成，指向數學深度學習的發生，指向初高銜接思維水平的進階.

3.4應巧用解析幾何的方法——發展運算能力

初中函數作為解析幾何的初步，具備一定的運算要求.2022年版課程標準對運算能力的內涵解釋中有“能夠通過運算促進數學推理能力的發展”.高中解析幾何多以算定形，運算確實為數學學習的基本功之一.初中階段函數教學中應巧用解析幾何的方法，從關注結論到關注方法，從漫用到巧用，加以解析幾何中以數示形、以數定形等方法，加強運算優化和運算策略的選擇，從一定程度上簡化運算（尤其含字母參數的運算）.正如上述問題中對線段EM的最值計算，通過設字母參數表示點的坐標，運用坐標之差表示線段長度，借助配方法計算最大值，體現運算能力的重要性，“會用數學的思維思考現實世界”.借助高中階段解析幾何的解題方法，提升運算能力，助推嚴密推理，形成無縫初高銜接，培育核心素養.

4結束語

函數解題教學作為初高中函數教學的重要內容之一，有延續、有偏重，分階段、分差異，指向初高銜接的初中函數解題教學可從作圖能力的培養、幾何圖形的構造、核心知識的關聯和解析幾何方法的巧用這四個方面開展，旨在形成和發展核心素養，促進學生理解解題從而理解數學，以期后續進一步探究初高銜接函數教學的有效性和高效性策略.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022：16.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020：9.

作者簡介

毛巾鈞（1987—），女，江蘇無錫人，中學一級教師；主要研究初中數學教學.

陳秋曉（1980—），女，江蘇無錫人，中學一級教師；主要研究初中數學教學.