問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 挖掘本質(zhì) 落實(shí)素養(yǎng)

【摘要】在解題教學(xué)中，教師應(yīng)重視挖掘中考試題的教學(xué)價(jià)值.本文針對(duì)一道代數(shù)幾何綜合題，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考.通過(guò)一題多解，探尋解決問(wèn)題的通性通法；通過(guò)變式探究，充分挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，優(yōu)化解題路徑；通過(guò)師生總結(jié)，凝練解決問(wèn)題的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】問(wèn)題驅(qū)動(dòng)；通性通法；一題多解；變式探究

在“雙減”大背景和“素養(yǎng)立意”的命題導(dǎo)向下，近幾年的中考?jí)狠S題綜合考查知識(shí)、方法、能力，凸顯對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的關(guān)注．中考的代幾綜合題，其命題大都立足方程、函數(shù)、三角形、四邊形、相似圖形等核心知識(shí)，融入幾何直觀、數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本思想方法，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等素養(yǎng)都提出了很高的要求．破解這樣的問(wèn)題，廣大一線教師需要全方位思考，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決問(wèn)題的通性通法．下面以廣東省2022年中考第23題為例，闡述如何通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)探求解決問(wèn)題的路徑，從而尋找問(wèn)題的自然解決之道．

（廣東省2022年中考第23題）如圖1，拋物線y=x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB=4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

2試題分析

在“雙減”大背景下，中考試題要有一定的區(qū)分度，但也要嚴(yán)格控制難度．本題的第一個(gè)特色是表現(xiàn)形式簡(jiǎn)單自然，層次分明，思維難度適中，讓不同學(xué)生都有發(fā)揮的余地．第（1）問(wèn)立足于教材，考查二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，難度不大．第（2）問(wèn)高于教材，對(duì)學(xué)生的思維能力提出較高的要求，難度較大，很多學(xué)生在這一問(wèn)陷入了困境．教師引導(dǎo)學(xué)生多研究此類題目，有利于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，為后續(xù)學(xué)習(xí)作好鋪墊．

堅(jiān)持素養(yǎng)立意也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)學(xué)業(yè)水平考試提出的命題原則．本題的第二個(gè)特色是立意于幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力和模型觀念的考查．因?yàn)榈冢?）問(wèn)需要先構(gòu)造二次函數(shù)模型，再求二次函數(shù)的最大值，所以如何建立數(shù)學(xué)模型是關(guān)鍵．由于所求三角形的三個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)定點(diǎn)，所以求三角形的面積有很多種構(gòu)造的方法．選擇的自變量不同，則構(gòu)造的二次函數(shù)不同；選擇的方法不同，則計(jì)算的復(fù)雜度也不同．

3教學(xué)功能

利用二次函數(shù)解決問(wèn)題是歷年中考的重難點(diǎn)所在，此類問(wèn)題題型多變，可以與較多知識(shí)點(diǎn)綜合考查．為了體現(xiàn)中考的選拔功能，中考命題時(shí)，二次函數(shù)只作為背景，與最值問(wèn)題、模型問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等綜合命題，而動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題常常以壓軸題出現(xiàn)．此題作為代幾綜合題的壓軸題，難度適中，思維全面，涵蓋二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形相似的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、鉛垂法求三角形的面積等知識(shí)，非常適合作為第二輪復(fù)習(xí)的典型例題進(jìn)行講授，真正能起到“解一題，學(xué)一法，通一類”的深度學(xué)習(xí)的目的．

第二輪復(fù)習(xí)既要兼顧基礎(chǔ)，又要在強(qiáng)化基礎(chǔ)的前提下提升能力，關(guān)注學(xué)生綜合能力的發(fā)展．在選題時(shí)不能盲目拔高，選題、講題、練習(xí)都要注重基礎(chǔ)性，從基礎(chǔ)出發(fā)，逐步提升．第（1）問(wèn)考查二次函數(shù)解析式的求法，學(xué)生可以用代入法求解，也可以用交點(diǎn)式快速得解．通過(guò)此問(wèn)總結(jié)歸納求二次函數(shù)解析式的方法和技巧，促進(jìn)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力．

第（2）問(wèn)以拋物線作為背景，涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查，只要學(xué)生認(rèn)真分析，基礎(chǔ)好的學(xué)生都能解決，但存在的普遍問(wèn)題是學(xué)生不能將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化和模型化．此問(wèn)以三角形的面積最大值為紐帶，重點(diǎn)考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，學(xué)生要分析圖形的結(jié)構(gòu)，挖掘圖形的本質(zhì)，尋找有效的解決路徑．在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的解法進(jìn)行對(duì)比和反思，讓學(xué)生能夠更深刻、更全面地理解數(shù)學(xué)，促使學(xué)生的能力拾級(jí)而上，步步提高．

4教學(xué)實(shí)施

4.1基礎(chǔ)設(shè)問(wèn)，回顧舊知

第（1）問(wèn)是對(duì)二次函數(shù)解析式的考查，知識(shí)簡(jiǎn)單，學(xué)生只需把點(diǎn)A，B代入求值即可．這一問(wèn)還可以利用交點(diǎn)式直接寫出二次函數(shù)的解析式，方法更加便捷，尤其是對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)比較復(fù)雜的二次函數(shù)，這種方法的優(yōu)勢(shì)愈加明顯．

問(wèn)題1除了直接把兩個(gè)點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式，還有其它的方法嗎？

問(wèn)題2如果把拋物線的解析式變?yōu)閥=38x2+bx+c，用哪一種方法求解更簡(jiǎn)潔呢？

解因?yàn)閽佄锞€與x軸的交點(diǎn)是A（1，0），B（-3，0），可得y=38（x+3）（x-1）=38x2+34x-338.

教學(xué)說(shuō)明先展示學(xué)生的解法，然后教師提出兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同解法的優(yōu)缺點(diǎn)．

歸納二次函數(shù)的一般式是y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)表達(dá)式中含有三個(gè)參數(shù)時(shí)，需要代入三個(gè)點(diǎn)解方程組；當(dāng)含有兩個(gè)參數(shù)時(shí)，需要代入兩個(gè)點(diǎn)求解；當(dāng)含有一個(gè)參數(shù)時(shí)，只需要代入一個(gè)點(diǎn)即可．當(dāng)已知二次函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)，優(yōu)先選擇交點(diǎn)式；當(dāng)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，優(yōu)先選擇頂點(diǎn)式．通過(guò)以上的分析，教師引導(dǎo)學(xué)生在求二次函數(shù)解析式時(shí)要靈活、恰當(dāng)?shù)卦O(shè)二次函數(shù)解析式，從而化繁為簡(jiǎn)，化難為易．

4.2問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，探尋通法

對(duì)于求三角形的面積，學(xué)生最熟悉的是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為“三定”或者“兩定一動(dòng)”的，這里變?yōu)椤皟蓜?dòng)一定”求最大值的問(wèn)題，難度加大，但是表示三角形面積的方法是不變的，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)△CPQ的面積進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化．

思路1利用“現(xiàn)成圖形”割補(bǔ)

問(wèn)題3設(shè)P（m，0），你能用含有m的式子表示哪些線段呢？

問(wèn)題4你能用含有m的式子表示哪些三角形的面積呢？

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)問(wèn)題3，引導(dǎo)學(xué)生用含有m的式子表示圖形中的線段，如PB，PO，PA，PQ，AQ，CQ等，為求△PCQ的面積進(jìn)行定向引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生有目的地尋找問(wèn)題的解決策略．通過(guò)問(wèn)題4，引導(dǎo)學(xué)生用含有m的式子表示某些三角形的面積．通過(guò)計(jì)算和思考，學(xué)生自然聯(lián)想到用現(xiàn)有的圖形進(jìn)行割補(bǔ)，從而得到解法1，2．

解法1（利用相似的性質(zhì)求高）如圖2，設(shè)P（m，0），則PA=1-m，因?yàn)閥=x2+2x-3=（x+1）2-4，所以求得C（-1，-4），因?yàn)镻Q∥BC，所以△APQ∽△ABC，所以QECF=APAB，從而求出QE=1-m，所以S△CPQ=S△APC-S△APQ=12（1-m）·4-（1-m）22=-12（m+1）2+2，因?yàn)閍=-12<0，所以當(dāng)m=-1時(shí)，S△CPQ有最大值，且最大值是2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，0）.圖2

解法2（利用相似的性質(zhì)求面積）如圖2，設(shè)P（m，0），因?yàn)镻Q∥BC，所以△APQ∽△ABC，所以S△APQS△ABC=APAB2，即S△APQ8=1-m42，從而求出S△APQ=（1-m）22，所以S△CPQ=S△APC-S△APQ=12（1-m）·4-（1-m）22=-12（m+1）2+2，從而得證.

思路2利用“直接法”求面積

當(dāng)三角形的底和高比較容易求（或表示）出時(shí)，經(jīng)常采用直接法．

問(wèn)題5你能求出△CPQ的高嗎？

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)問(wèn)題5，引導(dǎo)學(xué)生用含有m的式子表示△CPQ的高，從而得到解法3，4．

圖3解法3如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，垂足為點(diǎn)M．首先利用平行線分線段成比例定理得關(guān)系式CQAC=BPAB，求出CQ=5（m+3）2，接下來(lái)只須求出高PM即可．在Rt△AMP中，易得PMAP=sin∠BAM=25，求得PM=2（1-m）5，從而求得S△CPQ=12CQ·PM=12·5（m+3）2·2（1-m）5=12（m+3）（1-m），從而得證．圖4

解法4如圖4，利用相似的性質(zhì)，得PQBC=APAB，即PQ25=1-m4，求得PQ=5（1-m）2．過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PQ，垂足為M，只須求出CM即可．利用兩平行線間的距離相等，聯(lián)想到過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為N．在Rt△BNP中，易得PNBP=sin∠ABC=25，求出PN=2（m+3）5，從而得證．

解法3，4是利用相似求出三角形的一邊，再求出對(duì)應(yīng)邊上的高，直接求出三角形面積.求三角形的高的方法有等面積法、相似、三角函數(shù)、平行線間的距離、勾股定理等.解法3利用∠BAM的正弦函數(shù)求高，也可以利用三角形相似的性質(zhì)求高.解法4利用了平行線間的距離相等和∠ABN的正弦值求高.

思路3利用鉛垂法分割三角形

在二次函數(shù)中用鉛垂法求三角形的面積是非常方便、快捷的，也是學(xué)生更容易聯(lián)想到的方法．在考試中很多學(xué)生嘗試用鉛垂法來(lái)解決問(wèn)題，但陷入了困局，歸其原因是沒(méi)有真正掌握鉛垂法的本質(zhì)．

問(wèn)題6你能用鉛垂法求出△CPQ的面積嗎？

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)問(wèn)題6，引導(dǎo)學(xué)生用不變的方法來(lái)解決變化中的三角形的面積，進(jìn)而讓學(xué)生對(duì)“鉛垂法”求面積有更深刻地理解．

解法5如圖5，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M．容易求得直線AC的解析式是y=2x-2，可設(shè)M（m，2m-2），所以PM=2-2m.過(guò)點(diǎn)Q和C分別作QE⊥PM，CF⊥PM，垂足分別為E，F(xiàn)．S△CPQ=12PM（xQ-xC）=12（2-2m）（xQ+1），所以只須求出xQ即可.因?yàn)橹本€BC的解析式為y=-2x-6，所以可設(shè)PQ的解析式為y=-2x+n，把點(diǎn)P（m，0）代入可求出解析式為y=-2x+2m，聯(lián)立直線AC和PQ的解析式y(tǒng)=2x-2，y=-2x+2m，解得x=m+12，從而得到xQ=m+12.

解法6（根據(jù)Q所處三角形的特點(diǎn)考慮）如圖6，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得AC=BC，所以∠ABC=∠BAC，根據(jù)PQ∥BC，可得∠APQ=∠ABC，所以∠APQ=∠BAC，可以得到△APQ是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸，垂足為E，則E為AP的中點(diǎn)，所以可以求得E1+m2，0，從而得證.

解法7（借助相似或三角函數(shù)）如圖6，先利用△APQ∽△ABC，所以AQAC=APAB，從而求出AQ=5（1-m）2，過(guò)Q作QE⊥x軸，垂足為E，利用三角函數(shù)可以求出AE=1-m2，所以xE=xQ=1-1-m2=1+m2，從而得證.圖7

解法8（過(guò)點(diǎn)C作鉛垂高）如圖7，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥x軸，交直線PQ于點(diǎn)M．容易求得直線BC的解析式是y=-2x-6，從而求得直線PQ的解析式是y=-2x+2m，則M（-1，2m+2），所以CM=2m+6．

那么如何求xQ-xP？過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸，垂足為E，由解法6可知，△APQ是等腰三角形，則E為AP的中點(diǎn)，所以PE=12AP=1-m2，S△CPQ=12CM（xQ-xP）=12CM·PE=12（2m+6）·1-m2，從而得證.

解法9（過(guò)點(diǎn)Q作鉛垂高）如圖8，9，設(shè)P（m，0），過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x軸，垂足為E，交直線PC于點(diǎn)M.

（1）當(dāng)m≠-1時(shí)，求得直線PC的直線解析式是y=4m+1x+4m+1-4，由解法6，7，8可知xE=xQ=xM=1+m2，從而yM=4m+1-2，所以由tan∠BAQ=EQAE=2，AE=1-1+m2=1-m2，所以EQ=1-m，可得yQ=m-1.所以QM=yQ-yM=m+1-4m+1，xC-xP=m+1，

S△CPQ=12QM·xP-xC=12m+1-4m+1·m+1=12（m+1）2-2=-12（m+1）2+2<2；

（2）當(dāng)m=-1時(shí)（如圖10），S△CPQ=12×4×2=2.

綜上所述，當(dāng)m=-1時(shí)，△CPQ的面積有最大值.

歸納本問(wèn)旨在讓學(xué)生通過(guò)不同的方法求△CPQ的面積，拓寬解題思路，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，加深對(duì)鉛垂法的深刻理解.

4.3變式探究，挖掘本質(zhì)

問(wèn)題7請(qǐng)你結(jié)合原題，設(shè)計(jì)一個(gè)求三角形面積的題目.

教學(xué)說(shuō)明學(xué)生設(shè)計(jì)的問(wèn)題有以下幾種：（1）如圖11，設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)M，求△BCM的面積.（2）如圖12，點(diǎn)P為線段BM下方拋物線上的一點(diǎn)，求△PBM的面積最大值.（3）如圖13，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN∥AC交BC于點(diǎn)N，求△PCN的面積的最大值.（4）如圖14，點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)M，求△PMQ的面積最大值……教師對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出的問(wèn)題進(jìn)行梳理，幫助學(xué)生透過(guò)題目表象發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，尋找解決問(wèn)題的最佳路徑.問(wèn)題（1）是一個(gè)“三定點(diǎn)”的三角形，學(xué)生可以利用鉛垂法、直接法、補(bǔ)圖作差法等方法解決；問(wèn)題（2）是“兩定一動(dòng)”求最大值的問(wèn)題，鉛垂法、補(bǔ)圖作差法、等積轉(zhuǎn)換法是常用的方法；問(wèn)題（3）與原題第（2）問(wèn)類似，可以用來(lái)檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)例題的掌握情況；問(wèn)題（4）是“三動(dòng)點(diǎn)”問(wèn)題，可以利用“直接法”求三角形的面積，對(duì)學(xué)生的能力要求較高.通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了畫圖、猜想、計(jì)算、驗(yàn)證等活動(dòng)，設(shè)計(jì)出不同類型的變式，以此提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

4.4小結(jié)提升，凝練結(jié)構(gòu)

師生共同完成本節(jié)課的思維導(dǎo)圖，見(jiàn)圖15.

5教學(xué)啟示

5.1重視一題多解，探尋通性通法

專題復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師要充分挖掘教材或中考題的資源，實(shí)現(xiàn)和發(fā)揮試題的價(jià)值和功能.本題作為中考題的壓軸題，很多一線教師對(duì)此頗有看法，故在備考中大部分教師簡(jiǎn)單練隨意評(píng)，然后再找同一類型的題目進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練，這樣做就喪失了它應(yīng)有的價(jià)值，學(xué)生的能力也沒(méi)有得到提升.教師應(yīng)通過(guò)“一題多解”引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問(wèn)題的通性通法，凝煉解題的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生達(dá)到心中有“法”，但無(wú)定“法”的境界.如本題第（2）問(wèn)求三角形的面積可以選擇不同的“割補(bǔ)”方法，其中解法5，6，7是鉛垂法的變式，這是教師在教學(xué)中常忽略的方法.當(dāng)用鉛垂法求面積時(shí)需要考慮過(guò)哪一個(gè)點(diǎn)作鉛垂高，這是問(wèn)題解決的關(guān)鍵所在.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P位于兩個(gè)定點(diǎn)之間時(shí)，顯然直接過(guò)點(diǎn)P作鉛垂高即可求出，但是如果過(guò)點(diǎn)C作鉛垂高，學(xué)生會(huì)陷入了困局，因?yàn)殂U垂高與一條動(dòng)直線相交，需要用到求含參的函數(shù)解析式.如果學(xué)生不會(huì)求含參的函數(shù)解析式，用鉛垂法求三角形的面積難道就無(wú)法解決了嗎？此時(shí)在△CPQ中，只有C是定點(diǎn)，我們可以選擇過(guò)點(diǎn)P或Q作鉛垂高，可以發(fā)現(xiàn)過(guò)點(diǎn)P作鉛垂高是比較可取的.教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)鉛垂法求三角形面積的本質(zhì)：過(guò)一動(dòng)點(diǎn)作x軸的垂線，交另外兩點(diǎn)所確定的直線（定直線）于一點(diǎn)，從而確定鉛垂高，這也是解決斜三角形面積最大值問(wèn)題的通法.只有這樣，教師才能引導(dǎo)學(xué)生探尋問(wèn)題的本質(zhì)，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題和研究問(wèn)題的能力.

5.2凸顯主體地位，發(fā)展核心素養(yǎng)

章建躍博士提出，“理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)，理解技術(shù)”是提高課堂教學(xué)效能的奠基工程[1].在這“四個(gè)理解”中，只有理解學(xué)生才是提升教學(xué)效能的關(guān)鍵.本課設(shè)計(jì)的問(wèn)題1，2意在喚醒學(xué)生對(duì)二次函數(shù)解析式的回憶和再認(rèn)識(shí).問(wèn)題3—6立足學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷尋找最優(yōu)解法的過(guò)程.江蘇特級(jí)教師卜以樓倡導(dǎo)教學(xué)生學(xué)習(xí)具有生長(zhǎng)力的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、讓學(xué)生發(fā)明、讓學(xué)生發(fā)展，讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中最具有活力的東西，從而在數(shù)學(xué)上找到可以傳承的“硬核芯”[2].問(wèn)題7是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，學(xué)生從已有知識(shí)和方法出發(fā)，創(chuàng)造出不同類型的變式，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題促進(jìn)了學(xué)生思維的有序生長(zhǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀能力、推理能力、運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)抽象能力和創(chuàng)新意識(shí).教師引導(dǎo)學(xué)生盤點(diǎn)本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容、研究方法和研究路徑，從而讓學(xué)生得到解決這類問(wèn)題的“一般觀念”，也可以類比得到解決其它幾何圖形的“一般套路”.在復(fù)習(xí)課上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完備的知識(shí)體系，探尋解決問(wèn)題的策略和方法，讓學(xué)生逐步掌握研究幾何的“硬核芯”，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍.數(shù)學(xué)教育隨想錄：上卷[M]．杭州：浙江教育出版社，2017：600.

[2]卜以樓.生長(zhǎng)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M]．西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2022：55-56.

作者簡(jiǎn)介王廣鋒（1982—），男，山東濟(jì)南人，中學(xué)高級(jí)教師，廣東省張青云名教師工作室助手，東莞市教學(xué)能手;主要研究課堂教學(xué)改革探索和中考試題;發(fā)表論文10余篇.

基金項(xiàng)目東莞市教育科研“十四五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)的實(shí)踐研究”（2023GH084）.