學(xué)習(xí)從閱讀開始 思維經(jīng)實(shí)踐深化

梁全聲 于芳民

【摘要】

中考試題命制是在數(shù)學(xué)閱讀基礎(chǔ)上，將獲取的方法應(yīng)用新情境，并整合經(jīng)驗(yàn)與方法，再創(chuàng)新應(yīng)用于新的問題情境，在問題探究中充分展示學(xué)生的思維發(fā)展過程和高階思維水平，凸顯學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題情境創(chuàng)設(shè)突破了“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域多涉及生活情境的命題常規(guī)，規(guī)避了城鄉(xiāng)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活情境的認(rèn)知差異，確保了情境創(chuàng)設(shè)的公平性、真實(shí)性、典型性和適切性，緊貼學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活實(shí)際狀況.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)閱讀；綜合實(shí)踐；核心素養(yǎng).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022年版）》）在評(píng)價(jià)建議中指出，評(píng)價(jià)不僅要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果，還要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)，改進(jìn)教師教學(xué)[1]3.評(píng)價(jià)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運(yùn)用和實(shí)踐探索活動(dòng)過程.數(shù)學(xué)閱讀是一個(gè)不斷假設(shè)、想象、證明和推理的過程[2].中考試題命制在數(shù)學(xué)閱讀基礎(chǔ)上，將方法應(yīng)用于類似問題情境，整合經(jīng)驗(yàn)與方法，再創(chuàng)新應(yīng)用于新的問題情境，這一過程能夠充分展示學(xué)生的思維發(fā)展歷程，體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展水平.在中考命題中探索“綜合與實(shí)踐”新的評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)形式有著重要的實(shí)踐意義和借鑒價(jià)值.

本文以山東省濰坊市2023年中考數(shù)學(xué)第22題為例，談?wù)劵凇靶抡n標(biāo)”的試題研究與評(píng)價(jià).

1試題呈現(xiàn)

【材料閱讀】

用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究q+q2+q3+…+qn+…的值，其中0

例求12+122+123+…+12n+…的值.

方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖1可知12+122+123+…+12n…的結(jié)果等于該正方形的面積，即

12+122+123+…+12n+…=1.

方法2：借助函數(shù)y=12x+12和y=x的圖象，觀察圖2可知12+122+123+…+12n+…的結(jié)果等于a1，a2，a3，…，an，…等各條豎直線段的長度之和，即兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)到x軸的距離.

因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)（1，1）到x軸的距離為1，所以12+122+123+…+12n+…=1.

【實(shí)踐應(yīng)用】

任務(wù)一完善23+232+233+…+23n+…的求值過程.

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖3可知23+232+233+…+23n+…=.

方法2：借助函數(shù)y=23x+23和y=x的圖象，觀察圖4可知因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以23+232+233+…+23n+…=.

任務(wù)二參照上面的過程，選擇合適的方法，求34+342+343+…+34n+…的值.

任務(wù)三用方法2，求q+q2+q3+…+qn+…的值（結(jié)果用q表示）.

【遷移拓展】

長寬之比為5+12∶1的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個(gè)正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形.

觀察圖5，直接寫出5-122+5-124+5-126+…+5-122n-2+5-122n+…的值.

2試題解法研究

本題分為“材料閱讀—實(shí)踐應(yīng)用—遷移拓展”三個(gè)部分，問題的設(shè)問在實(shí)踐應(yīng)用和遷移拓展兩個(gè)欄目中呈現(xiàn)，在實(shí)踐應(yīng)用欄目中設(shè)置了三項(xiàng)任務(wù).題目敘述篇幅較長，要求學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀理解能力和分析探究能力.其中，任務(wù)一是3個(gè)填空題，學(xué)生理解題意后比較容易求出答案；任務(wù)二和任務(wù)三需要類比方法、構(gòu)建模型求解；遷移拓展欄目則需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，具有較強(qiáng)的綜合性.

任務(wù)一中，如果用閱讀材料中的方法1，需要仔細(xì)觀察正方形，發(fā)現(xiàn)各個(gè)小長方形的面積之和等于待求式的值.相對(duì)于圖1中的正方形，圖3的正方形邊長和分割方式已經(jīng)發(fā)生變化，計(jì)算23+232+233+…+23n+…的值，需要借助邊長為2的正方形求解；若用閱讀材料中的方法2，只需求出兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)（2，2），便可以得到結(jié)果.任務(wù)一的難度較小，學(xué)生能夠比較容易地進(jìn)入題目場景.

任務(wù)二中，讓學(xué)生選擇合適的方法，求算式34+342+343+…+34n+…的值，是一個(gè)半開放的問題.其主要解法有以下四種.

方法1借助面積為3的正方形，先將正方形面積四等分，取其一份；然后將剩下的長方形面積四等分，取其一份；依次截取，得到如圖6所示的圖形圖6，觀察圖形，可得34+342+343+…+34n+…=3.

方法2構(gòu)造函數(shù)y=34x+34，由函數(shù)y=34x+34和函數(shù)y=x，聯(lián)立得y=34x+34，y=x，解得x=3，y=3，即所求算式的結(jié)果為3.

方法3記S=34+342+343+…+34n+…①

兩邊同乘34，得34S=342+343+344…+34n+1+…②

①-②即得S=3.

方法4可以借助高等數(shù)學(xué)的無窮收斂級(jí)數(shù)公式計(jì)算，讀者可自行求解.

任務(wù)三中，構(gòu)造函數(shù)y=qx+q，由函數(shù)y=qx+q和函數(shù)y=x，聯(lián)立得y=qx+q，y=x，解得y=x=q1-q，即所求算式的結(jié)果為q1-q.

遷移拓展欄目中，學(xué)生不論是采用面積分割的方法，還是構(gòu)造函數(shù)的方法，都需要具有較高的遷移應(yīng)用能力.

方法1借助圖形5，注意到5-122表示的是圖形中右上角小正方形的面積，往右下角的各小正方形的面積依次為5-124，5-126，…

因此，所有小正方形的面積之和（陰影區(qū)域面積）等于大長方形面積與左側(cè)最大正方形面積的差，如圖7所示.

所以5-122+5-124+5-126+…+5-12n+…=5+12-1=5-12.

方法2可以聯(lián)立函數(shù)y=5-122x+5-122和函數(shù)y=x，求交點(diǎn)坐標(biāo).計(jì)算過程中需要用到分母有理化，運(yùn)算量較大，筆者不再贅述.

3試題評(píng)價(jià)

本題以無窮級(jí)數(shù)為背景，以初中數(shù)學(xué)的幾何圖形等面積法和構(gòu)造一次函數(shù)法為切入點(diǎn)，考查學(xué)生綜合解決問題的能力.試題立意密切結(jié)合“從知識(shí)立意到素養(yǎng)立意”的轉(zhuǎn)型思想，指向數(shù)學(xué)本質(zhì)，關(guān)注學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)水平的考查，關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的關(guān)鍵能力考查.

3.1充分體現(xiàn)《課標(biāo)（2022年版）》的課程基本理念

《課標(biāo)（2022年版）》在“課程理念”中提出，“……使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)”[1]2.但是，教師在實(shí)際教學(xué)中往往實(shí)施“一刀切”的模式，在例題設(shè)置、習(xí)題選擇和問題設(shè)計(jì)上多是面向“中間生”和“優(yōu)秀生”，導(dǎo)致“學(xué)困生”無法參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，逐漸喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力.

本題對(duì)于改變一線教師的這一現(xiàn)狀具有積極的導(dǎo)向作用.其素材的選取來源于《義務(wù)教育初中教科書數(shù)學(xué)（青島版七年級(jí)上冊(cè)）》“綜合與實(shí)踐”和《義務(wù)教育初中教科書數(shù)學(xué)（青島版九年級(jí)上冊(cè)）》“綜合與實(shí)踐”.這不僅規(guī)避了城鄉(xiāng)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活情境的認(rèn)知差異，而且規(guī)避了學(xué)生之間的起點(diǎn)差異；確保了情境創(chuàng)設(shè)的公平性、真實(shí)性、典型性和適切性，緊貼學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活實(shí)際狀況；題目“入手”容易，逐級(jí)而上，遵循了不同層級(jí)的學(xué)生“跳一跳”能夠摘到桃子的原則，最后的設(shè)問則對(duì)學(xué)生的遷移應(yīng)用和創(chuàng)新應(yīng)用提出了較高的要求.這種梯度設(shè)計(jì)有利于保護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的熱情.

3.2嚴(yán)格落實(shí)《課標(biāo)（2022年版）》學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)要求

《課標(biāo)（2022年版）》在“學(xué)業(yè)質(zhì)量”中提出：評(píng)估學(xué)生核心素養(yǎng)情況要在經(jīng)歷“用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學(xué)的思維與數(shù)學(xué)的語言分析和解決問題”的過程中所形成的模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等[1]81.在日常教學(xué)中，雖然我們一直提倡培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，但是具體如何實(shí)施，以及如何檢測學(xué)生的創(chuàng)新能力，仍舊是教學(xué)實(shí)施和教學(xué)評(píng)價(jià)中的“老大難”問題.

本試題首先以閱讀材料的形式呈現(xiàn)解題步驟，模擬課堂研究性學(xué)習(xí)的全過程，詳細(xì)示范解題的兩種方法；然后依次從具體簡單數(shù)字的數(shù)列求和，到探究含字母的數(shù)列求和，最后在黃金矩形中得以創(chuàng)新應(yīng)用，完整呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)規(guī)律從發(fā)現(xiàn)到應(yīng)用的過程，對(duì)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)施過程富有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義，為數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐類題目的命制也提供了較好的借鑒價(jià)值.教師必須逐步改變基于“題海戰(zhàn)術(shù)”的應(yīng)試策略，轉(zhuǎn)向重視過程性教學(xué)，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

3.3符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

一是符合學(xué)生對(duì)概念方法的學(xué)習(xí)過程，即“感知→理解→掌握→應(yīng)用”.學(xué)生在對(duì)閱讀材料提供的思路方法有初步感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行模仿應(yīng)用；學(xué)生掌握其兩種解法的過程和要領(lǐng)后，在新的數(shù)學(xué)情境中遷移應(yīng)用，充分感悟數(shù)學(xué)思想方法的強(qiáng)大魅力.在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷對(duì)新知的“再發(fā)現(xiàn)”與“再創(chuàng)造”，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思考與發(fā)現(xiàn)的快樂，達(dá)到對(duì)知識(shí)實(shí)實(shí)在在、沁入內(nèi)心的理解和掌握.

二是符合學(xué)生對(duì)事物認(rèn)識(shí)的主要方式，即“特殊→一般→特殊”.為了得到q+q2+q3+…+qn+…的一般通解，首先取q=12，q=23，q=34，從這些特例開始，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究，逐步“放手”，直至學(xué)生能夠用自己的方法探究得到一般性結(jié)論：q+q2+q3+…+qn+…=q1-q.最后，在遷移應(yīng)用欄目中又回歸到q=5-122的特例求解，讓學(xué)生的思維再次升華.

3.4符合數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)特點(diǎn)

《課標(biāo)（2022年版）》在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)量表中提出，“能夠在解決問題的過程中選擇合適的方法進(jìn)行評(píng)估，并對(duì)結(jié)果的實(shí)際意義作出解釋.能夠知道解決問題方法的多樣性”[1]83.在實(shí)際教學(xué)中，大多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，過度依賴教師的指導(dǎo)，難以形成自己的思想方法體系；在應(yīng)試教育背景下，很多老師為了所謂“短平快”的教學(xué)效益，一味選擇刷題講題，并且在講題中往往選擇自己的經(jīng)驗(yàn)解法，缺乏思想方法的總結(jié)；也有的教師對(duì)“一題多解”關(guān)注較多，而對(duì)解決問題的方法的優(yōu)劣比較關(guān)注較少.這些做法不利于培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性，也不利于養(yǎng)成學(xué)生的思辯能力.

試題中呈現(xiàn)的任務(wù)，學(xué)生既可以使用幾何領(lǐng)域中的面積分割法，又可以使用代數(shù)領(lǐng)域中的函數(shù)構(gòu)造法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題解決的方法多樣性.“任務(wù)二”中，第1種方法借助圖形解決問題，不論是從思維過程還是從求解過程來看，都要比第2種方法復(fù)雜，體現(xiàn)了在不同問題中方法選擇的重要性；“任務(wù)三”中，學(xué)生需要自己選擇建構(gòu)圖形或構(gòu)建函數(shù)，脫離“模仿”的低層級(jí)學(xué)習(xí)，試題對(duì)解題方法沒有限制，學(xué)生既可以從閱讀材料零起點(diǎn)入手現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，也可以用高中階段的等比數(shù)列知識(shí)或大學(xué)的無窮級(jí)數(shù)知識(shí)從高視角降維求解.

4教學(xué)啟示

4.1重視“綜合與實(shí)踐”教學(xué)，提升學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)重視“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，采取項(xiàng)目式或主題式的學(xué)習(xí)方法，整合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法，在活動(dòng)中讓學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).綜合與實(shí)踐的教學(xué)應(yīng)注意把握以下三個(gè)原則：

一是漸進(jìn)式原則.要從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，設(shè)計(jì)與學(xué)生認(rèn)知貼近、與學(xué)生生活貼近的問題，以學(xué)科內(nèi)綜合為起點(diǎn)逐漸走向?qū)W科間的綜合，從解決單一主題的問題到復(fù)雜情境的問題，引導(dǎo)學(xué)生克服對(duì)綜合與實(shí)踐的畏難情緒.

二是真實(shí)情境原則.真實(shí)情境包括生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境、社會(huì)情境，在教學(xué)中靈活創(chuàng)設(shè)情境，以使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)內(nèi)部、數(shù)學(xué)與科學(xué)、數(shù)學(xué)與社會(huì)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

三是探究性原則.基于數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特點(diǎn)，設(shè)計(jì)問題時(shí)要具有科學(xué)探究的價(jià)值，要用問題鏈和任務(wù)串體現(xiàn)設(shè)問的進(jìn)階，引導(dǎo)學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)，在質(zhì)疑中理解，在反思中感悟，在應(yīng)用中創(chuàng)新，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

4.2重視開展數(shù)學(xué)閱讀，增強(qiáng)學(xué)生的閱讀理解能力

數(shù)學(xué)閱讀已成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的關(guān)鍵能力.它包括對(duì)給出材料的文字語言、符號(hào)語言、圖表語言的認(rèn)知與理解，即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；還包括對(duì)材料中的信息進(jìn)行分析、加工和處理，以尋找出其數(shù)量或圖形的內(nèi)在數(shù)學(xué)邏輯，即會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；同時(shí)，問題解決的過程中需要學(xué)生用類似于材料中的語言和已積累內(nèi)化的語言進(jìn)行表述，即會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)有意識(shí)地加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力的培養(yǎng).

一是要積極營造數(shù)學(xué)閱讀的氛圍.在日常教學(xué)中教師要力行主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)新知的習(xí)慣，逐步形成學(xué)生獨(dú)立閱讀教材和獨(dú)立解讀教材的能力；在例題講解過程中，引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀題目，獨(dú)立思考題目的已知條件和待求問題.

二是要重視數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化教學(xué).現(xiàn)行各版本的初中數(shù)學(xué)教材中，多數(shù)數(shù)學(xué)公式、定理、推論是給出一種語言的表述，教師教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多種語言的描述或轉(zhuǎn)化，在問題解決過程中積極嘗試用圖形語言、表格語言來刻畫數(shù)量關(guān)系和變化關(guān)系.

三是要加強(qiáng)數(shù)學(xué)閱讀方法的指導(dǎo).在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從問題的關(guān)鍵信息入手，借助必要的圖形和表格幫助理解；引導(dǎo)學(xué)生從隱含的條件入手，不斷挖掘條件背后的實(shí)質(zhì)；引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的角度思考還缺少什么條件，以及如何獲取條件.

4.3重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是形成學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑，也是學(xué)生從“高位”認(rèn)知數(shù)學(xué)的重要支撐.無論是從特殊到一般的數(shù)學(xué)概念和定理的歸納方法，還是從未知到已會(huì)的問題轉(zhuǎn)化思想，都需要在教學(xué)中貫徹落實(shí)，使數(shù)學(xué)思想方法固化為學(xué)生的關(guān)鍵能力.對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)絕非一蹴而就，需要經(jīng)歷層次化、階段性的過程，需要讓學(xué)習(xí)者在長期的學(xué)習(xí)過程中盡可能多地領(lǐng)悟到其中的真諦[3].因此，作為一線教師需要做到：在備課、上課、作業(yè)的教學(xué)全鏈條中融入數(shù)學(xué)思想方法；在真實(shí)情境問題的解決過程中，體現(xiàn)、應(yīng)用和升華數(shù)學(xué)思想方法；在數(shù)學(xué)興趣培養(yǎng)的過程中，體驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想方法的獨(dú)特魅力.

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作者簡介

梁全聲（1977—），男，山東濰坊人，濰坊市高新區(qū)初中數(shù)學(xué)教研員、中學(xué)高級(jí)教師；山東省教學(xué)能手、齊魯名師；全國義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）核心作者.

于芳民（1979—），男，山東滕州人，中學(xué)高級(jí)教師;濰坊市教育科學(xué)研究院初中數(shù)學(xué)教研員;全國義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（青島版）核心作者.

指向初高銜接的初中函數(shù)解題教學(xué)實(shí)踐與思考基金項(xiàng)目江蘇省教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研規(guī)劃一般課題“指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究”（22A00QTJS35）;無錫市教育學(xué)會(huì)“十四五”教育科研課題“指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)‘后建構(gòu)課堂教學(xué)策略研究”（XH2022311）;無錫經(jīng)開區(qū)“十四五”規(guī)劃課題“基于‘三會(huì)核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)‘后建構(gòu)課堂教學(xué)策略研究”（2022JKGH1-09）.