學習從閱讀開始 思維經實踐深化

梁全聲 于芳民

【摘要】

中考試題命制是在數學閱讀基礎上，將獲取的方法應用新情境，并整合經驗與方法，再創新應用于新的問題情境，在問題探究中充分展示學生的思維發展過程和高階思維水平，凸顯學生數學核心素養.試題情境創設突破了“綜合與實踐”領域多涉及生活情境的命題常規，規避了城鄉學生對現實生活情境的認知差異，確保了情境創設的公平性、真實性、典型性和適切性，緊貼學生的學習和生活實際狀況.

【關鍵詞】數學閱讀；綜合實踐；核心素養.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在評價建議中指出，評價不僅要關注學生數學學習結果，還要關注學生數學學習過程，激勵學生學習，改進教師教學[1]3.評價中應讓學生經歷數學的學習運用和實踐探索活動過程.數學閱讀是一個不斷假設、想象、證明和推理的過程[2].中考試題命制在數學閱讀基礎上，將方法應用于類似問題情境，整合經驗與方法，再創新應用于新的問題情境，這一過程能夠充分展示學生的思維發展歷程，體現學生的數學核心素養發展水平.在中考命題中探索“綜合與實踐”新的評價設計形式有著重要的實踐意義和借鑒價值.

本文以山東省濰坊市2023年中考數學第22題為例，談談基于“新課標”的試題研究與評價.

1試題呈現

【材料閱讀】

用數形結合的方法，可以探究q+q2+q3+…+qn+…的值，其中0

例求12+122+123+…+12n+…的值.

方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖1可知12+122+123+…+12n…的結果等于該正方形的面積，即

12+122+123+…+12n+…=1.

方法2：借助函數y=12x+12和y=x的圖象，觀察圖2可知12+122+123+…+12n+…的結果等于a1，a2，a3，…，an，…等各條豎直線段的長度之和，即兩個函數圖象的交點到x軸的距離.

因為兩個函數圖象的交點（1，1）到x軸的距離為1，所以12+122+123+…+12n+…=1.

【實踐應用】

任務一完善23+232+233+…+23n+…的求值過程.

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖3可知23+232+233+…+23n+…=.

方法2：借助函數y=23x+23和y=x的圖象，觀察圖4可知因為兩個函數圖象的交點的坐標為，所以23+232+233+…+23n+…=.

任務二參照上面的過程，選擇合適的方法，求34+342+343+…+34n+…的值.

任務三用方法2，求q+q2+q3+…+qn+…的值（結果用q表示）.

【遷移拓展】

長寬之比為5+12∶1的矩形是黃金矩形，將黃金矩形依次截去一個正方形后，得到的新矩形仍是黃金矩形.

觀察圖5，直接寫出5-122+5-124+5-126+…+5-122n-2+5-122n+…的值.

2試題解法研究

本題分為“材料閱讀—實踐應用—遷移拓展”三個部分，問題的設問在實踐應用和遷移拓展兩個欄目中呈現，在實踐應用欄目中設置了三項任務.題目敘述篇幅較長，要求學生有較強的閱讀理解能力和分析探究能力.其中，任務一是3個填空題，學生理解題意后比較容易求出答案；任務二和任務三需要類比方法、構建模型求解；遷移拓展欄目則需要綜合運用數學知識和思想方法，具有較強的綜合性.

任務一中，如果用閱讀材料中的方法1，需要仔細觀察正方形，發現各個小長方形的面積之和等于待求式的值.相對于圖1中的正方形，圖3的正方形邊長和分割方式已經發生變化，計算23+232+233+…+23n+…的值，需要借助邊長為2的正方形求解；若用閱讀材料中的方法2，只需求出兩個一次函數圖象的交點坐標（2，2），便可以得到結果.任務一的難度較小，學生能夠比較容易地進入題目場景.

任務二中，讓學生選擇合適的方法，求算式34+342+343+…+34n+…的值，是一個半開放的問題.其主要解法有以下四種.

方法1借助面積為3的正方形，先將正方形面積四等分，取其一份；然后將剩下的長方形面積四等分，取其一份；依次截取，得到如圖6所示的圖形圖6，觀察圖形，可得34+342+343+…+34n+…=3.

方法2構造函數y=34x+34，由函數y=34x+34和函數y=x，聯立得y=34x+34，y=x，解得x=3，y=3，即所求算式的結果為3.

方法3記S=34+342+343+…+34n+…①

兩邊同乘34，得34S=342+343+344…+34n+1+…②

①-②即得S=3.

方法4可以借助高等數學的無窮收斂級數公式計算，讀者可自行求解.

任務三中，構造函數y=qx+q，由函數y=qx+q和函數y=x，聯立得y=qx+q，y=x，解得y=x=q1-q，即所求算式的結果為q1-q.

遷移拓展欄目中，學生不論是采用面積分割的方法，還是構造函數的方法，都需要具有較高的遷移應用能力.

方法1借助圖形5，注意到5-122表示的是圖形中右上角小正方形的面積，往右下角的各小正方形的面積依次為5-124，5-126，…

因此，所有小正方形的面積之和（陰影區域面積）等于大長方形面積與左側最大正方形面積的差，如圖7所示.

所以5-122+5-124+5-126+…+5-12n+…=5+12-1=5-12.

方法2可以聯立函數y=5-122x+5-122和函數y=x，求交點坐標.計算過程中需要用到分母有理化，運算量較大，筆者不再贅述.

3試題評價

本題以無窮級數為背景，以初中數學的幾何圖形等面積法和構造一次函數法為切入點，考查學生綜合解決問題的能力.試題立意密切結合“從知識立意到素養立意”的轉型思想，指向數學本質，關注學生的應用意識和創新意識水平的考查，關注學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的關鍵能力考查.

3.1充分體現《課標（2022年版）》的課程基本理念

《課標（2022年版）》在“課程理念”中提出，“……使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養”[1]2.但是，教師在實際教學中往往實施“一刀切”的模式，在例題設置、習題選擇和問題設計上多是面向“中間生”和“優秀生”，導致“學困生”無法參與學習活動，逐漸喪失數學學習的興趣和動力.

本題對于改變一線教師的這一現狀具有積極的導向作用.其素材的選取來源于《義務教育初中教科書數學（青島版七年級上冊）》“綜合與實踐”和《義務教育初中教科書數學（青島版九年級上冊）》“綜合與實踐”.這不僅規避了城鄉學生對現實生活情境的認知差異，而且規避了學生之間的起點差異；確保了情境創設的公平性、真實性、典型性和適切性，緊貼學生的學習、生活實際狀況；題目“入手”容易，逐級而上，遵循了不同層級的學生“跳一跳”能夠摘到桃子的原則，最后的設問則對學生的遷移應用和創新應用提出了較高的要求.這種梯度設計有利于保護學生學習數學的興趣，激發學生探究數學的熱情.

3.2嚴格落實《課標（2022年版）》學業質量評價要求

《課標（2022年版）》在“學業質量”中提出：評估學生核心素養情況要在經歷“用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維與數學的語言分析和解決問題”的過程中所形成的模型觀念、數據觀念、應用意識和創新意識等[1]81.在日常教學中，雖然我們一直提倡培養學生的應用意識和創新意識，但是具體如何實施，以及如何檢測學生的創新能力，仍舊是教學實施和教學評價中的“老大難”問題.

本試題首先以閱讀材料的形式呈現解題步驟，模擬課堂研究性學習的全過程，詳細示范解題的兩種方法；然后依次從具體簡單數字的數列求和，到探究含字母的數列求和，最后在黃金矩形中得以創新應用，完整呈現了數學問題和數學規律從發現到應用的過程，對數學的教學實施過程富有很強的指導意義，為數學綜合實踐類題目的命制也提供了較好的借鑒價值.教師必須逐步改變基于“題海戰術”的應試策略，轉向重視過程性教學，關注學生學習方法的指導，重視數學的應用價值.

3.3符合學生的認知規律

一是符合學生對概念方法的學習過程，即“感知→理解→掌握→應用”.學生在對閱讀材料提供的思路方法有初步感知的基礎上進行模仿應用；學生掌握其兩種解法的過程和要領后，在新的數學情境中遷移應用，充分感悟數學思想方法的強大魅力.在這一過程中，學生經歷對新知的“再發現”與“再創造”，體驗到數學思考與發現的快樂，達到對知識實實在在、沁入內心的理解和掌握.

二是符合學生對事物認識的主要方式，即“特殊→一般→特殊”.為了得到q+q2+q3+…+qn+…的一般通解，首先取q=12，q=23，q=34，從這些特例開始，引導學生逐步深入探究，逐步“放手”，直至學生能夠用自己的方法探究得到一般性結論：q+q2+q3+…+qn+…=q1-q.最后，在遷移應用欄目中又回歸到q=5-122的特例求解，讓學生的思維再次升華.

3.4符合數學思想方法的教學特點

《課標（2022年版）》在義務教育數學課程學業質量標準量表中提出，“能夠在解決問題的過程中選擇合適的方法進行評估，并對結果的實際意義作出解釋.能夠知道解決問題方法的多樣性”[1]83.在實際教學中，大多學生在學習數學內容時，過度依賴教師的指導，難以形成自己的思想方法體系；在應試教育背景下，很多老師為了所謂“短平快”的教學效益，一味選擇刷題講題，并且在講題中往往選擇自己的經驗解法，缺乏思想方法的總結；也有的教師對“一題多解”關注較多，而對解決問題的方法的優劣比較關注較少.這些做法不利于培養學生思維的縝密性，也不利于養成學生的思辯能力.

試題中呈現的任務，學生既可以使用幾何領域中的面積分割法，又可以使用代數領域中的函數構造法，體現了數學問題解決的方法多樣性.“任務二”中，第1種方法借助圖形解決問題，不論是從思維過程還是從求解過程來看，都要比第2種方法復雜，體現了在不同問題中方法選擇的重要性；“任務三”中，學生需要自己選擇建構圖形或構建函數，脫離“模仿”的低層級學習，試題對解題方法沒有限制，學生既可以從閱讀材料零起點入手現學現用，也可以用高中階段的等比數列知識或大學的無窮級數知識從高視角降維求解.

4教學啟示

4.1重視“綜合與實踐”教學，提升學生的應用意識和創新意識

在數學教學中，應重視“綜合與實踐”領域的學習，采取項目式或主題式的學習方法，整合數學基礎知識、基本技能和基本思想方法，在活動中讓學生積累基本活動經驗.綜合與實踐的教學應注意把握以下三個原則：

一是漸進式原則.要從學生的實際情況出發，設計與學生認知貼近、與學生生活貼近的問題，以學科內綜合為起點逐漸走向學科間的綜合，從解決單一主題的問題到復雜情境的問題，引導學生克服對綜合與實踐的畏難情緒.

二是真實情境原則.真實情境包括生活情境、數學情境、科學情境、社會情境，在教學中靈活創設情境，以使學生充分感受數學與現實生活、數學內部、數學與科學、數學與社會之間的聯系，培養學生的應用意識和創新意識.

三是探究性原則.基于數學學科的思維特點，設計問題時要具有科學探究的價值，要用問題鏈和任務串體現設問的進階，引導學生在探究中發現，在質疑中理解，在反思中感悟，在應用中創新，提升學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

4.2重視開展數學閱讀，增強學生的閱讀理解能力

數學閱讀已成為數學核心素養視角下的關鍵能力.它包括對給出材料的文字語言、符號語言、圖表語言的認知與理解，即會用數學的眼光觀察現實世界；還包括對材料中的信息進行分析、加工和處理，以尋找出其數量或圖形的內在數學邏輯，即會用數學的思維思考現實世界；同時，問題解決的過程中需要學生用類似于材料中的語言和已積累內化的語言進行表述，即會用數學的語言表達現實世界.因此，在數學教學中教師應有意識地加強學生數學閱讀理解能力的培養.

一是要積極營造數學閱讀的氛圍.在日常教學中教師要力行主導作用，引導學生養成自主學習新知的習慣，逐步形成學生獨立閱讀教材和獨立解讀教材的能力；在例題講解過程中，引導學生自主閱讀題目，獨立思考題目的已知條件和待求問題.

二是要重視數學語言的轉化教學.現行各版本的初中數學教材中，多數數學公式、定理、推論是給出一種語言的表述，教師教學時應有意識地引導學生進行多種語言的描述或轉化，在問題解決過程中積極嘗試用圖形語言、表格語言來刻畫數量關系和變化關系.

三是要加強數學閱讀方法的指導.在教學中應引導學生從問題的關鍵信息入手，借助必要的圖形和表格幫助理解；引導學生從隱含的條件入手，不斷挖掘條件背后的實質；引導學生從解決問題的角度思考還缺少什么條件，以及如何獲取條件.

4.3重視數學思想方法的教學，培養學生的高階思維能力

數學思想方法的教學是形成學生數學核心素養的有效途徑，也是學生從“高位”認知數學的重要支撐.無論是從特殊到一般的數學概念和定理的歸納方法，還是從未知到已會的問題轉化思想，都需要在教學中貫徹落實，使數學思想方法固化為學生的關鍵能力.對數學思想方法的教學絕非一蹴而就，需要經歷層次化、階段性的過程，需要讓學習者在長期的學習過程中盡可能多地領悟到其中的真諦[3].因此，作為一線教師需要做到：在備課、上課、作業的教學全鏈條中融入數學思想方法；在真實情境問題的解決過程中，體現、應用和升華數學思想方法；在數學興趣培養的過程中，體驗、感悟數學思想方法的獨特魅力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版[M].北京：北京師范大學出版社，2022.4

[2]施建兵.在數學教學中怎樣培養學生的閱讀能力[J].語數外學習：初中版下旬，2013 （10）：66.

[3]李樹臣.借鑒試題導學價值提高數學教學質量[J].中國數學教育，2015 （21）：60-64.

作者簡介

梁全聲（1977—），男，山東濰坊人，濰坊市高新區初中數學教研員、中學高級教師；山東省教學能手、齊魯名師；全國義務教育初中數學教材（青島版）核心作者.

于芳民（1979—），男，山東滕州人，中學高級教師;濰坊市教育科學研究院初中數學教研員;全國義務教育初中數學教材（青島版）核心作者.

指向初高銜接的初中函數解題教學實踐與思考基金項目江蘇省教育學會“十四五”教育科研規劃一般課題“指向核心素養的數學建模教學研究”（22A00QTJS35）;無錫市教育學會“十四五”教育科研課題“指向核心素養的初中數學‘后建構課堂教學策略研究”（XH2022311）;無錫經開區“十四五”規劃課題“基于‘三會核心素養的初中數學‘后建構課堂教學策略研究”（2022JKGH1-09）.