對一道期中考試題的深入探究

李強(qiáng) 韓曉飛

【摘要】近年來各地中考試題中出現(xiàn)了很多高質(zhì)量的求解反比例函數(shù)“k”值的考題，這些考題既形式多樣、靈活多變，又有較大的難度.通過對2022年淄博市張店區(qū)九年級期中考試中一道反比例函數(shù)試題的深入探究，獲得了幾個(gè)新結(jié)論新方法，探索的過程為學(xué)生積累了寶貴的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù)；基本結(jié)論；中考試題

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識，求解反比例函數(shù)“k”值的問題更是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是各地中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn).筆者通過對2022年張店區(qū)九年級上學(xué)期期中一道反比例函數(shù)試題的深入探究，總結(jié)了3個(gè)基本結(jié)論，利用這幾個(gè)結(jié)論能夠高效地解決求解反比例函數(shù)“k”值的問題，現(xiàn)撰寫成文以饗讀者．

1原題呈現(xiàn)

題目：（2022年張店區(qū)九年級期中考試）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCBA的頂點(diǎn)C，A分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3），BD=2．

（1）求反比函數(shù)y=kx的表達(dá)式及E點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）連接DE，AC，判斷DE與AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．

（3）略．這一問與本文研究對象無關(guān)，故省略．

簡析根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3），BD=2，易求反比函數(shù)的表達(dá)式為y=12x，E點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2），所以可求得BE=1，進(jìn)而可證△BDE∽△BAC，從而可以確定DE∥AC、AC=3DE．

疑問如果去掉點(diǎn)B坐標(biāo)這個(gè)已知條件，那么DE與AC的位置關(guān)系是否保持不變呢？

2深入探究

探究一

操作探究

作者帶著上面的疑問，與學(xué)生一起進(jìn)行了深入的探究．如圖2，利用幾何畫板進(jìn)行操作驗(yàn)證，變換點(diǎn)B的位置，觀察發(fā)現(xiàn)直線DE與直線AC始終是平行的．

去掉已知條件中的x>0后，繼續(xù)利用幾何畫板進(jìn)行操作探究，如圖3，我們會發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B在平面內(nèi)任意位置時(shí)，直線DE與直線AC仍然是平行的．

推理證明

方法1如圖2，連接OD，OE，過點(diǎn)D，E作AC的垂線，垂足分別為P，Q，由于△OAD與△OCE面積都等于k2，所以可得OA·AD=OC·CE，前式可以轉(zhuǎn)化為OAOC=CEAD，根據(jù)等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為BCAB=CEAD，進(jìn)而可證DE∥AC．

方法2連接CD，AE，我們很容易得到S△CAD=S△OAD=k2，同理得到S△ACE=S△OCE=k2，所以S△CAD=S△ACE，則有DP·AC=EQ·AC，DP=EQ所以可得DE∥AC．

基本結(jié)論1過反比例函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的直線為l1，過這兩點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，過兩個(gè)垂足作直線l2，則有l(wèi)1∥l2．

探究二

操作探究

如圖4、圖5，作者與學(xué)生利用幾何畫板繼續(xù)探究，直線DE交x軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)M，通過觀察度量數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)DM=EN，DN=EM．

推理證明

方法從結(jié)論1中我們已經(jīng)得知DE∥AC，這樣可以得到AMEC和ACND，所以ME=AC=DN，進(jìn)而得到MD=EN．

基本結(jié)論2在反比例函數(shù)圖像的一個(gè)分支上任意取兩點(diǎn)D，E，直線DE與x軸相交于點(diǎn)N，與y軸相交于點(diǎn)M，則有DM=EN．

探究三

如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCBA的頂點(diǎn)C，A分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖像與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接DE．延長DE交x軸于點(diǎn)N，延長ED交y軸于點(diǎn)M．連接EO并延長交反比例函數(shù)另一分支于點(diǎn)F，連接DF交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)H，觀察發(fā)現(xiàn)DG=DN，DM=DH（等價(jià)于∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM）．為了讓圖形更加清晰，便于探究相關(guān)結(jié)論，圖6中隱藏了線段AB，BC．

操作探究

作者與學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行探究．利用幾何畫板度量DG，DN，DM，DH的長度，∠DGN，∠DNG，∠DMH，∠DHM的角度來驗(yàn)證觀察結(jié)果，通過反復(fù)變化點(diǎn)D和E坐標(biāo)，觀察度量數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)DG=DN，DM=DH，∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM．

推理證明

方法如圖6，取線段DE中點(diǎn)Q，連接OQ，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)是中心對稱圖形，所以O(shè)E=OF，所以線段OQ是△EFD的中位線，所以O(shè)Q∥DF，可得同位角∠DGN=∠QON．根據(jù)結(jié)論1可知MD=EN，又因點(diǎn)Q是線段DE中點(diǎn)，所以MQ=QN=OQ，所以∠QON=∠QNO=∠DGN，所以DG=DN．同理可證DM=DH，∠DMH=∠DHM．

基本結(jié)論3[1]在反比例函數(shù)上任意兩點(diǎn)D，E，點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)對稱的F，連接DF，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，與y軸相交于點(diǎn)H，直線DE與x軸相交于點(diǎn)N，與y軸相交于點(diǎn)M，則有DG=DN，DM=DH，∠DGN=∠DNG，∠DMH=∠DHM．

3結(jié)論應(yīng)用

3.1應(yīng)用基本結(jié)論1解決問題

例1（2017鄂州模擬）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象交矩形OABC的邊AB于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E，且BE=2EC．若△DBE的面積為8，則k的值為.

簡析我們根據(jù)結(jié)論1可知DE∥AC，又因?yàn)锽E=2EC，所以BDAD=BECE=2，設(shè)EC=m，AD=n，所以BE=2m，BD=2n，所以S△BDE=2mn=8，所以mn=4，因?yàn)閗=AD·AO=3mn，所以k=12．

另，很多類似的問題，當(dāng)有本題中BE=2EC這樣的條件，或者經(jīng)過證明得到類似的結(jié)論，根據(jù)比值設(shè)兩個(gè)參數(shù)，利用參數(shù)會降低運(yùn)算量.

圖8例2如圖8，已知直線y1=k1x+b與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y2=k2x的圖象交于A（m，1），B（n，-4），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為．

簡析根據(jù)結(jié)論2可知AM=BN，所以AN=BM，因?yàn)辄c(diǎn)A，M，N，B共線，所以yA-yN=yM-yB，即1-yN=0-（-4），所以yN=-3，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，-3）．

3.2應(yīng)用基本結(jié)論2解決問題

例3（2020年寧波模擬）如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)G為△OAB的重心，連接BG并延長交OA于點(diǎn)C，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過C，G兩點(diǎn)．若△AOB的面積為6，則k的值為.

簡析連接GC并延長交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為F．根據(jù)結(jié)論2得知CD=GB，根據(jù)點(diǎn)G為△OAB的重心可知CD=BG=2CG．所以DFDO=DCDB=25，因?yàn)镾△OAB=6，所以S△OBC=3，所以S△OCD=2，S△OCF=35S△OCD=65，所以k=125．

另外，本題也可以如圖9，構(gòu)造矩形OEHF，采用例1設(shè)參數(shù)的辦法求解k的值．

3.3應(yīng)用基本結(jié)論3解決問題

例4（2019長沙中考）如圖10，函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k＞0）的圖象與過原點(diǎn)的O的直線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)雙曲線上的動點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)），直線AM分別交x軸，y軸于C，D兩點(diǎn)，連接BM分別交x軸，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)．若MF=25MB，則MD與MA的關(guān)系是.

簡析因?yàn)镸F=25MB，設(shè)MF=2m，根據(jù)結(jié)論2可知EM=3m，根據(jù)結(jié)論3可知MC=EM=3m，DM=MF=2m，根據(jù)結(jié)論2可知AC=DM=2m，所以MA=m，所以MD=2MA．

每年全國各地的各種性質(zhì)的考試題中，都會產(chǎn)生很多經(jīng)典考題，命題者精心命制的這些試題是他們深度研究教材及相關(guān)知識的的成果，所以這些試題源于教材又高于教材，這些試題更是一線教師非常好的教學(xué)資源.如果教師能夠利用好這個(gè)豐富的資源，與學(xué)生一起開展探究，通過探究能夠獲取很多未知的結(jié)論，并總結(jié)出新的解題方法，能夠在探究的過程中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神和提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，更能夠提高一線教師突破性使用教材的能力．反比例函數(shù)中還有很多未知的結(jié)論，作者期望通過本文拋磚引玉，期待更多的數(shù)學(xué)教師能夠引領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)探究，并分享探究成果，促進(jìn)共同的進(jìn)步．參考文獻(xiàn)[1]陸祥雪.考題回溯尋找關(guān)聯(lián)：與一道中考題相關(guān)的反比例函數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（06）： 40-43.

作者簡介李強(qiáng)（1981—），男，山東淄博人，中學(xué)一級教師，淄博教學(xué)能手.

韓曉飛（1982—），男，山東淄博人，中學(xué)二級教師.