數(shù)形結(jié)合視角下教學(xué)活動(dòng)的開展

張媛

“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”是人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十二章第一節(jié)的內(nèi)容。該節(jié)內(nèi)容包含二次函數(shù)的概念以及y=ax2、y=a（x-h）2+k、y=ax2+bx+c（其中，a均不為0）函數(shù)的圖象和性質(zhì)等內(nèi)容。以下將重點(diǎn)放在對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的探尋上，且探尋過程均在a≠0的情況下進(jìn)行。

一、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

（一）圖象和性質(zhì)的探尋

教學(xué)中明確y=ax2圖象和性質(zhì)的探尋方向，可以保證教學(xué)活動(dòng)有序、高效推進(jìn)，因此，教師可以預(yù)告教學(xué)內(nèi)容，從拋物線的開口大小、對(duì)稱軸與頂點(diǎn)特點(diǎn)、y隨x的變化趨勢(shì)方面進(jìn)行探討。

對(duì)于拋物線開口大小的教學(xué)，課堂上教師分別展示a＞0和a＜0時(shí)的多個(gè)二次函數(shù)圖象，要求學(xué)生分析a的大小對(duì)函數(shù)圖象開口大小的影響。這里a分別取值±、±1、±2繪制對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，如圖1所示。

觀察圖1，在a＞0的情況下，a越大，圖象的開口越小；在a＜0的情況下，a越大，圖象的開口越大。同時(shí)，要求學(xué)生從圖形對(duì)稱的角度觀察函數(shù)圖象，確定其對(duì)稱軸，分析圖象的特征。觀察、歸納可以得出不考慮a的正負(fù)，函數(shù)圖象均關(guān)于y軸對(duì)稱。其中當(dāng)a＞0時(shí)有最低點(diǎn)，即頂點(diǎn)（0，0）；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有最高點(diǎn)，頂點(diǎn)也為（0，0）。

探究任務(wù)：當(dāng)a＞0時(shí)，沿著x軸的正方向觀察函數(shù)圖象是怎樣變化的，分析對(duì)應(yīng)y值的變化規(guī)律，而后與學(xué)生一起進(jìn)行探尋。沿著x軸的正方向觀察對(duì)應(yīng)著x的值逐漸變大，容易看到函數(shù)圖象先下降至頂點(diǎn)而后上升。由于函數(shù)圖象由無數(shù)個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，圖象的下降對(duì)應(yīng)函數(shù)的值減小，圖象上升對(duì)應(yīng)函數(shù)值增大。用數(shù)學(xué)語言描述為：當(dāng)x＜0時(shí)，y隨著x值的增大而減小；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨著x值的增大而增大。

課堂上要求學(xué)生參考上述分析思路，分析a＜0時(shí)函數(shù)圖象的性質(zhì)，并完成如下填空內(nèi)容。

當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線的開口____；當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x值的增大而___；當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x值的增大而___。

（二）應(yīng)用講解

例1.已知A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)在拋物線上，若y1＜y2，則下列說法正確的是（ ?）

A.0≤x2＜x1 ?? B.x1＜x2≤0

C.x1＜x2≤0或0≤x2＜x1 D.以上均不對(duì)

由二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)可知，A、B兩點(diǎn)的位置并不確定，需要進(jìn)行分類討論，考慮A、B處在y軸左側(cè)、右側(cè)、兩側(cè)三種情況。借助圖象，通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論，可以直觀地看到A、B兩點(diǎn)的位置，得出x1，x2的大小關(guān)系，如圖2所示：

對(duì)于圖2（a）可得x1＜x2≤0；對(duì)于圖2（b）可得0≤x2＜x1；對(duì)于圖2（c）可得x2＜0≤x1，且x2＜x1；對(duì)于圖2（d）可得x1＜0≤x2，且x2＜x1。綜上分析可知，正確答案為D。

二、二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)

（一）知識(shí)講解

二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，先通過函數(shù)圖象的平移研究拋物線y=ax2和拋物線y=ax2+k的關(guān)系。為方便理解，將這兩個(gè)拋物線實(shí)例化為拋物線y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1，并展示三個(gè)圖象。

要求學(xué)生觀察函數(shù)圖象，自主完成表格內(nèi)容。（見表1）

而后提出問題：將拋物線y=2x2進(jìn)行怎樣的平移才能得到拋物線y=2x2+1和y=2x2-1？在此基礎(chǔ)上你能總結(jié)出拋物線y=ax2和拋物線y=ax2+k的關(guān)系嗎？

由函數(shù)圖象可以清晰地看到，將拋物線y=2x2向上平移1個(gè)單位得到拋物線y=2x2+1；向下平移1個(gè)單位得到拋物線y=2x2-1。推廣開來，拋物線y=ax2可以通過上下平移k個(gè)單位得到拋物線y=ax2±k，其中k的符號(hào)為正則向上平移，為負(fù)則向下平移，簡記為“上加下減”。

待學(xué)生掌握拋物線上下平移的規(guī)律后，教師要求學(xué)生討論在平面直角坐標(biāo)系中還可以怎樣平移拋物線？顯然，還可以左右平移拋物線，為此引出問題：拋物線y=a（x-h）2和拋物線y=ax2存在何種關(guān)系？該探究過程，可以要求學(xué)生從探尋拋物線y=-（x+1）2、y=-（x-1）2、y=-x2三者的關(guān)系入手。在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)拋物線的位置如圖3所示。

從圖3中可以看出，拋物線y=-（x+1）2的頂點(diǎn)為（-1，0），對(duì)稱軸為直線x=-1；拋物線y=-（x-1）2的頂點(diǎn)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x=1；以拋物線的頂點(diǎn)為對(duì)象，可以清晰地看到將拋物線分別向左、向右平移得到拋物線y=-（x+1）2和y=-（x-1）2。由此可以得到結(jié)論：拋物線y=ax2向左或向右平移h個(gè)單位得到拋物線y=a（x±h）2，其中h的符號(hào)為正則表示向左平移，符號(hào)為負(fù)表示向右平移，簡記為“左加右減”。

課堂上展示問題：已知拋物線y=-x2，則進(jìn)行怎樣的平移可以得到拋物線y=-（x+1）2-1？該問題將函數(shù)上下左右平移的規(guī)律綜合起來，能很好地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的理解程度。在分析該問題時(shí)有兩種思路：先左右平移后上下平移；先上下平移后左右平移。

先左右平移后上下平移的具體步驟為：將拋物線y=-x2向左平移1個(gè)單位得到拋物線y=-（x+1）2，繼續(xù)向下平移1個(gè)單位得到拋物線y=-（x+1）2-1。先上下平移后左右平移的具體步驟為：將拋物線y=-x2向下平移1個(gè)單位得到拋物線y= -x2-1，繼續(xù)向左平移1個(gè)單位得到拋物線y=-（x+1）2-1。

通過兩種平移思路可以得出拋物線進(jìn)行左右平移時(shí)是對(duì)自變量x而言的，即先將二次項(xiàng)系數(shù)提取出來再考慮平移的單位是多少。在平移的過程中，拋物線的頂點(diǎn)會(huì)發(fā)生改變，如拋物線y=-x2的頂點(diǎn)為（0，0），拋物線y=-（x+1）2-1的頂點(diǎn)為（-1，-1）。其中，上下平移不改變拋物線的對(duì)稱軸，左右平移改變拋物線的對(duì)稱軸。拋物線y=-x2的對(duì)稱軸為y軸，拋物線y=-（x+1）2-1對(duì)稱軸為直線x=-1。綜合起來，可以得到二次函數(shù)y=a（x-h）2+k性質(zhì)，其對(duì)稱軸為直線x=h，頂點(diǎn)為（h，k），其開口方向根據(jù)a的符號(hào)來定，為正開口向上，為負(fù)則開口向下；y隨x的變化情況，需要結(jié)合a的正負(fù)以及對(duì)稱軸情況進(jìn)行分析。

（二）例題展示

例2.若二次函數(shù)y=a（x-4）2+4的圖象在2＜x＜3這一段位于x軸上方，在6＜x＜7這一段位于x軸下方，則a的值為____。

由二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)可以知道，二次函數(shù)y=a（x-4）2+4圖象的頂點(diǎn)為（4，4），對(duì)稱軸為直線x=4，根據(jù)題意其開口只能向下。畫出對(duì)應(yīng)的圖象如圖4所示：

由圖4可知，圖象剛好過點(diǎn)（2，0）和（6，0）時(shí)滿足題意。由二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的性質(zhì)可知：當(dāng)a＞-1時(shí)，圖象開口變大，在x＞6時(shí)圖象有部分在x軸上方，與題意不符；當(dāng)a＜-1時(shí)，圖象開口變小，x＞2時(shí)，圖象有部分在x軸下方，不滿足題意。綜上分析可以得出a=-1。

三、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

（一）理論講解

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)教學(xué)，可以從學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備入手，搭建新舊知識(shí)的橋梁進(jìn)行推理、總結(jié)。

以二次函數(shù)y=x2-6x+21為例，如直接采用描點(diǎn)法繪制圖象，需要進(jìn)行煩瑣的計(jì)算，難度較大。因此，可以通過適當(dāng)變形，尋找規(guī)律，合理取點(diǎn)。課堂上與學(xué)生一起對(duì)其進(jìn)行配方、變形，得到y(tǒng)=（x-6）2+3。從中可直接看出其頂點(diǎn)為（6，3），對(duì)稱軸為直線x=6。在對(duì)稱軸左右取點(diǎn)，可以順利畫出其圖象。結(jié)合圖象可以描述出y隨x的變化關(guān)系。

基于上述知識(shí)鋪墊，接下來探尋二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)。對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c進(jìn)行配方，得到：y=a（x+）2+，對(duì)照二次函數(shù)y=a（x-h）2+k，容易得到：其對(duì)稱軸為直線x=-，頂點(diǎn)為（-，）。對(duì)于y隨x的變化關(guān)系，教學(xué)中既可以要求學(xué)生聯(lián)系y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，也可以結(jié)合對(duì)應(yīng)的圖象進(jìn)行分析。由于a的正負(fù)影響二次函數(shù)圖象的開口方向，因此，需要分a＞0和a＜0兩種情況。

（二）課堂訓(xùn)練

例3.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖5所示，若M=5a+4c，N=a+b+c，則M、N與0的大小關(guān)系分別是____。

由題意可知，當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c，由圖5可知，N＞0；另外，圖象的對(duì)稱軸為直線x=1，即x=-=1，b=-2a。又由圖可知，當(dāng)x=2.5時(shí)，y=a+b+c＞0，整理得到：25a+10b+4c＞0，將b=-2a代入整理得到：5a+4c＞0，即M＞0。

四、總結(jié)

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)中，以數(shù)形結(jié)合為指引，和學(xué)生一起探尋，給學(xué)生帶來直觀的感性認(rèn)識(shí)以及理性的推理分析，增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)趣味性的同時(shí)，使學(xué)生通過參與知識(shí)的形成過程深入理解、牢固掌握所學(xué)，有效地鍛煉了學(xué)生的解題技能。

（作者單位：陜西省渭南市合陽縣城關(guān)中學(xué)）

編輯：常超波