數形結合視角下教學活動的開展

張媛

“二次函數的圖象和性質”是人教版九年級上冊第二十二章第一節的內容。該節內容包含二次函數的概念以及y=ax2、y=a（x-h）2+k、y=ax2+bx+c（其中，a均不為0）函數的圖象和性質等內容。以下將重點放在對二次函數圖象和性質的探尋上，且探尋過程均在a≠0的情況下進行。

一、二次函數y=ax2的圖象和性質

（一）圖象和性質的探尋

教學中明確y=ax2圖象和性質的探尋方向，可以保證教學活動有序、高效推進，因此，教師可以預告教學內容，從拋物線的開口大小、對稱軸與頂點特點、y隨x的變化趨勢方面進行探討。

對于拋物線開口大小的教學，課堂上教師分別展示a＞0和a＜0時的多個二次函數圖象，要求學生分析a的大小對函數圖象開口大小的影響。這里a分別取值±、±1、±2繪制對應函數的圖象，如圖1所示。

觀察圖1，在a＞0的情況下，a越大，圖象的開口越小；在a＜0的情況下，a越大，圖象的開口越大。同時，要求學生從圖形對稱的角度觀察函數圖象，確定其對稱軸，分析圖象的特征。觀察、歸納可以得出不考慮a的正負，函數圖象均關于y軸對稱。其中當a＞0時有最低點，即頂點（0，0）；當a＜0時，函數有最高點，頂點也為（0，0）。

探究任務：當a＞0時，沿著x軸的正方向觀察函數圖象是怎樣變化的，分析對應y值的變化規律，而后與學生一起進行探尋。沿著x軸的正方向觀察對應著x的值逐漸變大，容易看到函數圖象先下降至頂點而后上升。由于函數圖象由無數個點構成，圖象的下降對應函數的值減小，圖象上升對應函數值增大。用數學語言描述為：當x＜0時，y隨著x值的增大而減小；當x＞0時，y隨著x值的增大而增大。

課堂上要求學生參考上述分析思路，分析a＜0時函數圖象的性質，并完成如下填空內容。

當a＜0時，拋物線的開口____；當x＜0時，y隨x值的增大而___；當x＞0時，y隨x值的增大而___。

（二）應用講解

例1.已知A（x1，y1），B（x2，y2）兩點在拋物線上，若y1＜y2，則下列說法正確的是（ ?）

A.0≤x2＜x1 ?? B.x1＜x2≤0

C.x1＜x2≤0或0≤x2＜x1 D.以上均不對

由二次函數y=ax2的圖象和性質可知，A、B兩點的位置并不確定，需要進行分類討論，考慮A、B處在y軸左側、右側、兩側三種情況。借助圖象，通過數形結合進行分類討論，可以直觀地看到A、B兩點的位置，得出x1，x2的大小關系，如圖2所示：

對于圖2（a）可得x1＜x2≤0；對于圖2（b）可得0≤x2＜x1；對于圖2（c）可得x2＜0≤x1，且x2＜x1；對于圖2（d）可得x1＜0≤x2，且x2＜x1。綜上分析可知，正確答案為D。

二、二次函數y=a（x-h）2+k的圖象和性質

（一）知識講解

二次函數y=a（x-h）2+k的圖象和性質教學中，根據學生的認知規律，先通過函數圖象的平移研究拋物線y=ax2和拋物線y=ax2+k的關系。為方便理解，將這兩個拋物線實例化為拋物線y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1，并展示三個圖象。

要求學生觀察函數圖象，自主完成表格內容。（見表1）

而后提出問題：將拋物線y=2x2進行怎樣的平移才能得到拋物線y=2x2+1和y=2x2-1？在此基礎上你能總結出拋物線y=ax2和拋物線y=ax2+k的關系嗎？

由函數圖象可以清晰地看到，將拋物線y=2x2向上平移1個單位得到拋物線y=2x2+1；向下平移1個單位得到拋物線y=2x2-1。推廣開來，拋物線y=ax2可以通過上下平移k個單位得到拋物線y=ax2±k，其中k的符號為正則向上平移，為負則向下平移，簡記為“上加下減”。

待學生掌握拋物線上下平移的規律后，教師要求學生討論在平面直角坐標系中還可以怎樣平移拋物線？顯然，還可以左右平移拋物線，為此引出問題：拋物線y=a（x-h）2和拋物線y=ax2存在何種關系？該探究過程，可以要求學生從探尋拋物線y=-（x+1）2、y=-（x-1）2、y=-x2三者的關系入手。在平面直角坐標系中，三個拋物線的位置如圖3所示。

從圖3中可以看出，拋物線y=-（x+1）2的頂點為（-1，0），對稱軸為直線x=-1；拋物線y=-（x-1）2的頂點為（1，0），對稱軸為直線x=1；以拋物線的頂點為對象，可以清晰地看到將拋物線分別向左、向右平移得到拋物線y=-（x+1）2和y=-（x-1）2。由此可以得到結論：拋物線y=ax2向左或向右平移h個單位得到拋物線y=a（x±h）2，其中h的符號為正則表示向左平移，符號為負表示向右平移，簡記為“左加右減”。

課堂上展示問題：已知拋物線y=-x2，則進行怎樣的平移可以得到拋物線y=-（x+1）2-1？該問題將函數上下左右平移的規律綜合起來，能很好地檢驗學生對函數圖象的理解程度。在分析該問題時有兩種思路：先左右平移后上下平移；先上下平移后左右平移。

先左右平移后上下平移的具體步驟為：將拋物線y=-x2向左平移1個單位得到拋物線y=-（x+1）2，繼續向下平移1個單位得到拋物線y=-（x+1）2-1。先上下平移后左右平移的具體步驟為：將拋物線y=-x2向下平移1個單位得到拋物線y= -x2-1，繼續向左平移1個單位得到拋物線y=-（x+1）2-1。

通過兩種平移思路可以得出拋物線進行左右平移時是對自變量x而言的，即先將二次項系數提取出來再考慮平移的單位是多少。在平移的過程中，拋物線的頂點會發生改變，如拋物線y=-x2的頂點為（0，0），拋物線y=-（x+1）2-1的頂點為（-1，-1）。其中，上下平移不改變拋物線的對稱軸，左右平移改變拋物線的對稱軸。拋物線y=-x2的對稱軸為y軸，拋物線y=-（x+1）2-1對稱軸為直線x=-1。綜合起來，可以得到二次函數y=a（x-h）2+k性質，其對稱軸為直線x=h，頂點為（h，k），其開口方向根據a的符號來定，為正開口向上，為負則開口向下；y隨x的變化情況，需要結合a的正負以及對稱軸情況進行分析。

（二）例題展示

例2.若二次函數y=a（x-4）2+4的圖象在2＜x＜3這一段位于x軸上方，在6＜x＜7這一段位于x軸下方，則a的值為____。

由二次函數y=a（x-h）2+k的圖象和性質可以知道，二次函數y=a（x-4）2+4圖象的頂點為（4，4），對稱軸為直線x=4，根據題意其開口只能向下。畫出對應的圖象如圖4所示：

由圖4可知，圖象剛好過點（2，0）和（6，0）時滿足題意。由二次函數y=a（x-h）2+k的性質可知：當a＞-1時，圖象開口變大，在x＞6時圖象有部分在x軸上方，與題意不符；當a＜-1時，圖象開口變小，x＞2時，圖象有部分在x軸下方，不滿足題意。綜上分析可以得出a=-1。

三、二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質

（一）理論講解

二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質教學，可以從學生已有的知識儲備入手，搭建新舊知識的橋梁進行推理、總結。

以二次函數y=x2-6x+21為例，如直接采用描點法繪制圖象，需要進行煩瑣的計算，難度較大。因此，可以通過適當變形，尋找規律，合理取點。課堂上與學生一起對其進行配方、變形，得到y=（x-6）2+3。從中可直接看出其頂點為（6，3），對稱軸為直線x=6。在對稱軸左右取點，可以順利畫出其圖象。結合圖象可以描述出y隨x的變化關系。

基于上述知識鋪墊，接下來探尋二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質。對二次函數y=ax2+bx+c進行配方，得到：y=a（x+）2+，對照二次函數y=a（x-h）2+k，容易得到：其對稱軸為直線x=-，頂點為（-，）。對于y隨x的變化關系，教學中既可以要求學生聯系y=a（x-h）2+k的圖象和性質進行總結，也可以結合對應的圖象進行分析。由于a的正負影響二次函數圖象的開口方向，因此，需要分a＞0和a＜0兩種情況。

（二）課堂訓練

例3.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖5所示，若M=5a+4c，N=a+b+c，則M、N與0的大小關系分別是____。

由題意可知，當x=1時，y=a+b+c，由圖5可知，N＞0；另外，圖象的對稱軸為直線x=1，即x=-=1，b=-2a。又由圖可知，當x=2.5時，y=a+b+c＞0，整理得到：25a+10b+4c＞0，將b=-2a代入整理得到：5a+4c＞0，即M＞0。

四、總結

二次函數的圖象和性質教學中，以數形結合為指引，和學生一起探尋，給學生帶來直觀的感性認識以及理性的推理分析，增強數學課堂教學趣味性的同時，使學生通過參與知識的形成過程深入理解、牢固掌握所學，有效地鍛煉了學生的解題技能。

（作者單位：陜西省渭南市合陽縣城關中學）

編輯：常超波