數形結合思想在高中數學教學中的滲透探究

徐文波

（甘肅省武威第七中學，甘肅武威 733000）

高中數學知識復雜繁多，抽象性強，僅憑死記硬背的傳統方式難以掌握數學的精髓，在解題過程中會遇到各種各樣的狀況。隨著新課標的落地，它給高中數學教學帶來新的契機，也帶來了許多新的教學理念，能夠幫助高中生建立數學學習的自信，在數學課堂上積極互動，汲取有價值的信息，促進數學思維和數學素養的發展。數形結合思想作為一種新的教學思想，受到教師和學生的青睞，解決了數學教學的難題，增強了數學學科的樂趣，有效實現了數學知識的遷移。在教學中，教師必須對數形結合思想做到全方位的滲透，不僅要讓學生懂得數形結合的理論，還要讓學生學會靈活運用數形結合思想解題，搭建數學知識框架。

一、高中數學教學存在的問題

在高中階段，學習任務重，為了讓學生能在高考中取得高分，數學教師往往會給學生布置大量的數學訓練題，認為學生只有將訓練題都做會了，考試的時候就沒問題了。實際上，很多訓練題都重復了，而且還有一些超綱題會導致學生的學習效率下降。現在高中生解題還依賴過去的套公式方法，只要題目稍微變化，學生就不知道該如何解答，暴露出許多問題。這給教師敲響警鐘，要求教師必須變革數學教學方式，帶來多種多樣的數學思想，讓學生有所改變，有所提升，適應新高考的要求。

二、數形結合思想在高中數學中的滲透意義

（一）有利于提高知識運用能力

數形結合思想主要是通過數與形之間的轉化來解決數學問題，給學生提供更多直觀化和形象化的數學素材，降低數學問題的難度，讓學生學習起來更有信心，使數學課堂呈現活躍的狀態，提高學生的知識運用能力。當遇到復雜的數學問題時，教師指導學生進行數形轉化，不再是套公式或者背模板，整個學習過程變得輕松、愉快，有利于促進新課改的推進。經過日積月累，學生的數形結合能力越來越強，他們可以靈活解決各類數學問題，起到良好的輔助功能，使解題的流程、思路更加優化。

（二）有利于提高課堂教學水平

數形結合思想不僅對學生學習有利，對于教師教學也有很大的幫助。以前教師總是給學生提供固定的解題策略，不讓學生進行創新，即使學生提出來不同的解題方法，也得不到教師的鼓勵，反而打消了學生的學習激情。當數形結合思想提出后，解題時不再拘泥于一種方法，教師給學生提供了寬闊的發展平臺，鼓勵學生從不同的角度去解題，實現“以數解形”“以形助數”，通過抽象思維與形象思維的結合，優化解題途徑，使很多數學問題迎刃而解，且解法簡便，提高課堂教學水平。

三、數形結合思想在高中數學教學中的滲透策略

（一）更新應用觀念，激發數形結合興趣

數形結合是高中數學教學中極為重要的數學思想方法之一，是其他數學思想方法所不能替代的，特別是在教學抽象的數學概念和解決復雜數學問題時，運用數形結合可以將數學概念、數學問題化繁為簡、化抽象為直觀，從而有效地提高學生學習效率和解決問題的精準化、嚴謹化。所以，教師要樹立大教育觀，在教授數學知識的同時還要注重數學思想方法的滲透，引導學生運用數形結合思想突破疑難問題，鍛煉和強化學生的應用意識，并運用多樣化的教學方式，不斷激發學生的研究、運用數形結合的興趣，拓展學生數學思維。

在數與形的關系中，“黃金分割率”是特別值得一提的，它被人們稱為數與形和諧性最完美的表現，并且被廣泛地應用于繪畫、建筑藝術中。教師在滲透數形結合思想的過程中，可以適當地進行知識拓展和延伸，借助多媒體為學生呈現世界名畫《最后的晚餐》、偉大的建筑埃菲爾鐵塔等，讓學生領略黃金分割之美，激發數形結合意識，使學生對數形結合產生學習和探究的興趣。如果教學素材或研究對象生動有趣，學生就能夠從“要我學”的心態轉變成為“我要學”的心態，使課堂教學效果獲得提升。在傳統課堂上，教師往往借助于板書向學生滲透數形結合思想，無論教師畫得圖怎樣漂亮、怎樣準確，但它終究是一個“死”圖，導致學生很難從圖形中發現數學變量間的變化規律，影響了學生對數與形的感知。為此，教師可以將信息技術應用到課堂中，利用幾何畫板動態演示數形之間的聯系和變化規律，讓傳統的“死”圖動起來、活起來，加深學生對數學知識的理解與記憶。比如，在教學“立體幾何”時，教師就可以利用幾何畫板進行動態模擬，將平面圖轉化為立體圖、用三維空間為學生多角度展示立體圖形等，激發學生的空間想象力，讓學生感受圖形結合的魅力，從直觀的角度理解數學知識，這既降低了課堂教學難度，也增強了課堂教學的趣味性和科技感，激發了學生的好奇心和求知欲。

（二）歸納典型案例，豐富數形結合經驗

在高中數學中，數形結合思想是要求學生必須掌握的重要數學思想方法之一，在課堂教學中占據著重要的位置。同時，這一數學思想可以引導學生對抽象的數學概念、數學問題給予形象化的理解和記憶，對學生探尋解題思路、尋找最佳解題方法具有指導性的作用。所以，在課堂教學中，教師要善于歸納總結數形結合的典型案例，并引導學生運用數形結合思想進行思考與解答，培養學生舉一反三、觸類旁通的能力，不斷豐富學生運用數形結合思想的經驗。

首先，教師要引導學生對經常用到的一些基本圖像進行歸納與總結，如常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、二次函數等，不光要讓學生熟悉這些函數圖形像，還要求學生能夠熟練掌握、利用圖像的變換方法，能夠根據數學問題利用平移、對稱、翻轉、伸縮等方法在基本圖像的基礎上作圖，將枯燥的語言文字和數學符號轉化為圖形，幫助學生更好地理解題意，建立解題思路。其次，教師可以采用專題教學的方式，以核心知識為重點，合理引導學生，讓他們有條理地學習，逐步掌握數學知識，形成自己的知識體系，提高其解決某一類問題的能力。比如，教師可以立足于教材內容，設置數形結合思想在集合中的應用，數形結合思想在方程、函數、不等式中的應用，數形結合思想在三角函數中的應用，數形結合思想在解析幾何中的應用，數學結合思想在空間向量中的應用等專題，并為每個專題精選典型例題和習題，按照學生認知特點和學習特點，循序漸進地向學生滲透數形結合思想，讓學生在分析問題、解決問題的過程中不斷積累經驗、鍛煉能力。最后，教師要注重錯題的總結與歸納，學生出錯的地方往往就是學生對數形結合理解不到位的地方，如果不加以重視和解決，很可能會成為學生日后學習和解決問題中的障礙。所以，教師要善于收集整理學生錯題，從中篩選典型、具有探究價值的錯題，并將其作為教學案例在課堂中進行集中、詳細講解，幫助學生解決學習中遇到的問題，促使他們養成數與形結合的思想。

（三）強化思維訓練，提高數形結合能力

數形結合思想主要研究的是數與形之間的轉化，這也是解決數學問題的突破口。然而，在現實中，很多學生卻找不到這個突破口，他們在運用數形結合思想時，往往只看到數字想不出圖形或看到圖形找不到數量關系，不能將二者很好地結合起來，甚至還會陷入思維困境。為了改變這一狀況，教師要強化學生的思維訓練，不能只限于將數學思想方法教給學生，還要讓學生多動腦、多動手、多實踐，自主探索數形結合思想的關鍵，提高數形結合能力。

在教學中，教師需從不同角度出發引導學生，鍛煉他們對數、形的熟悉程度，為其提供分析習題的機會，鍛煉其分析能力，使其能夠清楚地分析出與題意相關的各種圖形，并將題目中的已知條件和問題標注到圖形中，清楚再現各種數學變量間的關系和變化規律，幫助學生快捷、簡單、有效地找到解題思路。比如，在教學“取值范圍”問題時，教師設計了習題：已知函數，其中m＞0，若存在實數b，使得關于方程有三個不同的根，則m 的取值范圍是_____。在解決這一問題時，很多學生會選擇直接求解，但是步驟極為煩瑣，經常搞不清到底哪部分的范圍才是滿足題意的，而且在解題過程中很容易出錯。這時教師就可以引導學生嘗試著運用數形結合思想，引導學生在同一坐標系中畫出兩個函數圖像，將取值范圍問題轉化為兩曲線的交點問題，從圖像中學生就可以知道方程有三個不同的根只需要的最小值小于m。相比傳統的討論法求解，數形結合思想的求解思路更清晰，求解過程也更快、更準。另外，教師還要訓練學生以形變數的思維，引導學生借助圖形挖掘題目中的隱含條件，然后將隱含條件和已知條件相結合來解決問題。比如，在教學“二次函數圖像”時，教師設計了課堂練習：如圖1 是函數y=ax2+bx+c 圖像的一部分，圖像經過點A（-3，0），圖像的對稱軸為x=-1，給出下面四個結論：（1）b2＞4ac，（2）2a-b=1，（3）a-b+c=0，（4）5a＜b，其中正確的是_____。解決此題，如果根據已知條件直接求解，會十分困難，而如果借助函數圖像，就會簡單容易得多。從圖像中可以得出多種信息：函數圖像與x 軸交于兩點，則△＞0，即b2-4ac＞0；圖像對稱軸為x=-1，即-b/2a=-1；圖像開口向下，則a＜0。用數形結合思想得出這些隱含條件后，學生很容易就可以判斷出正確答案，做題效率大幅提升。

圖1 函數圖像

（四）堅持問題導向，促進數形結合解題

學生數形結合思想的形成不能只靠教師的指導和灌輸，更需要學生自主領會、自主構建。所以，教師要充分尊重學生的主體性，堅持問題導向，以具有探究價值的問題為主，引動學生復習，引導學生積極思考、主動運用數形結合思想解決問題，促進學生的自主發展，推動課堂教學的有效開展。

在傳統的課堂教學中，采用的主要是“教師問、學生答”的教學模式，在問題設計時更加注重知識性，了解問題設計是否符合學生的實際情況，注重其中蘊含的啟發性和引導性。而在新時期的課堂教學中，教師應當提出更多開放性的問題，將關注點放在學生思維能力的培養上，利用問題驅動學生主動地運用數形結合思想進行探究。比如，在教學“正弦定理和余弦定理”時，教師可以聯系學生的知識背景設計課堂探究環節，讓學生運用直角三角形的邊角關系對正弦定理和余弦定理進行推導和探究。當得出結果后，教師可以提出問題，引導學生進行進一步的思考，想一想在其他類型的三角形中是否也有這樣的關系，讓學生探究一下這種邊角關系在其他三角形中是否成立，以問題為導向，引導學生深度學習、合作學習。通過合作探究，學生們形成了多種驗證方案，有向量法、外接圓法、等積法等，雖然方法不同，但在探究過程中都用到了數形結合的思想，鍛煉了學生思維能力。另外，教師還要為他們提供主動質疑的機會，并引導他們搜集或設計一些蘊含數形結合思想的問題，在強化學生主體意識的同時調動他們的學習積極性。

（五）優化作業設計，鞏固數形結合基礎

數學作業是高中數學教學中具有補充價值的一個環節，能夠幫助學生復習，促進其數學思維和數學能力的發展。長期以來，教師在作業布置上缺乏深入的研究，作業內容主要以教材或練習冊中的習題為主，將學生置于題海之中，甚至還出現了很多機械重復無效的作業，不僅浪費了學生寶貴的時間，也降低了學生的學習效率。為此，教師要對傳統作業形式進行優化與創新，注重知與行的統一，讓學生在做作業時鍛煉自己的能力。

教師可以設計綜合性的作業內容，將數形結合思想融入學生的思維和解題習慣中，比如將函數解析式與函數圖像相聯系，將連曲線與方程相聯系，將空間直角坐標系中的點、復數與實數之間建立聯系，設計綜合性的作業內容，讓學生體會數形結合思想的重要性，強化學生數與形的聯系能力。教師還可以設計信息搜集類的作業，讓學生利用課余時間進行課外閱讀，從網絡、報刊、書籍中搜集與數形結合思想相關的史料、小故事、經典習題等，開拓思維和視野，鍛煉其思想。另外，教師還可以從制作角度出發，設計合適的作業，讓學生運用數形結合思想制作各種數學模型，促進理論向現實的轉化，讓學生在動手中體驗數形結合思想的強大作用，提高學生的運用能力。

四、結語

數形結合思想在高中數學中有著廣泛的運用空間，真正提升了教與學的質量，開創了新的教學局面。作為數學教師，我們必須建立正確的教學觀，加強對數形結合思想的研究和滲透，在課堂教學、知識檢測、課外活動等多個層面融入數形結合，鍛煉學生的數學思維能力和運算能力，使學生樂于學習數學，養成終身學習意識。