一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題的類型

胡運興

一、求k的值與直線解析式

例1 （2021年江西）如圖1，正比例函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝[kx（x>0）]的圖象交于點A（1，a），在三角形ABC中，∠ACB＝900，CA＝CB，點C坐標為（－2，0）。

（1）求k的值；

（2）求AB所在直線的解析式。

解析：（1）∵點A（1，a） 在正比例函數(shù)y＝x的圖象上，∴a＝1，∴A（1，1），∴k＝1×1＝1.

（2）過點A作AD⊥x軸，過點B作BE⊥x軸，∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠EBC + ∠BCE ＝90°， ∠DAC + ∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD + ∠BCE ＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE. ∵CA＝CB， ∴△ACD≌△CBE. ∴AD＝CE，BE＝CD. ∵C（-2，0），A（1，1）， ∴OE＝3，BE＝3. ∴B（－3，3）.設(shè)直線AB的解析式為y＝kx + b，有? [1=k+b3=-3k+b]? ，解方程組得：[k=-12b=32]? .

∴直線AB的解析式為y＝[-12x+32].

方法指導：（1）求反比例函數(shù)解析式中的k，要先求到其圖象上一個點的坐標或一組自變量與相應的函數(shù)值。

（2）求直線的解析式，得求出其圖象上兩個點的坐標，或知道兩組自變量與相應的函數(shù)值。而要求出其圖象上兩個點的坐標，往往要借助已知點坐標和三角形全等，求出要求坐標的點到兩軸的距離。

二、求點的坐標、反比例系數(shù)k的值、直線的解析式

例2 （2022年江西）如圖2，點A（m，4） 在

反比例函數(shù)y＝[kx]（x＞0）的圖象上，點B在y軸

上，OB＝2，將線段AB向右下方平移，得到線段CD，此時點C落在反比例函數(shù)的圖象上，點D落在x軸的正半軸上，且OD＝1.

（1）點B的坐標為_______，點D的坐標為_______，點C的坐標為_______，（用含m的式子表示）；

（2）求k的值和直線AC的解析式。

解析：（1）由OB＝2，OD＝1，知點B（0，2），D（1，0）。由平移知，對應點坐標變化是橫坐標加1，縱坐標減2，∵點A（m，4），∴C（m? + 1，2），將點A（m，4），C（m? + 1，2）分別代入y＝[kx]，得2m? + 2＝4 m ，得m ＝1，∴B（0，2），D（1，0），C（2，2）。

（2）∵點A（1，4）在反比例函數(shù)y＝[kx]（x＞0）的圖象上，∴k＝1×4＝4；設(shè)直線AC的解析式為y＝kx + b，

由[a+b=42a+b=2]? ?解得[a=-2b=6]

∴直線AC的解析式為y＝-2x + 6.

方法指導：（1）有時通過平移規(guī)律和函數(shù)解析式可幫助求點的坐標；

（2）利用圖象上一個已知點可求反比例函數(shù)的比例系數(shù)k，利用兩個已知點坐標和待定系數(shù)法可求直線解析式。

三、求反比例函數(shù)與直線的解析式及圖形面積

例3 （2023年江西）如圖3，已知直線y＝x + b與反比例函數(shù)y＝[kx]（x＞0）的圖象交于點A（2，3），與y軸交于點B，過點B作x軸的平行線交反比例函數(shù)y＝[kx]（x＞0）的圖象于點C.

（1）求直線AB和反比例函數(shù)圖象的解析式；

（2）求△ABC的面積。

解析：（1）∵直線AB：y＝x +? b與反比例函數(shù)y＝ [kx]（x＞0）的圖象交于點A（2，3），∴b＝1，k＝6，∴直線AB的解析式為y＝x + 1；反比例函數(shù)的解析式為y＝[6x].

（2）作AH垂直BC于H.由題可求B（0，1），∵點C在反比例函數(shù)y＝[6x]的圖象上，且BC∥x軸，且點C縱坐標為1，把y＝1代入y＝[6x]，得x＝6，∴點C（1，6）.∴BC＝6，∵A（2，3），∴AH＝2，∴S△ABC＝[12]BC × AH＝[12] × 6 × 2＝6

方法指導：（1）∵直線AB：y＝x + b與反比例函數(shù)y＝ [kx]（x＞0）中，只需確定一個常數(shù)，∴只需將直線AB：y＝x +? b與反比例函數(shù)y＝ [kx]（x＞0）圖象的交點A（2，3）代入各自解析式便可求出b＝1，k＝6，進而求出直線AB的解析式為y＝x + 1；反比例函數(shù)的解析式為y＝[6x].

（2）考慮到BC∥x軸，∴為了便于求△ABC的面積，應該以BC為底，AH為高，要求BC的長度，可用點C的橫坐標減點B的橫坐標求出，要求AH的長度，可用點A的縱坐標減點H的縱坐標。