水下大振幅壓電纖維致動柔性結構的非線性流體動力特性及實驗

摘要

水下智能材料驅動柔性結構在機器魚、水下航行器及精密醫療等領域具有廣闊應用前景。本文研究了水下大振幅壓電纖維（Macro Fiber Composite， MFC）致動柔性結構的非線性流體動力特性，建立了流固耦合振動模型，并進行了實驗驗證。通過參數化的二維CFD分析了不同特征振動頻率及振幅下柔性結構周圍流場的分布演化規律，發現隨著柔性結構特征振幅增大，其周圍流場逐漸出現了渦旋脫落及對流現象，且流體阻尼效應的非線性隨之增強。提出了由特征振動頻率和振幅共同確定的非線性修正流體動力函數解析表達式，分析結果表明：在小振幅情況下，修正流體動力函數虛部也就是流體阻尼效應隨著特征振動頻率的增大而減小；而當特征振幅增大到一定值后，流體阻尼效應隨著特征振動頻率的增大卻呈現出先減小后增大的變化規律，具有強烈的非線性特性。開展了水下MFC致動柔性結構振動特性驗證實驗，證實柔性結構在MFC主動激勵下的實測幅頻、相頻特性與理論預測結果基本一致，驗證了所提修正流體動力函數表達式及流固耦合振動模型的有效性。

關鍵詞

非線性流體動力學; 流體動力函數; 流固耦合振動; 水下柔性結構; 壓電纖維

引 言

鑒于柔性結構具有質量輕、柔性好且載荷自重比高等優點，柔性結構與周圍流體的耦合作用機制被研究者引入到工程領域中，在微納機械傳感/致動器件、柔性流體能量俘獲裝置、仿撲翼微飛行器以及水下仿生推進裝備等領域得到廣泛應用［1?2］。但是柔性結構特性導致其在流場運動中易產生彈性振動，使整個結構的動力學特性更加復雜，并降低了系統性能。因此黏性流體環境中柔性結構的流固耦合振動問題引起了國內外學者的廣泛關注，并成為了研究熱點［3］。

壓電陶瓷、形狀記憶合金、離子基聚合物以及介電彈性體等智能材料為流體環境中柔性結構的驅動和主動控制提供了全新方式［4］。尤其是MFC致動器彌補了傳統壓電陶瓷柔韌性不足的缺點，具有柔性大、變形能力強且驅動力大的優點，并具有一定的防水性，適用于水下柔性結構變形的感知、驅動和控制。Zhang等［5］利用MFC收集了T形懸臂梁在水流沖擊下的扭轉振動能量。Dong等［6］設計了基于MFC致動圓形薄片的壓電泵，實現了最大28.70 mL/min微量流體的精密傳輸。Seeley等［7］利用d31模式的MFC致動器主動控制柔性水翼的彈性振動，并研究了柔性水翼在不同流速下的阻尼特性。Tan等［8］和任梟榮等［9］分別設計了基于諧振式MFC致動柔性結構的水下機器魚，證實了MFC在水下柔性結構的變形驅動領域的潛在價值。

與空氣中柔性結構的動力學特性相比，水下柔性結構的流固耦合機制研究中面臨的挑戰就是如何確定非定常流體作用在柔性結構上的時變流體動力載荷。本質而言，作用在振蕩柔性機構上的流體動力載荷是由結構變形誘導產生的非定常流體慣性、對流及擴散運動耦合產生的復雜作用力。Brumley等［10］提出解析式流體動力函數對小振幅無限薄的勻質矩形懸臂梁所受的流體動力載荷進行定量描述，其中流體動力函數的實部和虛部分別表征流體的附加質量和阻尼效應。Phan等［11］和Facci等［12］分別研究了結構厚寬比系數和寬長比系數對勻質矩形懸臂梁結構流體動力載荷的影響特性。趙立波等［13］通過研究作用在懸臂梁上的流體動壓力，得到懸臂梁諧振頻率與流體密度的函數關系。針對V形梁結構的變截面和變剛度的復雜幾何特征，胡璐等［14］引入截面孔寬比系數對矩形梁流體動力函數進行修正，并通過實驗驗證了所提V形梁結構修正流體動力函數表達式的正確性。但是以上研究主要針對小振幅柔性結構的流固耦合振動問題，忽略了流體的非線性慣性對流效應，在線性簡化的Stokes流場框架內分析求解流體動力載荷問題，而Aureli等［15］研究發現隨著柔性結構振幅增大，流體的對流及旋渦脫落效應將主導非定常流場的變化。Demirer等［16］分析了水下柔性結構在智能材料變形產生內部彎矩驅動和在外部激勵下變形行為的差異，指出水下柔性結構的末端振幅對流體動力載荷的附加質量效應影響較大。因此深入分析大振幅情況下壓電纖維致動水下柔性結構的非線性流固耦合振動特性，對水下智能柔性結構的流固耦合性能分析和應用推廣具有重要價值。

基于經典的Euler?Bernoulli梁理論，首先建立水下壓電纖維致動柔性結構的流固耦合振動模型。通過參數化的二維CFD分析了不同特征參數下柔性結構周圍流場的分布特征及演化規律，并擬合得到大振幅下MFC致動柔性結構的修正流體動力函數表達式。最后搭建實驗測控平臺，開展柔性結構在MFC主動激勵下的空氣和水下振動特性實驗，驗證所提修正流體動力函數表達式及流固耦合振動模型的有效性。

1 耦合動力學模型建立

圖1給出了水下MFC致動柔性梁結構示意圖。一對MFC致動器對稱地粘貼在柔性梁根部的上下表面。顯然在MFC的致動控制下，柔性結構的振動響應與周圍流體之間存在著顯著的流固耦合效應。

在Euler?Bernoulli 梁簡化前提下，水下壓電纖維致動柔性懸臂梁的流固耦合動態模型可以表示為［17］：

式中 m（x）和k（x）分別為MFC致動柔性結構在x截面處的等效質量和抗彎剛度；w（x，t），f（x，t）和M（x，t）分別為柔性結構距離固定端x處的橫向振動位移、流體動力載荷和MFC的致動力矩；符號“ ′ ”代表變量關于空間位置x的一階導數，符號“ · ”代表變量關于時間t的一階導數。

將MFC致動柔性結構的等效質量m（x）和等效抗彎剛度k（x）沿著x方向分為兩段，二者表達式分別為：

式中 ρb， bb和hb分別為梁的密度、截面寬度和厚度；ρp，bp和hp分別為MFC的等效密度、截面寬度和厚度；Eb和Ib分別為梁的楊氏模量和截面極慣性矩；Ep和Ip分別為MFC致動器的等效楊氏模量和截面極慣性矩。

對于MFC致動器而言，通常可以將其視為由一系列沿著自身結構長度和寬度方向上的等效電容單元并聯而成，圖1中采用并聯方式的兩片MFC致動器的致動力矩M（x，t）可表示為［18］：

式中 λ為MFC致動器的機電耦合系數；δ（x）表示 Dirac 函數；d33表示MFC的等效壓電常數；br和lr代表MFC中等效體積單元的寬度和長度；m為等效體積單元沿著MFC寬度方向上的個數；V（t）為MFC的驅動電壓。

式（1）中f（x，t）表示流體作用在柔性結構上的流體動力載荷。對柔性結構的低階振動模態而言，其振動波長遠大于自身的彈性變形。針對柔性結構的水下穩定振動行為，將作用在柔性結構單位長度方向上的流體動力載荷求解問題簡化為剛性無限薄板振蕩產生的二維流場運動問題。柔性結構振動引起的流體動力載荷的頻域形式可以簡化為：

式中 b（x）為柔性結構特征寬度；ρf表示流體密度；ω為柔性結構振動角頻率；上標“^”表示頻域形式；Θ（x，ω）為未知的無量綱流體動力函數，其值由無量綱特征參數——柔性結構特征振動頻率β（x，ω）和柔性結構特征振幅ε（x，ω）共同決定。兩個無量綱特征參數定義為：

式中 μ為流體動力黏度。

將式（2）～（7）代入到方程（1）中，并加入滯后形式的結構阻尼，得到方程（1）的頻域表達形式為：

式中 ζ為MFC致動柔性結構的阻尼系數。

基于Euler?Bernoulli梁變形理論，采用假設模態法描述水下柔性結構連續變形的頻域形式為：

式中 n為保留模態階數；φi（x）為第i階模態振型函數；qi（ω）為第i階廣義模態坐標的頻域形式。

將式（9）結果代入式（8），并采用標準模態分析方法，得到描述水下MFC致動柔性結構振動變形的流固耦合動力學方程為：

從式（10）中可以看出：在MFC的致動力矩和周圍流體的非線性流體動力載荷作用下，即使Euler?Bernoulli梁是線性的，水下MFC致動柔性結構的動態響應仍具有強烈的非線性，且柔性結構的振幅和振動頻率都影響著流體動力載荷的非線性動態特性。顯然，流體動力函數Θ（β（x，ω），ε（x，ω））決定了柔性結構振動過程中所受的流體動力載荷，其求解是分析水下MFC致動柔性結構流固耦合振動特性的關鍵。

2 流場特性CFD分析

MFC致動器具體型號為M2814?P1，由Smart Material公司封裝制造。柔性梁結構材料采用鋁合金1100，二者的基本尺寸和結構參數如表1所示。

數值分析過程中，為了盡可能減弱邊界效應，流場區域大小設置為25 b（x）×25 b（x），b（x）為柔性結構的特征寬度。綜合考慮求解效率和求解精度，將流場劃分為六個區域，并進行網格獨立性和步長獨立性驗證，最后確定的二維流場區域劃分結果如圖2所示。CFD計算中選取柔性梁結構末端截面，綜合考慮柔性結構大振幅工況，特征振動頻率和特征振幅參數的取值范圍分別為β∈［20，2000］和ε∈［0.001，0.1］，具體參數取值為β=｛20，50，100，150，250，500，750，1000，1250，1500，1750，2000｝，ε=｛0.001，0.002，0.005，0.01，0.02，0.03，0.04，0.05，0.07，0.1｝。基于UDF動網格技術，設置柔性梁末端截面在y方向上的位移為A0sin（ωt），其中振幅A0=ε×b。

在ANSYS/Fluent中開展MFC致動柔性結構周圍流場分析。控制柔性結構周圍流體速度場v（x，y，t）和壓力場p（x，y，t）的二維Navier?Stokes方程如下：

式中 div（·）為散度算子；?為微分算子。

圖3給出了三種不同振幅下柔性結構末端截面周圍流場流速在一個穩定振蕩周期內的分布變化情況。在相同特征振動頻率β=100條件下，圖3（a），（b）和（c）分別對應小振幅ε=0.001、適中振幅ε=0.01和大振幅ε=0.1三種情況。從圖3（a）～（c）中流速的周期性連續變化過程中可以看出，流速最大區域主要集中在截面上下端部附近，且在t=T/2時刻，即柔性結構以最大振蕩速度ωA0跨過平衡位置時，流場的流速也達到最大。

在相同特征振動頻率下，當柔性結構特征振幅從小振幅ε=0.001增大10倍到適中振幅ε=0.01時，對比圖3（a）和（b）可以發現：二者的流場速度分布和演化過程具有高度相似性，且振蕩柔性結構誘導產生的最大流速也增大了10倍左右，說明流速變化與柔性結構特征振幅ε近似呈線性關系，意味著Navier?Stokes方程中的非線性慣性對流項較弱，以線性擴散項為主。但是，當柔性結構特征振幅從適中振幅ε=0.01增大到大振幅ε=0.1時，對比圖3（b）和（c）觀察到流速的分布特征發生了顯著變化，在大振幅柔性結構端部附近出現了明顯的高速流場包圍的零速區域，該零速區域對應渦量場的渦心，意味著柔性結構截面端部伴隨著渦旋相干結構的產生、發展、脫落及耗散現象［19］，這種情況在ε=0.001和0.01時均未出現。另外，當特征振幅ε由0.01增大10倍至0.1時，速度標尺最大值顯示流場流速增大了16倍左右。顯然，隨著柔性結構振幅的增大，流場中的非線性效應也隨之增強，水下柔性結構的振幅對其非線性流固耦合動力學特性具有顯著影響。

圖4給出了三種振幅參數下柔性結構周圍壓力場在一個振蕩周期內的演化情況。顯然，壓力場變化與速度場相似，也呈現周期性變化，且前、后半個周期正、負壓力集中分布區域分布情況相反。對比圖4（a）～（c）發現：小振幅和適中振幅情況下壓力場分布特征非常相似，而大振幅下的壓力場分布特征較前二者有顯著的差異，且不對稱的壓力場分布行為與渦旋相干結構的形成和脫落顯著相關［19］。同樣地，當特征振幅ε從0.001增大10倍至0.01時，壓力場最大值也隨之增大10倍，二者變化近似呈線性關系。但是，當柔性結構特征振幅從0.01變化到0.1時，對比圖4（b）和（c）發現壓力場最大值增大了15倍，出現了明顯的非線性特征。

振蕩柔性結構周圍流體的非線性阻尼效應是旋渦形成及傳遞現象的主要驅動因素。圖5展示了旋渦的形成、擴散及對流過程。在圖5（a）小振幅和圖5（b）適中振幅中，二者渦量場的演化特征相似性很高，且渦量的形成和發展主要集中在柔性結構端部附近，流場對流運動較弱，不足以傳遞旋渦，導致旋渦在流場黏滯效應下很快耗散，基本觀察不到旋渦的發展和脫落現象。在大振幅情況下，柔性結構端部附近的渦量區域明顯擴大，隨后向四周對流傳輸，渦旋的形成、脫落及擴散過程與速度場中相似。同樣地，當ε從0.001增大到0.01再到0.1時，對應的渦量強度相應地增強了10倍和13倍。因此，柔性結構振幅的增大增強了渦量場的非線性，顯著改變了流場旋渦的分布特性和演化過程。

3 修正流體動力函數求解

除了振蕩柔性結構周圍流速、壓力及渦量以外，CFD分析也得到了流體每刻作用在柔性結構上的流體動力載荷，由于其變化頻率與柔性結構振動頻率一致，且二者都隨時間作正弦規律變化，故作用在柔性結構上的流體動力載荷可描述為：

F（t）=F0sin（ωt+ψ0）" " （12）

式中 F0為流體動力載荷的幅值；ψ0為流體動力載荷與柔性結構振動位移之間的相位差。

結合流體動力載荷的頻域表達式（5）和時域表達式（12），復指數形式的流體動力函數Θ（β， ε）表示為：

圖6給出了小振幅情況下（?=0.001）流體動力函數的實部和虛部隨著特征振動頻率參數β的變化情況。可以看出：小振幅情況下流體動力函數的實部Re（Θ）和虛部-Im（Θ）都隨著β的增大而減小，表明隨著柔性結構振動頻率增大，其所受的流體附加質量力和阻尼力相應減小。針對小振幅矩形截面微梁的流體動力函數，目前廣泛采用無量綱厚度的仿射映射量β-0.5［15］描述流體動力函數的變化情況，如下式所示［20］：

從圖6中CFD數值求解結果和式（14）的對比情況可以看出，二者隨著特征振動頻率β的變化規律基本一致，MFC致動柔性結構截面寬度和寬厚比遠大于薄壁微梁，故所受流體附加質量力略大于后者，導致在同一特征振動頻率下的流體動力函數實部Re（Θ）略高于式（14）的結果，且二者所受流體阻尼力隨著特征振動頻率的變化而顯著變化。同樣引入仿射映射量β-0.5，采用最小二乘法對CFD數值結果進行擬合得到小振幅下MFC致動柔性結構流體動力函數：

隨著柔性結構振幅增大，其周圍流場旋渦的發展、脫落及對流現象也愈加顯著。為描述大振幅下柔性結構的流體動力函數，對描述小振幅柔性結構的線性流體動力函數式（15）進行非線性修正，得到：

式中 Δ（β，?）為與柔性結構振幅相關的非線性修正項，且當?→0時，非線性修正項Δ（β，0）為零。

基于CFD結果，通過式（15）和（16）即可求得修正項Δ（β，?）的數值。修正項Δ（β，?）的實部隨著柔性結構振幅的增大變化很小，因此流體動力函數實部基本不受振幅參數的影響，可認為Re［Δ（β，?）］與?無關，等于零。圖7給出了不同特征振動頻率參數β下，修正項Δ（β，?）的虛部隨著特征振幅參數?的變化規律。與Δ（β，?）實部變化規律明顯不同，其負虛部-Im［Δ（β，?）］在同一特征振動頻率參數β下隨著振幅參數?的增大顯著增大，因此可以判斷水下振蕩柔性結構所受的流體阻尼效應隨著其振幅的增大而增強，而其所受的附加質量效應基本保持不變。需要指出的是，當?→0時，對應于小振幅情況，此時-Im［Δ（β，?）］的值也基本為零，如圖7所示。表明由于流場退化到線性流場，大振幅情況下的非線性流體動力學函數Θr（β，?）也退化為小振幅線性的Θ（β），進一步證實了式（15）對線性流場施加在小振幅振蕩柔性結構上的流體動力效應的刻畫能力［21］。

為了建立式（16）中非線性修正項Δ（β，?）的解析表達式，由于認為修正項實部Re［Δ（β，?）］=0，采用如下函數僅對其虛部-Im［Δ（β，?）］進行最小二乘擬合［15］：

式中 δ，d1和d2為擬合參數。通過最小二乘法初步擬合得到d1=0.449，d2=1.453。進一步通過設定d1=0.45，d2=1.45簡化冪指數，再次擬合得到δ=0.865，最終得到非線性修正項Δ（β，?）的表達式為：

式（18）流體動力函數修正項虛部的擬合優度如圖8所示，其擬合確定系數為0.9892，表明式（18）對CFD數值計算結果具有良好的擬合精度。

結合式（15）～（18），圖9給出了不同特征振幅下作用在柔性結構上的修正水動力函數Θr（β，?）的負虛部隨著特征振動頻率參數β的變化情況。從圖9中可以得到如下規律：在小振幅情況下（?≤0.1），修正水動力函數的負虛部隨著β增大而減小；而當特征振幅參數增大到一定值后（?≥0.1），修正水動力函數Θr（β，?）的負虛部隨著特征振動頻率參數β的增大明顯呈現出先減小后增大的變化規律。顯然，隨著MFC致動柔性結構振幅增大，流場中旋渦的形成、發展、脫落及耗散等演化現象導致流場的非線性也逐漸增強并占據主導地位，造成作用在柔性結構上的流體阻尼力出現了強烈的非線性特征［22］。

4 實驗驗證

采用環氧樹脂膠（3M?DP460）將一對MFC致動器（MFC?2814?P1，Smart Materials Corp.）對稱地粘貼在柔性梁基體根部兩側，并對致動器正負極引出觸點作防水和絕緣處理。為保證致動器與基體粘貼可靠，將整個結構放入真空干燥箱中靜壓保溫6 h（溫度：80 ℃，壓強：0.06 MPa）。將MFC致動柔性結構沿著水箱長度方向固定放置于0.76 m × 0.46 m× 0.5 m的水箱中部。由于水箱寬度方向尺寸遠大于柔性結構的振動波長，可忽略箱體壁面效應和表面波動效應。搭建如圖10所示的測試平臺，測試過程中MFC致動器的驅動信號由PC機發出，經嵌入在數據采集機箱NI cDAQ?9178上的D/A模塊NI?AO9263輸出，并通過功率放大器Trek PZD700A放大200倍后施加到致動器上；同時利用激光位移傳感器Keyence LK?G80同步實時獲取柔性結構末端在MFC致動器作用下的振動位移，并通過A/D模塊NI?AI9205經USB總線輸送到PC機，整個測試實驗平臺統基于LABVIEW軟件平臺完成。

為了驗證所提出的修正流體動力函數表達式以及MFC致動柔性結構流固耦合振動模型的正確性，分別了開展空氣和水下MFC致動柔性結構的振動特性實驗。首先對MFC致動器施加正弦掃頻信號以獲取柔性結構在空氣中的振動特性，掃頻過程中驅動電壓信號峰峰值為800 V，采樣頻率為1000 Hz，頻率范圍為0.1～30 Hz，持續時間20 s。通過對激光位移傳感器獲取的柔性結構末端振動響應進行FFT分析，初步得到空氣中MFC致動柔性結構的一階固有頻率約為17.3 Hz。

進一步選用峰峰值為800 V，頻率范圍為1～22 Hz的正弦電壓信號（共27組）作為MFC致動器的激勵信號，測試空氣中MFC致動柔性結構的頻率響應特性。圖11（a）和（b）分別給出了空氣中MFC致動柔性結構理論和實測的幅值?頻率和相位?頻率響應特性對比結果，根據半功率帶寬法可以從實驗結果中計算出MFC致動柔性結構的結構阻尼為0.04。顯然，空氣中MFC致動柔性結構末端的實測頻響特性與理論計算結果大致吻合，但是圖11（b）中實測相頻特性與理論結果存在-8.28°的初始相位差，這是由于理論計算中的模態直接截斷方法導致系統零點重新分布，改變了系統的相頻特性［23］。

進一步開展了柔性結構在MFC致動器不同簡諧信號激勵下的穩定流固耦合振動特性測試。施加峰峰值為800 V，頻率范圍為0.1～4.9 Hz的正弦激勵信號（共22組）到MFC致動器上，實驗測得不同頻率下水下柔性結構末端穩定振動的幅頻特性及相頻特性，并與理論計算結果對比，如圖12所示。周圍流體的附加質量和非線性流體阻尼效應導致柔性結構的一階固有頻率由空氣中的17.3 Hz降低為2.4 Hz，其固有頻率激勵下的穩定振幅也由6.5 mm減小到4.8 mm。同樣地，柔性結構的實測相頻特性與理論結果也存在著-8.57°的初始相位差，如圖12（b）所示。

圖12對比結果證實采用小振幅線性流體動力函數式（14）求得的柔性結構頻響特性曲線與實際結果差異較大，這主要是由于水下柔性結構末端的實際特征振幅?已超過0.1，因而其振動特性受到強烈的非線性流體阻尼效應影響。而采用的線性流體動力函數式（14）虛部明顯小于實際值，計算過程中低估了流體的非線性阻尼效應，因而基于式（14）求解得到的一階固有頻率明顯大于實際值，且響應幅值略高于實測值。需要指出的是，由于式（14）低估了流體阻尼效應導致其預測的水下柔性結構頻響特性帶寬小于實際值。比較而言，采用式（16）中Θr（β，?）所得的理論計算結果與實驗數據基本吻合，說明本文提出的修正流體動力函數可以有效地描述作用在MFC致動柔性結構上的流體附加質量效應和非線性流體阻尼效應的變化情況，證實了所提出的修正流體動力函數表達式以及MFC致動柔性結構流固耦合振動模型的有效性。

5 結 論

本文以水下壓電纖維致動柔性結構為研究對象，分析了其在大振幅下的非線性流體動力特性，建立了系統流固耦合振動模型并進行了實驗驗證。首先基于歐拉?伯努利梁理論建立了水下壓電纖維致動柔性結構的流固耦合動力學模型。通過CFD仿真定性分析了不同振幅下振蕩柔性結構周圍流體速度場、壓力場及渦量場的分布及演化情況，發現了隨著柔性結構振幅增大，其周圍流場渦旋相干結構的產生、發展、脫落及耗散等運動逐漸增強，從而導致非線性流體動力效應也隨之增強。在描述小振幅柔性結構周圍線性流場的流體動力函數的基礎上，通過疊加非線性修正項，提出由柔性結構特征振蕩頻率和特征振幅共同決定的修正流體動力函數來表征柔性結構周圍的非線性流體動力效應。發現在小振幅情況下，修正流體動力函數的負虛部也就是流體阻尼效應隨著特征振動頻率的增大而減小；而當特征振幅增大到一定值后，流體阻尼效應隨著特征頻率的增大呈現出先減小后增大的非線性變化規律。實驗結果表明，所提出的修正流體動力函數可以有效地描述作用在大振幅MFC致動柔性結構上的流體附加質量效應和非線性流體阻尼效應的變化情況，證實了所提出流體動力函數表達式以及MFC致動柔性結構流固耦合振動模型的有效性。相關研究為水下智能柔性結構流固耦合特性分析及應用提供了參考。

參考文獻

1

王光慶， 崔素娟， 武海強， 等. 多穩態壓電振動能量采集器的動力學模型及其特性分析［J］. 振動工程學報， 2019， 32（2）： 252-263.

Wang Guangqing， Cui Sujuan， Wu Haiqiang， et al. Dynamical model and characteristics of a multi-stable piezoelectric vibration energy harvester［J］. Journal of Vibration Engineering， 2019， 32（2）： 252-263.

2

余龍煥， 邱志成， 張憲民. 基于加速度反饋的平面3-RRR柔性并聯機器人自激振動控制［J］. 機械工程學報， 2019， 55（21）： 40-50.

Yu Longhuan， Qiu Zhicheng， Zhang Xianmin. Self-excited vibration control of the planar 3-RRR flexible parallel manipulator based on acceleration feedback［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（21）： 40-50.

3

Shah U H， Hong K S， Choi S H. Open-loop vibration control of an underwater system： application to refueling machine［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2017， 22（4）： 1622-1632.

4

王田苗， 郝雨飛， 楊興幫， 等. 軟體機器人： 結構、驅動、傳感與控制［J］. 機械工程學報， 2017， 53（13）： 1-13.

Wang Tianmiao， Hao Yufei， Yang Xingbang， et al. Soft robotics： structure， actuation， sensing and control［J］. Journal of Mechanical Engineering，2017， 53（13）： 1-13.

5

Zhang G C， Klumpner C， Lin Y J. Energy harvesting utilizing reciprocating flow-induced torsional vibration on a T-shaped cantilever beam［J］. Smart Materials and Structures， 2018， 28（2）： 025001.

6

Dong J S， Liu C， Chen Q Q， et al. Design and experimental research of piezoelectric pump based on macro fiber composite［J］. Sensors and Actuators A： Physical， 2020， 312： 112-123.

7

Seeley C， Coutu A， Monette C， et al. Characterization of hydrofoil damping due to fluid?structure interaction using piezocomposite actuators［J］. Smart Materials and Structures， 2012， 21（3）： 035027.

8

Tan D， Yavarow P， Erturk A. Nonlinear elastodynamics of piezoelectric macro-fiber composites with interdigitated electrodes for resonant actuation［J］. Composite Structures， 2018， 187： 137-143.

9

任梟榮， 婁軍強， 賈振， 等. 壓電纖維致動的仿鯉魚尾鰭式小型推進器的擺動特性及流固耦合機理［J］. 機械工程學報， 2019， 55（20）： 214-221.

Ren Xiaorong， Lou Junqiang， Jia Zhen， et al. Oscillating performance and fluid-structure interaction mechanism of a small koi’s caudal fin-like underwater propulsion actuated by MFC［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2019， 55（20）： 214-221.

10

Brumley D R， Willcox M， Sader J E. Oscillation of cylinders of rectangular cross section immersed in fluid［J］. Physics of Fluids， 2010， 22（9）： 052001.

11

Phan C N， Aureli M， Porfiri M. Finite amplitude vibrations of cantilevers of rectangular cross sections in viscous fluids［J］. Journal of Fluids and Structures， 2013， 40： 52-69.

12

Facci A L， Porfiri M. Nonlinear hydrodynamic damping of sharp-edged cantilevers in viscous fluids undergoing multi-harmonic base excitation［J］. Journal of Applied Physics， 2012， 112（12）： 124908.

13

趙立波， 徐龍起， 熱合曼艾比布力， 等. 矩形微懸臂梁的流固耦合諧振頻率分析［J］. 西安交通大學學報， 2013， 47（11）： 60-64.

Zhao Libo， Xu Longqi， Rahman Hebibul， et al. Resonant frequency of rectangular micro-cantilever in fluid-structure interaction［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2013， 47（11）： 60-64.

14

胡璐， 閆寒， 張文明， 等. 黏性流體環境下V型懸臂梁結構流固耦合振動特性研究［J］. 力學學報， 2018， 50（3）： 643-653.

Hu Lu， Yan Han， Zhang Wenming， et al. Analysis of flexural vibration of V-shaped beams immersed in viscous fluids［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2018， 50（3）： 643-653.

15

Aureli M， Basaran M E， Porfiri M. Nonlinear finite amplitude vibrations of sharp-edged beams in viscous fluids［J］. Journal of Sound and Vibration， 2012， 331（7）： 1624-1654.

16

Demirer E， Wang Y C， Erturk A， et al. Effect of actuation method on hydrodynamics of elastic plates oscillating at resonance［J］. Journal of Fluid Mechanics， 2021， 910： A4.

17

朱吟龍， 譚大鵬， 李霖， 等. 含裂紋損傷充液圓柱殼的振動響應求解方法［J］. 固體力學學報， 2019， 40（1）： 51-73.

Zhu Yinlong， Tan Dapeng， Li Lin， et al. A method for analyzing the vibration responses of thin liquid-filled cylindrical shells with crack damage［J］. Chinese Journal of Solid Mechanics， 2019， 40（1）： 51-73.

18

劉露， 裘進浩， 季宏麗， 等. 橡膠壓電堆隔振系統參數最優化反饋控制［J］. 振動與沖擊， 2016， 35（14）：7-12.

Liu Lu， Qiu Jinhao， Ji Hongli， et al. Vibration isolation system consisting of rubber and piezostack and making use of a controller with optimized feedback parameters［J］. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（14）： 7-12.

19

Facci A L， Porfiri M. Analysis of three-dimensional effects in oscillating cantilevers immersed in viscous fluids［J］. Journal of Fluids and Structures， 2013， 38： 205-222.

20

黃玨皓， 婁軍強， 楊依領， 等. 黏性流體環境中壓電宏纖維致動柔性結構的流固耦合振動特性及試驗［J］. 機械工程學報， 2021， 57（22）： 376-385.

Huang Juehao， Lou Junqiang， Yang Yiling， et al. Analysis and experiment of fluid-structure coupled vibration of MFC-actuated flexible structure immersed in viscous fluids［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2021， 57（22）： 376-385.

21

Shrestha B， Ahsan S N， Aureli M. Experimental study of oscillating plates in viscous fluids： qualitative and quantitative analysis of the flow physics and hydrodynamic forces［J］. Physics of Fluids， 2018， 30（1）： 013102.

22

Grimaldi E， Porfiri M， Soria L. Finite amplitude vibrations of a sharp-edged beam immersed in a viscous fluid near a solid surface［J］. Journal of Applied Physics， 2012， 112（10）： 104907.

23

Tan D， Wang Y C， Kohtanen E， et al. Trout-like multifunctional piezoelectric robotic fish and energy harvester［J］. Bioinspiration amp; Biomimetics， 2021， 16（4）： 046024.