復(fù)雜邊界條件下半球殼受迫振動(dòng)響應(yīng)分析

摘要

基于半解析法求解得到中厚半球殼的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)與瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)。基于一階剪切變形理論推導(dǎo)球殼結(jié)構(gòu)能量表達(dá)式，引入Jacobi多項(xiàng)式和傅里葉級(jí)數(shù)表示半球殼結(jié)構(gòu)的軸向和徑向位移，利用Ritz法得到半球殼的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)，與有限元法結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了本文方法的有可行性。在此基礎(chǔ)上，對(duì)半球殼在不同邊界條件、截頂角和殼體厚度下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)與瞬態(tài)振動(dòng)特性規(guī)律進(jìn)行了分析總結(jié)。

關(guān)鍵詞

半球殼; 穩(wěn)態(tài)振動(dòng); 半解析法; 瞬態(tài)振動(dòng)

引 言

半球殼結(jié)構(gòu)作為應(yīng)用于航空、航海、土木、機(jī)械等工程領(lǐng)域中的一類常見結(jié)構(gòu)，在設(shè)計(jì)應(yīng)用中由于結(jié)構(gòu)的特殊性，很少單獨(dú)使用，通常在自身一端或兩端開口后與其他結(jié)構(gòu)或設(shè)備進(jìn)行連接。這不僅改變了球殼的原始結(jié)構(gòu)形狀，也導(dǎo)致其自身固有特征發(fā)生改變。此外，在實(shí)際應(yīng)用中球殼結(jié)構(gòu)會(huì)暴露在載荷相對(duì)復(fù)雜的環(huán)境中而引起結(jié)構(gòu)的疲勞和振動(dòng)，與自身兩端開口處連接的設(shè)備形成相互耦合作用并有可能發(fā)生共振，同時(shí)伴隨產(chǎn)生較大的結(jié)構(gòu)振動(dòng)噪聲而對(duì)生產(chǎn)生活造成不利影響。因此，準(zhǔn)確分析球殼結(jié)構(gòu)及其開口狀態(tài)下自身振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)于指導(dǎo)其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有重要意義。

針對(duì)球殼振動(dòng)特性的研究，國內(nèi)外學(xué)者先后提出了不同的分析方法，并對(duì)這些方法進(jìn)一步開展組合分析，提高求解的速度和有效性，比如有限元法、動(dòng)力剛度法、Ritz法、區(qū)域分解法等［1?3］。Thomas等［4］推導(dǎo)了大振幅位移作用下淺球殼的非線性振動(dòng)方程，并將理論分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)分析后進(jìn)行補(bǔ)充。Hosseini?Hashemi等［5］和Tornabene等［6］分別基于一階剪切變形理論（FSDT）提出了中厚球殼的自由振動(dòng)特性分析方法，并用有限元法驗(yàn)證了數(shù)值模擬的收斂性。Menaa等［7］采用混合有限元法對(duì)不同幾何形狀、邊界條件和半徑厚度比的球殼自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析。Tornabene等［8］對(duì)不同求解方法進(jìn)行對(duì)比，并利用廣義微分求積法（GDQ）研究了球殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性。Hou［9］推導(dǎo)出扁球殼的自由振動(dòng)頻率微分求解方程，對(duì)扁球殼的三階頻率和模態(tài)曲線進(jìn)行數(shù)值模擬分析。Hu等［10］提出一種基于Ritz法求解環(huán)形球殼自由振動(dòng)的解析法，引入Jacobi多項(xiàng)式和傅里葉級(jí)數(shù)表征結(jié)構(gòu)軸向和周向位移，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了方法的高效性和精確性，并進(jìn)一步分析了各向同性中厚環(huán)形球殼的振動(dòng)特性。趙偉東等［11］采用Kantorovich時(shí)間平均法簡(jiǎn)化微分方程，探討了均布?jí)毫ψ饔孟卤馇驓さ淖杂烧駝?dòng)特性規(guī)律。陳旭東等［12］利用動(dòng)力剛度法獲得了不同邊界條件下中厚橢球殼體的自由振動(dòng)頻率特征，并延伸到橢球殼領(lǐng)域。Gan等［13］和李善傾等［14?15］討論應(yīng)用Green函數(shù)法求解夾緊和簡(jiǎn)支邊界下不同底面形狀的扁球殼自由振動(dòng)，并構(gòu)造出合適的邊界條件方程用于改善積分求解方程的奇異性。此外，提出了一種解析法用于分析雙參數(shù)基礎(chǔ)上的不規(guī)則扁球殼的自由振動(dòng)問題。池旭帆等［16］引入Bezier函數(shù)來模擬球殼結(jié)構(gòu)中面位移，基于一階剪切變形理論建立一種半解析法用于求解開口球殼的自由振動(dòng)與受迫振動(dòng)，并對(duì)結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)進(jìn)行重點(diǎn)分析。

由以上文獻(xiàn)分析可知，上述研究較少考慮結(jié)構(gòu)厚度變化和開口特征的變形影響，同時(shí)現(xiàn)有研究多基于經(jīng)典薄殼理論對(duì)球殼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，缺少對(duì)球殼結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)情況下半解析法的研究，其求解方法尚待進(jìn)一步豐富。薄殼的厚度需要小于殼體變形模態(tài)波長(zhǎng)或曲率半徑的1/20，該范圍內(nèi)一階剪切變形理論與經(jīng)典薄殼理論相比，由于薄殼理論忽略了橫向剪切變形以及法向應(yīng)力對(duì)殼體變形的影響，在計(jì)算求解精度方面存在不足，而一階剪切變形理論引入剪切修正因子來彌補(bǔ)薄殼理論忽略剪切變形的影響，求解精度更高，適用于球殼結(jié)構(gòu)在集中力下的振動(dòng)響應(yīng)分析［17?18］。為此，本研究以半球殼結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，基于一階剪切變形理論推導(dǎo)開口球殼能量表達(dá)式，引入人工彈簧模擬半球殼結(jié)構(gòu)的邊界條件，采用Jacobi多項(xiàng)式和傅里葉級(jí)數(shù)分別表示結(jié)構(gòu)的軸向位移和徑向位移，基于Ritz法推導(dǎo)出球殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)微分方程，開展一般邊界條件下球殼受迫振動(dòng)特性研究，分析了結(jié)構(gòu)邊界條件、開口大小和殼體厚度對(duì)半球殼體穩(wěn)態(tài)振動(dòng)與瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 理論公式

1.1 半球結(jié)構(gòu)模型

圖1為半球殼結(jié)構(gòu)幾何模型，坐標(biāo)系為（φ， θ， δ），其中φ表示結(jié)構(gòu)底邊對(duì)應(yīng)的圓心角，φ0=π/2

，球殼環(huán)向封閉，θ為環(huán)向角，δ為結(jié)構(gòu)法線方向，半球殼半徑為R， γ表示半球殼截頂角，u， v和w分別表示φ，θ和δ方向的位移。引入人工彈簧用于模擬半球殼的邊界條件，連接示意圖如圖2所示，線性邊界約束采用三組線性彈簧進(jìn)行模擬，旋轉(zhuǎn)邊界約束采用兩組角彈簧進(jìn)行模擬。

1.2 球殼能量泛函建立

運(yùn)用區(qū)域分解法理論［19］，將半球殼結(jié)構(gòu)沿軸向分為等長(zhǎng)的H段，于每一段的首尾處分別設(shè)置五組人工彈簧，通過調(diào)節(jié)彈簧剛度值來模擬連續(xù)性條件以及半球殼的邊界條件，基于FSDT理論建立結(jié)構(gòu)能量泛函。邊界彈簧中假設(shè)第i段位移場(chǎng)表示為：

球殼的應(yīng)變?nèi)∪缦滦问剑?/p>

式中 εiφ，εiθ和γiφθ，γiφδ，γiθδ為中性面處正應(yīng)變和剪切應(yīng)變；κiφ，κiθ和κiφθ為中性面處的曲率值。

球殼結(jié)構(gòu)應(yīng)力可表示為：

式中 σiφ，σiθ和τiφθ，τiφδ，τiθδ分別表示正應(yīng)力和剪應(yīng)力；Q11，Q22和Q66為應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系系數(shù)。

式中 E和ε表示彈性模量和泊松比。

力和力矩可表示為：

由圖3可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)模型截?cái)鄶?shù)H趨近于4時(shí)，在分析頻段內(nèi)本文方法收斂速度快，穩(wěn)定性好，因此取模型截?cái)鄶?shù)H=4。由圖4可知本文方法與有限元法結(jié)果吻合較好，曲線趨勢(shì)基本一致，可以用來分析球殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)。

為充分探究不同邊界條件下，不同結(jié)構(gòu)厚度及截頂角大小對(duì)半球殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，本研究在數(shù)理模型驗(yàn)證基礎(chǔ)上開展半球殼穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)分析。

表2和圖5分別給出了不同邊界條件下開口球殼的結(jié)構(gòu)固有頻率和不同考核點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)，截頂角γ=π/10

。由表2可知，開口球殼結(jié)構(gòu)的固有頻率參數(shù)受邊界條件的影響較大，隨著邊界條件的增強(qiáng)，結(jié)構(gòu)剛度變大，固有頻率升高。由圖5可知開口球殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)隨著邊界條件增強(qiáng)會(huì)減弱，此外，對(duì)比不同考核點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)可知越靠近球殼中心位置，振動(dòng)響應(yīng)越大。

圖6給出了在不同邊界條件下開口球殼結(jié)構(gòu)不同厚度對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響，選擇（1/6π，π）處作為考核點(diǎn)，截頂角γ=π/10。由圖6可知，在F?S邊界條件下，隨著結(jié)構(gòu)厚度增加導(dǎo)致自身剛度變大，低階固有頻率升高；在E?C邊界條件下，結(jié)構(gòu)厚度增加反而降低了前三階固有頻率，第四階固有頻率變大，但結(jié)構(gòu)厚度增加都會(huì)造成結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的降低。

圖7給出了不同邊界條件下開口球殼截頂角對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的影響，選擇（1/3π，π）處作為考核點(diǎn)。由圖7可知，半球殼在開口后使得自身剛度變低，其低階固有頻率也降低，隨著截頂角變大，固有頻率低頻偏移現(xiàn)象更加明顯，同時(shí)振動(dòng)加速度響應(yīng)曲線在低頻處峰值變大。橫向?qū)Ρ瓤芍吔鐥l件的增強(qiáng)也提高了開口球殼的固有頻率。

2.2 瞬態(tài)振動(dòng)分析

首先，對(duì)無阻尼的半球殼振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析。采用如圖8所示的三角形脈沖載荷 q0=1 N，t0

=0.005 s，τ=0.005 s，Δt=0.0001 s， 截頂角γ=π/10。圖9為在三角形脈沖載荷作用下本文方法與有限元法計(jì)算求解的無阻尼瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果。由圖可見，本文方法與有限元計(jì)算結(jié)果吻合較好，兩曲線趨勢(shì)基本一致，可有效研究半球殼結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)受迫振動(dòng)響應(yīng)。

圖10和11分別給出了在不同邊界條件下半球殼不同考核點(diǎn)及不同厚徑比（h/R）下無阻尼瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果，其中截頂角γ=π/10。由圖10和11可知，開口球殼邊界條件增強(qiáng)或自身結(jié)構(gòu)厚度增加，振動(dòng)響應(yīng)幅值均出現(xiàn)明顯降低，但邊界條件對(duì)振動(dòng)響應(yīng)幅值影響相對(duì)較大。由圖10橫向?qū)Ρ瓤芍娇拷Y(jié)構(gòu)的中心位置結(jié)構(gòu)響應(yīng)越大，且邊界條件的增強(qiáng)導(dǎo)致振動(dòng)位移周期減小，表明結(jié)構(gòu)固有頻率變大，這與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)結(jié)論是一致的。

圖12給出了在不同截頂角情況下開口球殼的無阻尼瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果，考核點(diǎn)在（1/3π， π）處。由圖12可知，隨著截頂角變大，結(jié)構(gòu)開口后振動(dòng)響應(yīng)幅值變大，振動(dòng)位移周期變大。同時(shí)橫向?qū)Ρ瓤芍吔鐥l件的增強(qiáng)也限制了結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)幅值，并使得結(jié)構(gòu)固有頻率升高，這與不同截頂角下穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)論一致。

圖13給出了在不同結(jié)構(gòu)阻尼下開口球殼的瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果，截頂角γ=π/10。由圖13可知，結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)振動(dòng)響應(yīng)有較大抑制作用，在自由?簡(jiǎn)支邊界條件下半球殼結(jié)構(gòu)阻尼的增加并未使瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)幅值出現(xiàn)明顯衰減，但在彈性?固定邊界條件下隨著結(jié)構(gòu)阻尼的增大，瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)位移隨時(shí)間出現(xiàn)較大的幅值衰減。

3 結(jié) 論

本文引入Jacobi正交多項(xiàng)式和傅里葉級(jí)數(shù)分別表示半球殼的軸向位移和徑向位移，從而建立半球殼的強(qiáng)迫振動(dòng)分析模型，基于Ritz法研究了邊界條件、結(jié)構(gòu)厚度和截頂角對(duì)半球殼受迫振動(dòng)特性的影響。研究得出主要結(jié)論如下：

（1）本文方法具備較好的收斂性和求解精度。當(dāng)Jacobi多項(xiàng)式模型截?cái)鄶?shù)超過4時(shí)，本文方法具備較好的收斂穩(wěn)定性，通過與有限元求解結(jié)果對(duì)比，本文方法計(jì)算精度較好。

（2）半球殼結(jié)構(gòu)固有頻率不僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)屬性有關(guān)，還與邊界條件有關(guān)。隨著半球殼結(jié)構(gòu)厚度變大，其低階固有頻率在自由?簡(jiǎn)支邊界下增大，在彈性?固定邊界下前三階固有頻率降低；截頂角變大降低了結(jié)構(gòu)的剛度，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)低階固有頻率降低，同時(shí)邊界條件的增強(qiáng)也會(huì)使得結(jié)構(gòu)的固有頻率提高。

（3）半球殼的振動(dòng)響應(yīng)受到邊界條件、殼體厚度、截頂角以及自身結(jié)構(gòu)阻尼等多種因素的影響。半球殼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)越靠近球殼自身中心位置，其振動(dòng)響應(yīng)峰值越大。邊界條件的增強(qiáng)和殼體厚度的增加均會(huì)降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移，而截頂角變大會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度降低，半球殼的振動(dòng)響應(yīng)位移會(huì)變大。結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)殼體的位移響應(yīng)與邊界條件有關(guān)，在彈性?固定邊界條件下，阻尼對(duì)振動(dòng)響應(yīng)衰減影響較大。

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