基于高階剪切變形理論的功能梯度板自由振動分析簡化模型

摘要

基于高階剪切變形理論提出了一種功能梯度板自由振動分析的簡化模型，該簡化模型最顯著的特點是適用于功能梯度板的振動分析，且不需要剪切修正。相比于其他具有更多未知變量的剪切變形理論，本文提出的簡化模型只包含一個控制方程，極大地減少了計算量。基于該簡化模型研究了功能梯度矩形板在簡支邊界條件下的自由振動，并與其他已有文獻進行了比較。結果表明，本文提出的簡化模型在分析功能梯度板的自由振動行為時簡單且精確。此外，文中還通過多個數值算例分析討論了不同的梯度指數、長寬比和邊厚比對功能梯度板自由振動行為的影響。

關鍵詞

自由振動; 功能梯度材料; 簡化模型; 精化板理論; 固有頻率

引 言

功能梯度材料通常由金屬和陶瓷材料制成，但這兩種材料并不是簡單地堆疊層合，而是沿厚度方向呈梯度分布。這種特殊的構造給予了功能梯度材料不同于其他層合材料的優秀性能，因此功能梯度材料在核電、航空、土木工程、機械制造等領域被廣泛使用。

諸多板理論可用于功能梯度材料的力學行為分析，其中最簡單的是經典板理論［1?4］，它只包含3個變量，但是由于忽略了剪切變形和法向變形，所以經典板理論只適用于分析特別薄的板。為了考慮剪切變形效應，Mindlin［5］開發了一階剪切變形板理論。但一階剪切變形板理論局限于“橫向切應力沿厚度方向為常量”假設，不能夠滿足板頂面和底面上的零剪應力邊界條件，因此在使用時需引入一個取決于幾何參數、載荷和邊界條件等因素的剪切修正系數［6?7］。對于功能梯度材料這種性質不均勻的材料，確定最適合的剪切修正系數仍舊是一項挑戰。基于改善經典板理論和一階剪切變形板理論的目的，眾多包含不同數目未知數的高階剪切變形理論［8?14］被提出。這些高階剪切變形板理論不需要剪切修正，與三維解的結果相近，但這些理論中包含的未知量數目太多，所以計算量非常大。為了減少板理論中的未知量數目，Senthilnathan等［15］通過將橫向位移分為彎曲部分和剪切部分，并作出進一步假設，提出了精化板理論（RPT）。把位移分成彎曲和剪切部分不僅減少了未知數，而且有助于分辨出剪切和彎曲對總變形的貢獻。RPT已經被廣泛應用于功能梯度梁［16］、功能梯度板［17?18］、石墨烯納米片增強板［19?20］和碳納米管增強板［21］的力學分析，大量的研究已經驗證了RPT的便捷性和準確性。用于自由振動分析時RPT的位移場中只包含2個未知變量，且不需要剪切修正。

為了進一步減少未知量，Shimpi［22］首先對RPT做了進一步簡化，引入了“剪切位移對彎曲力矩沒有貢獻”的假設，將位移公式中的未知量縮減到了一個。Endo等［23?24］、Senjanovic等［25?26］以及Shimpi等［27］基于“剪切位移對彎曲力矩沒有貢獻”的假設，各自提出了單變量剪切變形板理論。然而，他們提出的位移場中的慣性相關項來自于一階剪切變形板理論，也就是說這些單變量理論［23?27］與一階剪切變形板理論一樣，仍舊存在“橫向切應力沿厚度方向為常量”假設，需要剪切修正。Thai等［28］和Vinh等［29］基于RPT對各向同性板以及功能梯度板使用剪切應變函數提出了單變量板理論，這樣就避免了“橫向切應力沿厚度方向為常量”的問題，不須引入剪切修正系數，但他們的理論仍舊基于“剪切位移對彎曲力矩沒有貢獻”的假設，而這一基本假設是在缺乏解釋的情況下作出的［30］。為了解決這個問題，Nguyen等［30］基于RPT提出了一種單變量理論，用于各向同性板和功能梯度板的靜力分析。該單變量板理論并未采用“剪切位移對力矩沒有貢獻”假設，且通過引入剪切應變函數避免了“橫向切應力沿厚度方向為常量”的問題，因此無需剪切修正。

本文沿用Nguyen等［30］的思路，在位移場中包含2個未知量的RPT［15］基礎上使用三維彈性理論將RPT位移場中的未知量縮減為1個，并將該簡化模型應用于FGM板的自由振動分析。本文提出的簡化模型優于其他單變量理論之處在于引入了剪切應變函數以避免剪切修正系數的選取，且摒棄了“剪切位移對彎曲力矩沒有貢獻”這一假設，并考慮了面內應力與橫向位移之間的耦合。通過與已有文獻的比較，驗證了本文所提出的簡化模型的簡便性和準確性。此外，本文還通過多個數值算例分析討論了梯度指數、長寬比和邊厚比對簡支功能梯度板自由振動固有頻率的影響。

1 材料性質

考慮如圖1所示的功能梯度矩形板，頂部是陶瓷，底部是金屬，長、寬和高分別為a，b和h。功能梯度材料的性質沿厚度方向梯度變化。陶瓷的體積分數Vc和金屬的體積分數Vm定義如下：

圖2給出了不同邊厚比a/h和梯度指數p對功能梯度板前四階無量綱自由振動固有頻率的影響。功能梯度板的前四階頻率在板的邊厚比a/h從2增大到5的過程中增長幅度很大，a/h繼續增大時振動頻率的增長則趨于平緩。當梯度指數p增大時，前四階無量綱振動固有頻率普遍減小。當梯度指數p由0增大到2時，固有頻率降低的幅度非常大，p繼續增加則固有頻率降低的速度變慢。原因是當梯度指數p增加時，功能梯度板中金屬成分逐漸增多，陶瓷成分占比降低，而陶瓷的彈性模量大于金屬，因此整個板的彈性模量隨著p增大而降低，導致無量綱固有頻率降低。邊厚比a/h和梯度指數p對功能梯度板的影響在前四階模態幾乎相同。

圖3給出了不同梯度指數p下功能梯度板的無量綱自由振動基頻與長寬比b/a的關系。可以看到，當b/a增加時，板的無量綱基頻會降低。當b/a在1～2的范圍內變化時，無量綱基頻的變化幅度最大。長寬比大于4以后，無量綱基頻趨于穩定。從圖3還可以看出，純陶瓷板的頻率大于純金屬板的頻率，這是由于陶瓷的彈性模量大于金屬的彈性模量。

圖4和5分別給出了a/h=20，p=1時功能梯度方板和矩形板（b/a=2）的前四階自由振動模態。可以看到，模態階數（m和n）和長寬比b/a的不同都會影響到功能梯度板的振動模態。

5 結 論

本文基于高階剪切變形理論發展了一種簡化模型，用于分析材料性質沿著厚度方向不均勻分布的功能梯度板的自由振動。該模型通過引入剪切應變函數，給出了沿板厚度方向橫向剪應力按拋物線分布的描述，并滿足了板頂面和底面的零剪應力邊界條件，因此不需要剪切修正。位移場的推導過程中摒棄了“剪切位移對彎曲力矩沒有貢獻”的假設，并考慮了面內應力與橫向位移之間的耦合，這是本文簡化模型與其他單變量理論最大的不同。本文提出的簡化模型在分析功能梯度板的自由振動行為時，只需要一個控制方程，這與其他剪切理論相比大大減少了計算量。所有數值結果均表明，本模型在減少未知數的同時保證了計算的準確度。基于該簡化模型研究了功能梯度板的梯度指數、邊厚比和長寬比對無量綱自由振動固有頻率的影響。可以預見到目前的簡化模型不止適用于功能梯度材料，還可適用于其他的性質分布不均勻的材料板的自由振動分析。

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