改進VMD及其在時變結構地震響應瞬時頻率識別中的應用

摘要

強地震動作用下，結構動力特性因損傷將隨時間變化，變分模態分解（Variational Mode Decomposition， VMD）可用于分析結構地震響應的瞬時頻率變化規律，揭示地震過程中結構的損傷狀態。針對人為預設分解模態數K和二次懲罰因子α

參數不準確導致VMD非平穩響應出現模態混疊的問題，提出了一種改進的VMD（Improved VMD， IVMD）算法，結合Hilbert變換（HT）可準確識別非平穩地震激勵下時變結構的瞬時頻率。采用多重信號分類（Multiple Signal Classification， MUSIC）算法確定分解模態數K，基于整體正交系數和能量比系數構建綜合目標函數，并采用樽海鞘算法（Slap Swarm Algorithm， SSA）優化確定二次懲罰因子。在優化確定K和α

參數的基礎上，結合IVMD和HT識別時變結構地震響應瞬時頻率。典型模擬信號和地震激勵下4層時變框架結構數值模擬響應表明，相比VMD算法，IVMD算法識別得到的瞬時頻率精度更高；12層鋼筋混凝土框架結構模型地震模擬振動臺試驗數據驗證了所提方法的實用性。

關鍵詞

地震激勵; 時變框架結構; 振動臺試驗; 瞬時頻率識別; 變分模態分解

引 言

地震是一種難以預測且破壞性極強的自然災害，常造成土木工程結構不同程度的破壞。結構一旦發生破壞，其自振頻率、阻尼比等動力特性隨之變化。利用先進的非平穩信號分析方法，分析非平穩地震激勵下結構的地震動響應，準確提取結構的瞬時頻率等時變動力特性，對于結構的損傷診斷和安全狀態評估具有重要的價值［1］。

Loh等［2］采用子空間識別算法，分析了一棟7層鋼筋混凝土框架結構、一棟9層層間隔震建筑和一座隔震橋梁的輸入?輸出地震響應數據，識別了結構的自振頻率和阻尼比等動力特性，并將其應用于結構地震安全評估。Ni等［3］提出了一種基于結構地震輸入?輸出響應數據的快速貝葉斯頻域模態參數識別方法，基于某12層框架結構模型振動臺模擬地震試驗數據和7層Van Nuys酒店建筑地震響應數據識別得到的結構模態參數，驗證了方法的有效性和適用性。Ghahari等［4］指出，地震動輸入數據常常難以獲得，且考慮土?結構相互作用時，記錄的自由場地震動響應或基礎響應數據都不能作為輸入用于基于輸入?輸出數據的模態參數識別方法，因此，盲源分離［5］、遞歸隨機子空間識別［6］和頻域分解［7］等僅基于輸出響應的模態參數識別方法更適用于識別地震激勵下時變結構的模態參數。

時頻分析方法作為處理非平穩信號的有力工具，通過分析結構地震響應數據的時頻譜圖，提取結構瞬時頻率等特征參數，可用于揭示結構在地震過程中的損傷狀態［8］。樊海濤等［9］采用經驗模態分解（EMD）從結構地震響應信號中提取結構模態響應，利用Hilbert變換識別了結構瞬時頻率等時變特征，掌握了地震過程中結構損傷的發展規律。石春香等［10］采用EMD+HT方法，分析了深圳羅湖商務大廈模型模擬地震振動臺響應數據，利用Hilbert阻尼譜研究了結構在地震過程中的破壞規律。陳雋等［11］采用EMD+HT方法識別了線性時變系統的瞬時頻率和瞬時阻尼比特征，并將其應用于地震激勵下12層短肢剪力墻結構振動臺模擬地震試驗數據，識別了模型結構在試驗過程中動力性能的時變特性。

應該指出，由于EMD為經驗算法，沒有嚴格的數學理論基礎，分解過程中常存在模態混疊等問題［12］。為更好地識別多分量非平穩信號的時變頻率，提出了一種變分模態分解（VMD）方法［13］，該方法將信號同時分解為不同中心頻率的窄帶信號，具有較高的時頻分辨率和噪聲魯棒性，已廣泛應用于機械故障診斷［14］、模態參數識別［15?16］和風速預測［17］等非平穩信號分析領域，但VMD應用于非平穩地震激勵下結構響應分析和損傷診斷方面的研究工作還較少。

VMD需人為預設分解模態數K和二次懲罰因子α等參數，常采用多次試算方法確定參數取值，由此導致VMD在分解非平穩響應時常出現模態混疊問題。為此，許多學者提出了一些改進措施，以實現VMD參數優化選取。Huang等［18］和Ma等［19］應用尺度空間表示和尺度空間譜分割來估計分解模態數K。Lian等［20］采用能量損失、置換熵等指標反復搜索分解模態數K。唐貴基等［21］以包絡熵為優化目標，采用粒子群算法同時搜尋K和α的全局最優解。何勇等［22］以峭度和包絡熵作為遺傳算法的目標函數，對K和α同步聯合優化，并應用于軸承故障診斷。應該指出，同時對K和α兩個參數進行優化，計算效率低，且參數間相互影響導致分解模態數K出現偏差，即使參數α取得最優值，也可能造成分解存在分量丟失或分量混疊等問題。因此，本文提出分別優化參數K和α的思路，保證二者取值均為最優。此外，參數α優化取值時常采用單一的局部目標函數［23］，這對于機械故障診斷是適用的，但不適用于非平穩地震激勵下時變結構瞬時頻率的識別問題。

針對上述VMD算法存在的不足，本文提出一種改進VMD（IVMD）算法，并應用于非平穩地震激勵下時變結構響應瞬時頻率識別。首先，考慮到分解模態數K對VMD結果的決定性作用，基于MUSIC功率譜確定K；然后，考慮到僅對二次懲罰因子α進行優化可提高計算效率，采用整體正交系數和能量比系數構造綜合目標函數，并基于樽海鞘算法（SSA）優化確定α；最后，基于優化確定的參數K和α，采用IVMD算法分解地震響應得到固有模式函數（IMF），并結合Hilbert變換識別結構瞬時頻率。采用模擬信號、地震激勵下4層時變框架結構的數值模擬響應和12層框架結構模型振動臺模擬地震試驗數據驗證了所提方法的有效性和實用性。

1 VMD算法

VMD算法采用一種非遞歸的變分模型，預設分解模態數K，將多分量信號s（t）同時分解為K個中心頻率為ωk的單分量調幅?調頻信號uk（t），即固有模式函數（IMF）分量。基于每個IMF分量圍繞其中心頻率有最緊密帶寬的基本假定，構造uk（t）的帶寬方程：

式中 ε為設定的判別精度。

2 基于改進VMD算法識別時變結構瞬時頻率

VMD算法分解信號時，采用的分解模態數K和二次懲罰因子α對分解結果影響較大，其中K直接決定分解結果的準確性，K取值過小或過大將分別導致模態混疊或冗余噪聲模態；二次懲罰因子α控制每個IMF的頻帶寬度和噪聲含量。目前，VMD算法分解信號時采用的參數K和α具有隨機性，且缺乏選擇標準，從而影響了IMF分量用于識別瞬時頻率的準確性。因此，確定優化的參數K和α對基于VMD識別時變結構地震響應的瞬時頻率至關重要。

2.1 確定及驗證分解模態數K

傅里葉頻譜常用來確定VMD的分解模態數K［15］，然而，傅里葉變換處理非平穩信號時，其頻譜中存在大量虛假峰值，此外噪聲干擾引起頻譜中出現較多波動［24］，因此，傅里葉頻譜常無法準確確定分解模態數K。相比傅里葉頻譜，MUSIC功率譜更平滑，分辨率更高［25］，能很好地處理非平穩信號并減小噪聲干擾，基于MUSIC功率譜能更準確地確定分解信號的分解模態數K。MUSIC功率譜的基本思想是對信號的（p+1）階相關矩陣作特征分解，并把特征向量張成信號空間{V1， …， Vp+1}和噪聲空間{VM+1， …， Vp+1}，然后根據信號和噪聲空間的正交性進行功率譜估計：

式中 A（ω）=[1" ejω … ejωM]；VHl為Vl的共軛轉置向量；M為信號個數。PMUSIC（ω）在ω=ωi處呈現一個尖峰，因此，可根據MUSIC功率譜的峰值數確定分解模態數K。

為驗證MUSIC功率譜確定分解模態數K的準確性，構造一個具有時變頻率的非平穩信號x（t），該信號由3個頻率按正弦變化的單分量信號組成：

式中 η（t）為白噪聲，其功率為信號功率的10%，信號x（t）的信噪比為14 dB，信號時長為10 s，采樣頻率為200 Hz。

圖1所示為信號x（t）的MUSIC功率譜、傅里葉頻譜和短時傅里葉譜。由圖1（a）可見，MUSIC功率譜有3個明顯的峰值，不存在虛假峰值且幾乎無波動，由此確定分解模態數K=3，真實反映了信號x（t）的分量組成。由圖1（b）可見，傅里葉頻譜中有7個明顯的峰值（其中峰值①，③，④和⑥為虛假峰值）且波動較大，由此確定分解模態數K=7，這與信號x（t）的分量組成不符。由圖1（c）可見，短時傅里葉譜模糊不清，無法得出分解模態數K。由此可知，MUSIC功率譜有抑制噪聲、分解非平穩信號的能力，可用于準確確定非平穩信號分解模態數K。

2.2 優化確定二次懲罰因子α

確定K值后，VMD算法分解結果的準確性主要取決于二次懲罰因子α。α取值偏小，則各階IMF受噪聲干擾大；α取值偏大，則信號過度分解。為得到僅包含單一頻率成分且受噪聲干擾小的IMF，本節基于VMD算法分解的后驗信息構建目標函數，采用優化算法實現α的確定。

2.2.1 構造目標函數

包絡熵、峭度、相關性等目標函數常用于機械故障診斷領域，然而，這些目標函數僅針對單一IMF。基于分解得到的全部IMF，構造綜合目標函數評估所有IMF的性能，可提高識別時變結構各階瞬時頻率的準確性。

（1） 整體正交系數P

整體正交系數P表示IMF之間的正交性，其表達式如下：

式中 fi（m），fj（m）和f（m）分別為第i，j個IMF和信號x（t）的頻域序列；m表示離散變量；N為信號長度。

信號分解完全時，各階IMF分量正交，整體正交系數P值最小。應該指出，由于實際信號中不可避免地存在噪聲，極易出現整體正交系數P最小時，相應的α

取值過小，由此導致各階頻率的能量聚集性差。

（2） 能量比系數E

為解決單一整體正交系數P易受噪聲干擾的問題，引入能量比系數E，其定義為各階IMF能量與原始信號能量之比，表達式如下：

根據帕塞瓦等式，式（10）有頻域和時域兩種表達式。當信號分解不完全時，能量比系數E值偏小。反之，信號過度分解時，能量比系數E值偏大。

（3） 綜合目標函數F

當整體正交系數與能量比系數的取值合適時，既可保證模態正交性，也可避免能量損失。因此構造綜合目標函數F，表達式如下：

式中 Pnorm和Rnorm分別為歸一化整體正交系數和能量比系數的倒數。F表示各IMF之間正交系數和分解過程中能量損失之和，當F取最小值時，減輕了噪聲影響且各階IMF分量正交，從而避免了模態混疊和過度分解。通過尋找綜合目標函數最小值Fmin，即可確定α，Fmin對應的α即為最優值，表達式如下：

2.2.2 驗證目標函數

為驗證構造的綜合目標函數F的有效性，圖2給出了信號x（t）的整體正交系數P、能量比系數倒數R和綜合目標函數F與α取值的關系曲線，α取值范圍為［500， 2.5×105］。由圖2可知，整體正交系數P在B點取最小值，但此時α取值偏小，VMD算法分解得到的模態分量受噪聲干擾大，單一P值無法確定α的最優值。能量比系數倒數R在C點取最小值，但此時α取值偏大，模態混疊嚴重，單一R也無法確定α的最優值。本文構造的綜合目標函數F，在介于B和C兩點之間的A點取最小值，相應的α=34000為最優值，此時，VMD算法分解結果噪聲干擾小且模態混疊程度輕。

由圖2可知，當綜合目標函數F在突變區間取最大值時，對應的α值用于VMD時會造成過度分解，由此表明α的取值偏大。盡管圖2中D點處綜合目標函數F取值較小且變化平穩，但對應的α值過大導致VMD嚴重過度分解，從此處選取的α值不合適。因此，本文進一步將α的搜尋取值范圍限定在[500，40000]

范圍內，以保證α取值為局部最優而非全局最優，并提高了搜索效率。

2.2.3 SSA優化搜索二次懲罰因子α

樽海鞘算法（SSA）［26］是一種群體智能優化算法，具有搜索速度快、有效避免前期搜索不充分而陷入局部最優的特點。該算法將種群個體分為領導者和追隨者，前面的個體領導后面的個體相繼排列成“鏈”狀，迭代更新個體位置以搜尋最優解。本文采用SSA算法優化搜索二次懲罰因子α的最優值。

針對信號x（t），2.1節中已確定分解模態數K=3，本節采用綜合目標函數F和SSA算法優化搜索二次懲罰因子α的最優值，α的搜尋范圍為[500，40000]。圖3所示為綜合目標函數F的迭代曲線。由圖3可知，SSA算法迭代18次后收斂，此時Fmin為0.9952，對應的α最優值為34000，與網格優化結果一致。SSA算法迭代收斂用時112.6 s，網格優化（搜尋步長為1）算法迭代收斂用時3424.9 s，SSA算法節約計算時間約96%，搜尋效率高。

綜上所述，采用MUSIC算法確定分解模態數K，構造綜合目標函數F，采用SSA算法優化搜索二次懲罰因子α，實現了VMD參數的優化確定，本文稱其為改進變分模態分解（IVMD）算法。

2.3 Hilbert變換識別時變結構瞬時頻率

基于IVMD算法分解結構響應得到IMF，基于Hilbert變換即可計算得到結構的各階瞬時頻率，計算公式如下：

式中 ωki（t）為第k個模態分量的瞬時頻率；u?k（t）為uk（t）的Hilbert變換。針對信號x（t），基于2.1節和2.2節中確定的VMD算法分解最優參數，即K=3，α=34000，利用IVMD對其分解，并將分解后的IMF進行HT識別得到各階瞬時頻率，如圖4所示。由圖4可知，識別的信號x（t）前2階瞬時頻率與理論值完全吻合；由于噪聲干擾，識別的第3階瞬時頻率存在一定的波動，但其均值與理論值基本一致。此外，由于HT的端點效應，信號端部識別得到的各階瞬時頻率誤差較大。

2.4 IVMD?HT算法識別時變結構瞬時頻率流程

圖5給出了基于IVMD?HT算法識別非平穩信號瞬時頻率的流程圖，其基本步驟包括：（a） 根據式（7）的MUSIC功率譜估計，得到光滑、分辨率高的MUSIC功率譜，根據譜峰確定信號的分解模態數K；（b） 設置二次懲罰因子α的搜尋范圍，基于綜合目標函數F并采用SSA算法搜尋α的最優值，Fmin對應的α值即為最優；（c） 利用最優K和α，對信號進行IVMD得到一系列IMF，并采用HT識別信號各階IMF的瞬時頻率。其中，步驟（a）和（b）兩部分即為IVMD算法。

2.5 分析與討論

為驗證本文算法獲取優化的參數K和α后識別瞬時頻率的準確性，人為選取了不同的參數K和α，圖6給出了VMD算法識別的信號x（t）的瞬時頻率。由圖6可知，當K隨機取值，α=34000時，盡管α取最優值，但K取值偏小或偏大分別出現缺少高階頻率或存在冗余噪聲頻率的問題，K值不準確直接導致結果偏差。當K=3，α隨機取值，α偏小時，各階瞬時頻率的識別結果受噪聲干擾大；α偏大時，盡管識別了第2階頻率，但由于模態混疊，第3階和第2階頻率完全重疊，第3階頻率無法被識別。由此表明，人為隨機對K和α取值對瞬時頻率的識別結果影響很大，會導致不能獲取清晰準確的頻率信息；采用優化取值的參數K和α，可更準確地識別信號的瞬時頻率。

為定量評價信號瞬時頻率的識別精度，定義均方根誤差RMSE：

當K取值準確（即K=3）時，表1對比了不同α取值下VMD識別得到的信號x（t）各階瞬時頻率的RMSE值。由表1可知，當采用優化確定的參數α（即α=34000）時，識別得到的各階瞬時頻率的RMSE值最小，結果最準確。由此表明，采用優化取值參數的IVMD算法，可解決VMD算法參數隨機取值導致瞬時頻率識別不準、精度不高的問題。

3 數值模擬

為驗證IVMD?HT算法識別地震激勵下時變結構瞬時頻率的有效性和準確性，構建了一個具有時變剛度的4層剪切型框架結構，如圖7所示。結構參數取值為：各層質量m1=m2=m3=m4=4 kg；各層阻尼系數c1=c2=c3=c4=0.5 N?s/m；第3，4層剛度系數為常值，k3=1.8×104 N/m，k4=1.5×104 N/m

，第1，2層剛度系數隨時間變化，k1（t）=k2（t）=[1?0.1sin（2πt）]×104 N/m。

地震激勵Q采用圖8所示的El Centro地震波，激勵時長為100 s，采樣頻率為250 Hz。采用四階龍格?庫塔（Runge?Kutta）進行結構地震響應分析，并添加10%的白噪聲。

圖9所示為El Centro地震激勵下時變框架結構頂層的加速度響應及其傅里葉頻譜和MUSIC功率譜。響應時長為100 s，其中5～20 s信號能量最大。圖9（b）所示的傅里葉頻譜中存在虛假峰值和波動干擾，峰值多而雜亂，難以準確確定分解層數K；圖9（c）所示的MUSIC功率譜中可清楚地觀察到4個峰值，由此確定分解模態數K=4。

確定分解模態數K后，設置SSA算法的種群個數為10，最大迭代次數為100，α搜索范圍為[500，40000]

。基于綜合目標函數F搜尋α最優值，其迭代收斂曲線如圖10所示。由圖10可知，迭代23次時收斂，最優值Fmin=1.7506，對應的α值為10142.9。

采用確定的優化參數K=4，α=10142.9，基于IVMD?HT算法識別得到地震激勵下時變框架結構的瞬時頻率，如圖11所示。此外，圖11中還給出了根據“凍結法”確定的瞬時頻率理論值，即假設結構物理參數在每個時間間隔內保持不變，得到每個時間間隔內的瞬時頻率。由圖11可見，識別得到的框架結構瞬時頻率與理論瞬時頻率基本吻合，無模態混疊。其中，第2階瞬時頻率識別值與理論值吻合最好；第3，4階瞬時頻率在部分時刻存在突變，這是由于HT計算瞬時頻率的公式誤差造成的［11］。采用移動平均（Moving Average）法，即選定窗口長度為80，將窗口內的瞬時頻率數據進行算數平均處理后，第3，4階瞬時頻率的移動均值與理論值基本一致。

當K=4時，表2給出了不同α取值，VMD算法識別得到的地震激勵下時變框架結構瞬時頻率的RMSE值。由表2可知，當采用優化確定的參數α（即α=10142.9）時，識別得到的結構瞬時頻率的RMSE值最小，結果最準確；當α隨機取值偏小（即α=2000）時，識別的瞬時頻率精度較低；當α隨機取值偏大（即α=25000）時，模態混疊導致第4階瞬時頻率無法被識別。由此表明，采用優化取值參數的IVMD?HT算法，可用于識別地震激勵下時變框架結構的瞬時頻率，且結果最準確，精度最高。

4 試驗驗證

為試驗驗證IVMD算法識別地震激勵下時變結構瞬時頻率的有效性和準確性，采用同濟大學提供的12層鋼筋混凝土框架模型模擬地震振動臺試驗數據［27］。模型縮尺比例為1/10，總高度3.6 m，每層高0.3 m，平面結構尺寸為0.6 m×0.6 m，如圖12所示。模型試驗采用了4種地震波，測試了61個工況，分別在模型底層、2層、4層、6層、8層、10層和12層的X，Y，Z方向布置了23個加速度傳感器。模型的詳細幾何尺寸、物理參數和模擬地震振動臺試驗情況參見文獻［27］。本研究僅分析Q1和Q2兩種工況下模型在X向El Centro地震激勵下結構頂層的加速度響應，Q1和Q2工況地震激勵加速度峰值（PGA）分別為0.646g和0.775g，信號采樣頻率為255.102 Hz。

為更精確地識別地震激勵下模型的瞬時頻率，研究僅考慮模型的前3階模態，采用截止頻率為15 Hz的6階切比雪夫Ⅰ型低通濾波器對模型地震響應信號進行重采樣，重采樣頻率為100 Hz。圖13所示為Q1和Q2兩種工況下的模型頂層加速度響應及其傅里葉頻譜和MUSIC功率譜。圖13（b），（e）所示的傅里葉頻譜中存在虛假峰值和波動干擾，峰值多而雜亂，難以準確確定分解模態數K；圖13（c），（f）所示的MUSIC功率譜中可清楚地觀察到3個峰值，由此確定分解模態數K=3。

確定分解模態數K后，設置SSA算法的種群個數為10，最大迭代次數為100，α搜索范圍為[500，40000]

。基于綜合目標函數F搜尋α最優值，其迭代收斂曲線如圖14所示。由圖14可知，Q1和Q2工況下分別迭代57次和58次后收斂，α最優值分別為4246.7和6125.7。

Q1和Q2工況下，分別采用確定的優化參數組合［K=3，α=4246.7］和［K=3，α=6125.7］，基于IVMD?HT算法識別得到12層框架模型的前3階瞬時頻率，如圖15所示。由圖15可見，Q1和Q2工況下框架模型前3階瞬時頻率成分被準確地識別。

由文獻［27］可知，模型結構在模擬地震振動臺試驗的過程中出現了損傷，其頻率具有時變特性。采用移動平均法（窗口長度為100）處理瞬時頻率曲線，消除HT計算瞬時頻率時出現的負頻率問題，得到的瞬時頻率移動均值（見圖16）真實地反映了地震激勵下模型結構頻率的時變規律。由圖16可見，Q2工況下識別得到的模型瞬時頻率值低于Q1工況，且波動幅度較大。原因在于，相比Q1工況，Q2工況下模型損傷更嚴重，結構剛度下降更多，這與試驗現象基本一致。由此表明，采用優化參數的IVMD算法，可識別地震激勵下框架結構損傷引起的頻率時變特征，對比不同損傷工況下結構瞬時頻率的變化趨勢即可得到結構的損傷程度。

5 結 論

提出了一種基于IVMD?HT算法識別時變結構地震響應瞬時頻率的方法。采用模擬信號、地震激勵下4層時變框架結構數值模擬響應和12層框架結構模型地震模擬振動臺的試驗數據驗證了所提方法的有效性和實用性。主要結論如下：

（1） 相比傅里葉頻譜和短時傅里葉譜，基于MUSIC功率譜確定的VMD模態數K更準確；基于整體正交系數和能量比系數構建的綜合目標函數，結合SSA算法可更有效地優化確定二次懲罰因子α。

（2） 基于優化確定K和α

參數的IVMD算法，解決了人為預設參數時VMD存在的模態混疊和噪聲干擾等問題，提高了計算效率；提高了結合HT識別時變結構地震響應瞬時頻率的精度。

（3） 應該指出，二次懲罰因子α的優化搜索范圍仍需通過試算人為確定。

參考文獻

1

Xin Y， Li J， Hao H. Enhanced vibration decomposition method based on multisynchrosqueezing transform and analytical mode decomposition［J］. Structural Control and Health Monitoring， 2021， 28（6）： e2730.

2

Loh C H， Chao S H， Weng J H， et al. Application of subspace identification technique to long?term seismic response monitoring of structures［J］. Earthquake Engineering amp; Structural Dynamics， 2015， 44（3）： 385-402.

3

Ni Y C， Zhang F L. Fast Bayesian frequency domain modal identification from seismic response data［J］. Computers amp; Structures， 2019， 212： 225-235.

4

Ghahari S F， Abazarsa F， Ghannad M A， et al. Response-only modal identification of structures using strong motion data［J］. Earthquake Engineering amp; Structural Dynamics， 2013， 42（8）： 1221-1242.

5

Guo Y L， Kareem A. System identification through nonstationary data using time?frequency blind source separation［J］. Journal of Sound and Vibration， 2016， 371： 110-131.

6

Loh C H， Chen J D. Tracking modal parameters from building seismic response data using recursive subspace identification algorithm［J］. Earthquake Engineering amp; Structural Dynamics， 2017， 46（13）： 2163-2183.

7

Pioldi F， Rizzi E. Earthquake?induced structural response output‐only identification by two different Operational Modal Analysis techniques［J］. Earthquake Engineering amp; Structural Dynamics， 2018， 47（1）： 257-264.

8

Chen W H， Hseuh W， Loh K J， et al. Damage evaluation of seismic response of structure through time-frequency analysis technique［J］. Structural Monitoring and Maintenance， 2022， 9（2）： 107-127.

9

樊海濤，何益斌，周緒紅. 基于Hilbert-Huang變換的結構損傷診斷方法研究［J］. 建筑結構學報， 2006， 27（6）： 114-122.

Fan Haitao， He Yibin， Zhou Xuhong. Structural damage detection study based on Hilbert-Huang transform［J］. Journal of Building Structure， 2006， 27（6）：114-122.

10

石春香，羅奇峰，施衛星.基于Hilbert-Huang變換方法的結構損傷診斷［J］.同濟大學學報（自然科學版），2005，33（1）： 16-20.

Shi Chunxiang， Luo Qifeng， Shi Weixing. Hilbert-Huang transform based approach for structural damage detection ［J］. Journal of Tongji University （Natural Science）， 2005，33（1）： 16-20.

11

陳雋，趙冠宇，陳鑫.線性時變動力系統參數識別方法與試驗分析［J］.振動、測試與診斷，2013，33（5）： 831-838.

Chen Jun， Zhao Guanyu， Chen Xin. Parameter identification of linear time-varying dynamical system and experimental investigation［J］. Journal of Vibration， Measurement and Diagnosis，2013，33（5）： 831-838.

12

Huang T L， Lou M L， Chen H P， et al. An orthogonal Hilbert-Huang transform and its application in the spectral representation of earthquake accelerograms［J］. Soil Dynamics and Earthquake Engineering， 2018， 104： 378-389.

13

Dragomiretskiy K， Zosso D. Variational mode decomposition［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2014， 62（3）： 531-544.

14

萬書亭，豆龍江，李聰，等.基于振動信號的高壓斷路器合閘特性參數在線檢測方法研究［J］.振動工程學報， 2019， 32（2）： 359-367.

Wan Shuting， Dou Longjiang， Li Cong， et al. Study on on-line detection of high voltage circuit breaker closing characteristic parameters based on vibration signal［J］. Journal of Vibration Engineering， 2019， 32（2）：359-367.

15

唐蕾， 黃天立， 萬熹. 基于變分模態分解和同步提取變換識別時變結構瞬時頻率［J］. 振動與沖擊， 2022， 41（6）： 197-205.

TANG Lei， HUANG Tianli， WAN Xi. Instantaneous frequency identification of time-varying structures using variational mode decomposition and synchroextracting transform［J］. Journal of Vibration and Shock， 2022， 41（6）： 197-205.

16

Yao X J， Yi T H， Qu C X. Autoregressive spectrum-guided variational mode decomposition for time-varying modal identification under nonstationary conditions［J］. Engineering Structures， 2022， 251： 113543.

17

Zhang Y G， Pan G F， Chen B， et al. Short-term wind speed prediction model based on GA-ANN improved by VMD［J］. Renewable Energy， 2020， 156： 1373-1388.

18

Huang Y， Lin J H， Liu Z C， et al. A modified scale-space guiding variational mode decomposition for high-speed railway bearing fault diagnosis［J］. Journal of Sound and Vibration， 2019， 444： 216-234.

19

Ma J， Wu J D， Wang X D. Incipient fault feature extraction of rolling bearings based on the MVMD and Teager energy operator［J］. ISA Transactions， 2018， 80： 297-311.

20

Lian J J， Liu Z J， Wang H， et al. Adaptive variational mode decomposition method for signal processing based on mode characteristic［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2018， 107： 53-77.

21

唐貴基， 王曉龍. 參數優化變分模態分解方法在滾動軸承早期故障診斷中的應用［J］. 西安交通大學學報， 2015， 49（5）： 73-81.

Tang Guiji， Wang Xiaolong. Parameter optimized Variational Mode Decomposition method with application to incipient fault diagnosis of rolling bearing［J］. Journal of Xi’an Jiaotong University， 2015， 49（5）： 73-81.

22

何勇， 王紅， 谷穗. 一種基于遺傳算法的VMD參數優化軸承故障診斷新方法［J］. 振動與沖擊， 2021， 40（6）： 184-189.

He Yong， Wang Hong， Gu Sui. New fault diagnosis approach for bearings based on parameter optimized VMD and genetic algorithm［J］. Journal of Vibration and Shock， 2021， 40（6）： 184-189.

23

王朝閣， 李宏坤， 曹順心， 等. 改進VMD和非凸重疊組收縮降噪的行星齒輪箱早期故障特征提取［J］. 振動工程學報， 2021， 34（6）： 1293-1304.

Wang Chaoge， Li Hongkun， Cao Shunxin， et al. Incipient fault feature extraction of planetary gearbox based on modified VMD and non-convex overlap group shrinkage denoising［J］. Journal of Vibration Engineering， 2021， 34（6）：1293-1304.

24

Luo Z J， Liu T Z， Yan S， et al. Revised empirical wavelet transform based on auto-regressive power spectrum and its application to the mode decomposition of deployable structure［J］. Journal of Sound and Vibration， 2018， 431： 70-87.

25

Amezquita-Sanchez J P， Adeli H. A new music-empirical wavelet transform methodology for time?frequency analysis of noisy nonlinear and non-stationary signals［J］. Digital Signal Processing， 2015， 45： 55-68.

26

Mirjalili S， Gandomi A H， Mirjalili S Z， et al. Slap Swarm Algorithm： a bio-inspired optimizer for engineering design problems［J］. Advances in Engineering Software， 2017， 114： 163-191.

27

呂西林，李培振，陳躍慶. 12層鋼筋混凝土標準框架振動臺模型試驗的完整數據［R］.上海：同濟大學， 2004.

Lü X L， Li P Z， Chen Y Q. Benchmark test of a 12-story reinforced concrete frame model on shaking table［R］.Shanghai： Tongji University， 2004.