考慮關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)振動特性分析

摘要

為隔離車載精密儀器承受的多維振動，引入基于并聯(lián)機構(gòu)且考慮機構(gòu)關節(jié)間隙的多維被動隔振系統(tǒng)。通過GF集 （Generalized Function Set） 型綜合理論，得到一種具有三平移一轉(zhuǎn)動運動特性的4?PUU （移動副?虎克副?虎克副） 并聯(lián)機構(gòu)，在主動關節(jié)處添加彈簧和黏滯阻尼器，建立考慮關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)運動學和動力學方程，研究存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)在諧波、隨機路面激勵下的時域、頻域隔振能力。研究結(jié)果表明：存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)多維振動在時域和頻域中的有效衰減；隨著關節(jié)間隙數(shù)值逐漸增大，隔振能力沿x軸方向變化最敏感，沿y軸方向變化最不敏感；系統(tǒng)第一階共振峰對關節(jié)間隙變化敏感，向低頻區(qū)域移動，隔振能力惡化。

關鍵詞

多維隔振系統(tǒng); 并聯(lián)機構(gòu); 關節(jié)間隙; 隔振性能

引 言

多維振動同時發(fā)生于多個方向，兼有移動和轉(zhuǎn)動兩種形式，在工程中普遍存在。以車載精密儀器為例，由于路面不平度和駕駛員的操作，車輛可能會同時產(chǎn)生橫向、縱向、垂向的平移振動，以及側(cè)傾、俯仰和橫擺的旋轉(zhuǎn)振動［1］。多維振動嚴重影響車載精密儀器的精度和可靠性，需構(gòu)建具有適當自由度的多維隔振系統(tǒng)對其進行有效隔離。機械組合分層隔振［2］、浮筏［3］和磁浮隔振［4］等現(xiàn)有的車載設備多維隔振技術能夠?qū)崿F(xiàn)多維振動的衰減，同時也存在動力學特性不隨外界激勵的變化而改變、隔振元件變形小、一般僅隔離沿隔振器軸線方向的振動、結(jié)構(gòu)復雜等不足。

并聯(lián)機構(gòu)因其具有剛度高、承載能力強、動力學特性與位姿密切相關、采用最少的主動關節(jié)實現(xiàn)多維運動輸出等特點，成為構(gòu)建多維隔振系統(tǒng)的優(yōu)勢對象［5?8］。YANG等［9］建立考慮派生剛度的六自由度多維隔振系統(tǒng)動力學方程，控制力由支鏈反力和位姿反饋綜合產(chǎn)生，設計新型PI子控制器，從而實現(xiàn)隔振帶寬和主動阻尼系數(shù)的獨立調(diào)節(jié)。TANG等［10］采用Newton?Euler法建立Stewart并聯(lián)隔振機構(gòu)的關節(jié)動力學方程，基于分散控制理論，設計準線性控制器，實現(xiàn)了六軸多維振動的有效衰減。上述多維振動主動控制策略可實現(xiàn)多維振動的有效衰減，但同時也增加了設計和維護成本，如果失電，系統(tǒng)穩(wěn)定性難以保證。多維振動被動控制方法因其具有低能耗、結(jié)構(gòu)簡單和良好的穩(wěn)定性等優(yōu)點得到了眾多學者的廣泛關注。WU等［11］基于Hamilton原理，建立“X”型多維隔振系統(tǒng)運動學模型，研究系統(tǒng)的等效剛度和位移傳遞率。牛軍川等［12］設計了一種基于變胞并聯(lián)機構(gòu)的多維被動隔振裝置，通過改變鉸鏈軸線的配置方式調(diào)整機構(gòu)的自由度，從而實現(xiàn)三自由度或四自由度多維減振。劉乃軍等［13］通過閉環(huán)矢量法建立了基于3?PRC 機構(gòu)的多維被動減振平臺模型，采用自適應遺傳算法對彈簧剛度進行優(yōu)化，從而實現(xiàn)減振平臺的調(diào)頻目標。文獻［13］中采用的3?PRC機構(gòu)共有3條對稱支鏈，自定平臺至動平臺，運動副構(gòu)成形式依次為移動副 （Prismatic Pair， P副）， 轉(zhuǎn)動副 （Revolute Joint， R副） 和圓柱副 （Cylindrical Pair， C副）。文中其他有關并聯(lián)機構(gòu)的簡寫具有類似的表達方式，為表達簡潔，后續(xù)僅給出并聯(lián)機構(gòu)運動副的中文解釋。

上述研究表明基于并聯(lián)機構(gòu)的多維隔振系統(tǒng)的理論可行性。然而，在并聯(lián)機構(gòu)制造和裝配等實際環(huán)節(jié)中，引入的關節(jié)間隙不能忽略。關節(jié)間隙對多維隔振系統(tǒng)振動特性的影響規(guī)律尚不明確。針對存在機構(gòu)關節(jié)間隙的并聯(lián)機構(gòu)運動學和動力學模型，已有學者展開研究，可為本文含間隙隔振系統(tǒng)的建模和振動特性分析提供參考。

王見等［14］建立了同時考慮關節(jié)間隙和連桿柔性的3?CPaRR （圓柱副?復合移動副?轉(zhuǎn)動副?轉(zhuǎn)動副）并聯(lián)機構(gòu)動力學模型，軸和軸套間的法向和切向碰撞力分別由Lankarani?Nikravesh模型和Coulomb摩擦模型計算得到。研究表明，關節(jié)間隙和連桿柔性對并聯(lián)機構(gòu)運動學特性影響顯著，導致動平臺輸出速度存在波動現(xiàn)象。ZHANG等［15］提出考慮關節(jié)間隙潤滑的3?PRR （移動副?轉(zhuǎn)動副?轉(zhuǎn)動副） 并聯(lián)機構(gòu)動力學響應評估方法，軸和軸套間的碰撞力由Pinkus?Sternlicht模型計算得到。因存在關節(jié)間隙，軸的中心運動軌跡為不規(guī)則的圓形，且軸和軸套之間的碰撞力實時可變。CHEN等［16］建立了存在關節(jié)間隙的冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)動力學模型，研究球鉸關節(jié)間隙對并聯(lián)機構(gòu)動力學特性的影響規(guī)律。研究表明，隨著球鉸關節(jié)間隙的增大，動平臺輸出速度的波動現(xiàn)象愈發(fā)明顯，輸出運動精度不斷降低。

本文考慮基于并聯(lián)機構(gòu)的多維隔振系統(tǒng)制造和裝配環(huán)節(jié)中的關節(jié)間隙問題，結(jié)合間隙關節(jié)的運動學和動力學模型以及并聯(lián)機構(gòu)的輸入、輸出特性，建立考慮關節(jié)間隙的多維被動隔振系統(tǒng)運動學和動力學方程，分別在時域和頻域研究關節(jié)間隙對隔振性能的影響規(guī)律，研究結(jié)果更加符合實際情況，可為基于并聯(lián)機構(gòu)的多維隔振系統(tǒng)設計提供參考。

1 含關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)建模

1.1 多維隔振系統(tǒng)模型

實際車輛振動難以同時兼具六個自由度，通常為車輛全部振動狀態(tài)中一項或者幾項的疊加。在此選擇具有代表性的橫向、縱向、垂向和俯仰方向的多維振動作為外界激勵，基于GF

集型綜合理論得到具有三平移一轉(zhuǎn)動 （Three Translations and One Rotation， 3T1R） 運動特性的少自由度并聯(lián)機構(gòu)作為多維隔振系統(tǒng)的主體。并聯(lián)機構(gòu)的末端運動特征可由各支鏈的運動特征求交計算得到［17］，即：

式中 GF為并聯(lián)機構(gòu)的末端運動特征，GFi為每條支鏈的運動特征，i=1，2，3，…，n。

由于并聯(lián)機構(gòu)的主動副可安裝在不同支鏈上，因此，需對并聯(lián)機構(gòu)進行數(shù)綜合。數(shù)綜合方程［18?19］可表示為：

式中 FD為GF集的維數(shù)；ND和nd分別為支鏈數(shù)和主動支鏈數(shù)；p為被動支鏈數(shù)；qi為第i條主動支鏈上的主動副個數(shù)。

由于所選機構(gòu)的運動特性為3T1R，且無被動支鏈和冗余驅(qū)動，其自由度為4，式 （2） 中的具體參數(shù)可表示為：

ND=4，nd=4，p=0，qi=1;i=1，2，3，4" " （3）

考慮到機構(gòu)承載能力穩(wěn)定和便于制造安裝等因素，在此選擇具有對稱支鏈結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機構(gòu)作為多維隔振系統(tǒng)主體。那么根據(jù)GF

集求交規(guī)則，可得到具有四條對稱支鏈的3T1R并聯(lián)機構(gòu)末端特征為：

式中 T*表示平動；下標a，b，c 分別為任意兩坐標軸不平行且不共面的沿三條坐標軸的平動。R*表示轉(zhuǎn)動；下標α，β，γ分別為相交于同一點的繞三條坐標軸的轉(zhuǎn)動。

根據(jù)式 （4）， 部分具有四條對稱支鏈的機構(gòu)構(gòu)型如表1所示。

表1中，P表示移動副，R1和R2表示回轉(zhuǎn)軸線不同的轉(zhuǎn)動副，U表示虎克副。為說明表1中各機構(gòu)構(gòu)型的含義，以4?PPPR機構(gòu)為例，4表示機構(gòu)共有四條對稱支鏈，自定平臺至動平臺，支鏈中的運動副依次為移動副?移動副?移動副?轉(zhuǎn)動副。根據(jù)空間軸遷移定律，支鏈中的轉(zhuǎn)動副可任意布置，其派生機構(gòu)未列出。對于多維隔振系統(tǒng)，需在移動副上安裝彈簧和黏滯阻尼器，在此選擇機構(gòu)構(gòu)型為4?PUR1R2。虎克副由兩個不同軸線的轉(zhuǎn)動副組合而成，為敘述方便，定義所選機構(gòu)為4?PUU （移動副?虎克副?虎克副）機構(gòu)。

多維隔振系統(tǒng)的主體分別由動平臺、定平臺和四條對稱支鏈構(gòu)成。定平臺和動平臺均為矩形，其邊長分別為2d1×2d2和2d3×2d4，θ為動平臺繞x軸的轉(zhuǎn)角。從定平臺到動平臺，每條支鏈依次由移動副?虎克副?虎克副構(gòu)成，每個虎克副中的兩條轉(zhuǎn)動軸線呈45°偏置。在移動副上安裝彈簧和黏滯阻尼器，分別在動平臺和定平臺建立動坐標系P?xpypzp和定坐標系O?xyz，構(gòu)造的多維隔振系統(tǒng)如圖1（a）所示。圖1（a）中，B1～B4分別為與阻尼器相連接的虎克副，C1～C4分別為與動平臺相連接的虎克副。為更清晰地展示各支鏈關節(jié)的位置關系，將圖1（a）中的Ⅰ，Ⅱ兩處細節(jié)做局部放大，得到圖1（b）。如前所述，虎克副可視為兩個轉(zhuǎn)動副的合成形式：圖1（b）中Ⅰ處，轉(zhuǎn)動副軸線C11和C12呈45°夾角，轉(zhuǎn)動副軸線B11和B12呈45°夾角，轉(zhuǎn)動副軸線C11和B11沿豎直方向；圖1（b）中Ⅱ處，轉(zhuǎn)動副軸線C21和C22呈45°夾角，轉(zhuǎn)動副軸線B21和B22呈45°夾角。上述轉(zhuǎn)動副兩兩之間均存在關節(jié)間隙。由于機構(gòu)的對稱特性，另外兩條支鏈的布置形式與Ⅰ，Ⅱ兩處相同。阻尼器為普通黏滯阻尼器，彈簧與阻尼器呈串聯(lián)關系。基于4?PUU并聯(lián)機構(gòu)的多維隔振系統(tǒng)自由度為4，可通過修正的G?K公式［20］進行驗算。由于虎克副為軸線偏置的兩轉(zhuǎn)動副組合而成，在下文中重點考慮具有轉(zhuǎn)動副間隙的多維隔振系統(tǒng)運動學和動力學模型。

1.2 存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)運動學

為簡化計算，通常認為軸和軸套在初始位置同心，關節(jié)間隙限定了軸的運動軌跡位于軸套的邊界之內(nèi)［21］。那么在初始位置，轉(zhuǎn)動副關節(jié)間隙為：

式中 RJ和RB分別表示軸和軸套的半徑向量。

在工作狀態(tài)，軸和軸套產(chǎn)生相對隨機運動，直到兩者發(fā)生碰撞。由于軸和軸套的軸向長度接近，在此忽略軸線方向的傾斜碰撞。定義軸和軸套徑向局部坐標系和徑向總體坐標系分別為o?xy和O?XY，Qj和Qi分別為軸和軸套的中心，那么軸和軸套的相對運動示意圖如圖2所示。

在總體坐標系中，軸和軸套中心的偏心量可表示為：

式中 rQj和rQi分別為軸和軸套在總體坐標系中的位姿向量。

那么，軸和軸套之間的相對運動關系可由撞入深度δ=|e|?c表示：當δlt;0時，表示自由運行模式；當δ=0

時，表示碰撞或者分離的臨界狀態(tài)；當δgt;0時，表示碰撞模式。

2 含關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)仿真

存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)仿真分析中所用到的主要參數(shù)和數(shù)值如表2所示。

2.1 存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)時域響應

為研究關節(jié)間隙變化對時域隔振性能的影響規(guī)律，避免未知頻率成分對時域隔振性能的影響，選取具有確定頻率成分的諧波激勵作為復合外界振動激勵，加速度方程為x¨1=5sin（4πt）+3cos（1.5πt）， 作用方向沿x，y，z軸和繞x軸。式（24）可由Runge?Kuta方法求解，存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)在復合諧波激勵下的時間歷程如圖3所示。

圖3為存在關節(jié)間隙時動平臺在復合諧波激勵下各方向的時域速度輸出。為清晰地表示速度輸出特性，諧波激勵圖像未添加到圖3中。由圖3可得，存在關節(jié)間隙時的輸出速度變化趨勢與無關節(jié)間隙時的輸出速度變化趨勢基本一致。隨著關節(jié)間隙逐漸增大，動平臺的速度輸出幅值同步增大。該現(xiàn)象表明，多維隔振系統(tǒng)的隔振能力隨著關節(jié)間隙的增大而逐漸惡化。由碰撞產(chǎn)生的法向力和切向力傳遞到多維隔振系統(tǒng)，此時，附加的碰撞力會抵消一部分阻尼力，這是導致隔振性能退化的重要原因。在各速度峰值處，此時軸和軸套的動能也處于極大值，將產(chǎn)生較大的法向和切向碰撞力，導致在速度峰值處產(chǎn)生明顯的波動現(xiàn)象。由于軸和軸套之間的隨機運動，碰撞位置和碰撞力具有顯著的不確定性。

為量化不同關節(jié)間隙大小對隔振性能的影響程度，選取動平臺輸出速度的均方根（RMS）值作為評價指標。

表3為存在關節(jié)間隙時動平臺在不同方向的輸出速度均方根值。由于并聯(lián)機構(gòu)的耦合特性，在某一方向激勵，在所有方向均會產(chǎn)生輸出，但其余方向的輸出幅值均顯著小于激勵方向的輸出幅值。因此，在評價多維振動響應時，可忽略由于耦合效應引起的其余方向的輸出值。對振動加速度激勵進行積分計算，得到速度均方根值為0.543 m/s或0.543 rad/s。與振動激勵速度均方根值相比，考慮和未考慮關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)在各方向上均能夠?qū)崿F(xiàn)多維振動的有效減弱。在不同關節(jié)間隙數(shù)值影響下，經(jīng)過計算，沿x，y，z軸線方向和繞x軸方向的速度均方根值最大變化率分別為80%，31.4%，48.2%和53.3%，該變化率可表示隔振能力隨關節(jié)間隙變化的靈敏度。上述結(jié)果表明，隔振性能隨關節(jié)間隙的變化沿x軸方向最敏感，沿y軸方向最穩(wěn)定。

2.2 存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)頻域響應

假設多維隔振系統(tǒng)固定于車輛中，定平臺承受由路面不平度產(chǎn)生的隨機激勵［29］：

式中 x2（t）為路面隨機激勵幅值；Gx為路面不平度系數(shù)；ve為車輛行駛速度；n0和n1分別為下截止頻率和參考空間頻率；w為均值為零的高斯白噪聲。參數(shù)的具體取值如表2所示。

定義矩陣T=[04×4" " I4×4]，對式（24）取Fourier變換，那么存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)動平臺頻域位移輸出可表示為：

如果不考慮關節(jié)碰撞力，即忽略關節(jié)間隙的影響，那么式 （27） 將變?yōu)槔硐氲谋粍痈粽裣到y(tǒng)動平臺頻域位移輸出形式：

式中 x2（ω）為隨機路面激勵的頻域形式。

圖4為存在不同關節(jié)間隙時動平臺的頻域位移輸出特性。為研究關節(jié)間隙對隔振能力的頻域影響規(guī)律，同時給出無關節(jié)間隙的理想被動隔振系統(tǒng)頻域輸出曲線。結(jié)合表2中的數(shù)據(jù)，計算得到多維隔振系統(tǒng)的四階固有頻率分別為f1=3.82 Hz， f2=9.53 Hz， f3=16.98 Hz， f4=62.12 Hz。圖4中，當黏滯阻尼系數(shù)為零時，多維隔振系統(tǒng)的四階共振峰被完全激發(fā)，其橫坐標值恰好與四階固有頻率對應，表明了理論計算的正確性。在理想的被動隔振模式下，系統(tǒng)的四階共振峰均被顯著抑制。隨著關節(jié)間隙增大，對第一階共振峰的抑制能力逐漸變?nèi)酰瑫r，所有方向的第一階共振峰 （除沿z向） 均有向低頻區(qū)域移動的現(xiàn)象，其余三階共振峰變化不明顯。由于機構(gòu)關節(jié)間隙的存在，Jacobian矩陣和關節(jié)碰撞力實時改變，致使第一階共振峰對關節(jié)間隙變化較為敏感。關節(jié)間隙逐步增大對多維隔振系統(tǒng)隔振能力的影響規(guī)律，與增加隔振系統(tǒng)等效慣量或降低隔振系統(tǒng)等效剛度的規(guī)律大體一致。

3 結(jié) 論

本文建立了存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)運動學和動力學模型，由關節(jié)間隙引起的法向和切向碰撞力通過Jacobian力矩陣作用于多維隔振系統(tǒng)，分別在時域和頻域內(nèi)研究存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)隔振能力的變化規(guī)律，可得到如下結(jié)論：

（1） 基于4?PUU并聯(lián)機構(gòu)的多維隔振系統(tǒng)，在考慮和未考慮關節(jié)間隙影響時，均能夠?qū)崿F(xiàn)對多維振動的有效衰減。當存在關節(jié)間隙且關節(jié)間隙逐步增大時：隔振能力沿x

軸變化最為敏感，沿y

軸最穩(wěn)定；第一階共振峰對關節(jié)間隙變化最敏感，逐步向低頻區(qū)域移動。

（2） 在速度峰值處，由于系統(tǒng)動能為極大值，導致關節(jié)碰撞力也為極大值，在速度峰值處具有明顯的波動現(xiàn)象。由關節(jié)間隙導致的關節(jié)碰撞力通過時變Jacobian力矩陣添加到多維隔振系統(tǒng)中，抵消了部分阻尼力，這是導致存在關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)隔振能力退化的重要因素。

（3） 本文提出的考慮關節(jié)間隙的多維隔振系統(tǒng)建模和分析方法更加貼合實際情況，不僅適用于車載精密儀器減振，也可以推廣到艦船設備、空天設備減振等其他多維振動抑制領域，為多維隔振系統(tǒng)的研究和應用提供了參考。

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