Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在有空氣阻力的斜拋運動中的應用

摘" "要：在考慮空氣浮力和空氣阻力的情況下建立斜拋運動理論模型，利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ進行數值模擬，對比有無空氣阻力時斜拋運動的軌跡差異，探究拋出角度、拋出速度、質量、阻力系數對斜拋運動水平距離和豎直高度的影響。在此基礎上，將構建的模型應用于投籃，得出投中三分空心球的出手角度和出手速度范圍，對投籃給出相關建議。

關鍵詞：斜拋運動；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ仿真；空氣阻力；籃球運動軌跡；空心球

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）1-0037-4

斜拋運動是學生在學習了平拋運動、運動的合成和分解后一個典型的拋體運動實例。在研究斜拋運動時，學生通常會忽略空氣阻力，根據已有的知識和方法，處理斜拋運動關系式。而２０１９年版人教版高中物理必修二在“一般的拋體運動”的“思考與討論”中提出“炮彈運動時的阻力就不能忽略空氣阻力，根據你的推測，炮彈運動的實際軌跡大致是怎樣的？”由此可以看出，編者很注重引導學生思考有空氣阻力的拋體運動情況，并將其作為課外拓展引入課堂。在實際生活中，學生基本上不會接觸到炮彈，但類似的拋體運動卻很常見，如籃球運動。雖然籃球在拋出后運動速度比較慢，但其受到的空氣阻力不能忽略，且空氣阻力與速度滿足正比關系：f=-kv［１］。對于存在空氣阻力的斜拋運動，其數學關系式比較復雜，求解難度較大。雖然已有研究通過科學仿真計算軟件Ｍａｔｌａｂ、仿真實驗平臺Ａｌｇｏｄｏｏ等模擬出了存在空氣阻力的斜拋運動軌跡，也探究了初速度、拋射角對射程和射高的影響［２-３］，但未將研究結果用于日常教學，也未將研究結果用于指導體育運動項目。

本文首先根據理論推導，將有、無空氣阻力的斜拋運動軌跡方程進行比對。隨后利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ軟件進行數值模擬，探究拋出角度、拋出速度、質量、阻力系數對斜拋運動水平距離和豎直高度的影響，通過數形結合的方法簡化復雜的物理過程。最后將所構建的模型用于討論投籃時的出手角度與速度對三分空心球的影響，并得出投中三分空心球的出手角度和出手速度范圍，對籃球這類體育運動給出相關的建議。

１" " 斜拋運動的理論模型

斜拋運動可分解為水平方向和豎直方向的兩個獨立運動。當物體的運動速度較低時，其所受空氣阻力與速度關系滿足f=-kv［１］。

因此，我們把物體受到的空氣阻力分解為水平方向的fx=-kvx和豎直方向的fy=-kvy。

對物體分別在水平和豎直兩個方向進行受力分析：物體在水平方向只受到空氣阻力fx；在豎直方向受到向下的重力mg、向上的浮力ρgV和空氣阻力fy。根據牛頓第二定律列出方程

當不考慮向上的浮力ρgV時，（１2）式化為沒有空氣阻力和浮力時的斜拋運動軌跡方程。

對比（9）式和（１2）式，不難發現，在考慮空氣阻力的作用下，物體斜拋運動的實際運動軌跡要比在忽略空氣阻力的理想條件下復雜得多，因此研究在空氣阻力作用下的斜拋運動顯得尤為重要。借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ軟件對存在空氣阻力的斜拋運動進行詳細的模擬，讓學生更加直觀、清晰地找到斜拋運動的特點，同時增強學生識圖、認圖、分析圖的能力。

２" " Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ數值模擬

２．１" " 空氣阻力對斜拋運動軌跡的影響

利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ求解二階微分方程（１），分別探究拋出角度、拋出速度、質量、阻力系數對斜拋運動軌跡的影響。為結合實際情況探究斜拋運動，同時激發學生學習斜拋運動的興趣，我們以籃球為例展開探究，具體分析如下：

（１）控制籃球的拋出速度、質量和阻力系數不變，探究拋出角度對籃球水平距離和豎直高度的影響。設定籃球的拋出速度v0=10 m/s，籃球質量m=0.6 kg，空氣對籃球的阻力系數k＝０．５３［５-６］，在此基礎上進行數值模擬（圖１）。結果表明：當存在空氣阻力時，籃球拋出角度越小，拋出的水平距離越遠，豎直高度越?。徊豢紤]空氣阻力時，籃球拋出角度與拋出水平距離不存在簡單的遞增或遞減關系；籃球拋出的水平距離在沒有空氣阻力時比存在空氣阻力時更遠，與具體的拋出角度無關。

在課堂教學中，通過Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ讓學生深度理解拋出角度對斜拋運動水平距離和豎直高度的影響。在此基礎上，教師提出問題：在其他物理量不變的情況下，拋出速度對斜拋運動的水平距離和豎直高度有什么影響呢？如何探究呢？讓學生學會運用控制變量法設計實驗方案，同時培養學生分析問題、解決問題的能力。

（２）控制籃球的拋出角度、質量和阻力系數不變，探究拋出速度對籃球水平距離和豎直高度的影響。設定籃球的拋出角度為45°，籃球質量m=0.6 kg，空氣對籃球的阻力系數k＝０．５３，數值模擬結果如圖２所示。結果表明：在拋出角度為45°時，無論拋出速度如何變化，籃球在沒有空氣阻力時拋出的水平距離都要大于存在空氣阻力時的情況?？紤]空氣阻力并保持籃球的質量和拋出角度等物理量不變時，籃球水平距離和豎直高度隨著拋出速度的增大而增大。

通過Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ的數值模擬，讓抽象的物理規律變得形象、具體，讓學生感受到了數學軟件在物理課程學習中的妙用。

（３）控制籃球的阻力系數、拋出速度和拋出角度不變，研究質量對籃球水平距離和豎直高度的影響。設定籃球的拋出速度v0=10 m/s，籃球拋出角度為45°，空氣對籃球的阻力系數k＝０．５３，數值模擬結果如圖３所示。結果表明：當存在空氣阻力且其他物理量不變時，隨著籃球質量的增大，籃球做斜拋運動的水平距離和豎直高度也隨之增大。

（４）控制籃球的質量、拋出速度和拋出角度不變，研究阻力系數對籃球水平距離和豎直高度的影響。設定籃球的拋出速度v0=10 m/s，籃球質量m=0.6 kg，籃球拋出角度為45°，數值模擬結果如圖４所示。結果表明：保持其他物理量不變，籃球做斜拋運動的水平距離和豎直高度隨著阻力系數的增大而減小。

由以上模擬可知，斜拋運動的水平距離和豎直高度與拋出角度、拋出速度、質量、阻力系數都有關。根據上述數值模擬分析的結論引導學生提出問題，既然籃球是斜拋運動，說明水平距離和豎直高度也受上述因素的影響，你能用類似數形結合的方法研究投籃手投籃角度和出手速度對三分空心球的影響，找到三分空心球最易得分的條件嗎？在教學中，鼓勵學生通過所學知識解決真實情境問題。

２．２" " 三分空心球出手角度和出手速度的關系

以籃球中得分較難的三分空心球為例，在三分線上籃球運動員距籃筐中心的水平距離為５．６７５ ｍ，籃筐距地面的垂直高度為３．０５ ｍ，假設運動員出手高度為１．７０ ｍ。籃球出手后，考慮球心落點偏離籃筐中心１０ ｃｍ，從籃筐距離地面高度開始到上移１０ ｃｍ為空心球球心落點區域。所以，球心落點與投籃運動員的水平距離范圍為[5.575，5.775]（單位：ｍ）、高度范圍為[3.05，3.10]（單位：ｍ）的區域為空心球區域（圖5）。

利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ求解二階微分方程（１），在空心球區域范圍內利用數值模擬得到影響三分球的拋出速度與拋出角度關系圖（圖６）。投中三分球的拋出速度與拋出角度并未呈現出單一的線性關系。拋出角度在[15°，45°]范圍內時，拋出速度隨拋出角度的增大而減??；拋出角度在[45°，75°]范圍內時，拋出速度隨拋出角度的增大而增大。且在拋出角度為[15°，25°]時，拋出速度隨拋出角度的增大而驟減；在拋出角度為[65°，75°]時，拋出速度隨拋出角度的增大而驟增。投中三分球的最佳拋出角度為[25°，65°]，最佳拋出速度為[13.3，14.2]（單位：ｍ／ｓ）。投中三分球最低的拋出速度為１１．３ ｍ／ｓ，對應的最省力范圍位于拋出角度[40°，45°]。

將所學的知識用以指導生產生活是知識的一種重要轉化，是教學多維度目標的一種重要的體現［７］。針對籃球訓練，采用Mathematica對所構建的理論模型進行模擬分析，得到投中三分空心球的出手角度和出手范圍，科學指導學生的籃球訓練，對體育教師的教學起到一定的輔助作用。同時，將物理與體育學科結合起來，實現跨學科教育。

３" " 結" 語

通過在斜拋運動中考慮空氣浮力和空氣阻力建立理論模型，對比有無空氣阻力時斜拋運動的差異。并使用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ進行數值模擬求解，利用控制變量法，得到拋出角度、拋出速度、質量、阻力系數對斜拋運動水平距離和豎直高度的影響。以此理論模型為基礎，在考慮空氣阻力的情況下，模擬得到投中三分空心球的出手角度和出手速度范圍，為體育教師科學指導籃球訓練提供參考。同時，將理論知識用于解決實際問題，激發學生的學習動力，鼓勵學生將所學知識遷移到具體的應用中，提高學生物理建模的能力。

參考文獻：

［１］張金榮，張春秀．斜拋運動在空氣阻力ｆ＝－ｋｖ情況下的研究［Ｊ］．新課程，２０１８（１）：１００．

［２］郭雪鵬．考慮空氣阻力與速度平方成正比的斜拋運動［Ｊ］．物理通報，２０１７（６）：６３－６６．

［３］李廣富，南亞亞，何婧，等．基于Ａｌｇｏｄｏｏ對不同情況的斜拋運動研究［Ｊ］．物理通報，２０２２（１）：５４－６０．

［４］殷仁勇．物理奧賽拋體問題的處理與運用［Ｊ］．物理教師，２０１９，４０（１１）：９５－９6，封3．

［５］李武鋼，張彬玲．基于信息技術測量籃球的空氣阻力系數［Ｊ］．物理與工程，２０１２，２２（３）：３１－３３．

［６］汪普健．基于仿真技術測量籃球投籃時空氣阻力系數的探究［Ｊ］．電子測試，２０１４（S２）：４９－５０，６０．

［７］趙紹明，楊大湖，江維源．ＳＴＥＭ理念下高中物理深度學習教學設計——以“探究斜拋運動”為例［Ｊ］.物理教師，２０２２，４３（２）：２３－２５，３０．

（欄目編輯" " 鄧" "磊）

收稿日期：2023-06-28

基金項目：遵義師范學院一流課程（金課）培育項目“科學課程與教學論”（JKPY017）。

作者簡介：黃啟洪（1989-），男，副教授，主要從事理論物理、物理教育教學研究。