對楔形塊受力情況的深入分析與拓展討論

摘" "要：對一道涉及力學平衡的題目進行分析，分別剖析六個楔形塊搭建成的半圓形拱券兩側的受力不對稱和兩側的受力對稱時相鄰楔形塊之間的相互作用力，再對原拱券厚度充分小的情況進行了拓展討論。

關鍵詞：楔形塊；拱券；平衡；相互作用力；圓弧重心

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）1-0073-4

原題 （2022—2023學年度第一學期常州市高三期中質量調研物理試卷第2題）拱券結構是古代工匠的一種創舉。如圖1所示，用六塊相同的楔形塊構成一個半圓形的拱券結構，每塊楔形塊的質量為m，重力加速度為g，則1和2之間的作用力為（" " "）

這是一道與系統平衡有關的題目。能夠看出，命題者欲通過對這個力學問題的解答，考查學生對物體受力分析等知識點的掌握情況和靈活運用物理知識解決相關實際問題的能力。

原題解析 如圖2所示，將2，3，4，5這四塊楔形塊作為整體進行受力分析。設楔形塊1和6對整體的正壓力分別是F1和F6，由于對稱，所以F1=F6，不妨設F1=F6=F，則有2Fsin60°= 4mg。

由上述分析可知，選此答案的前提條件至少應有：兩邊底座固定且其上表面粗糙，所有其余接觸面平整、光滑。

1" " 兩邊受力不對稱時，相鄰楔形塊之間的相互作用力不確定

該結構是左右對稱的，但穩定后兩邊的受力卻可以不對稱。假設原來兩邊的受力對稱，這時楔形塊3和4之間只存在正壓力，不存在相互作用的摩擦力；兩邊的底座對楔形塊的支持力相等，都是3mg。在此基礎上，假設對支撐楔形塊6的底座施加一個豎直向上的作用力，使得它對楔形塊6豎直向上的支持力大于3mg，不妨設增量為kmg。顯然，在該增量不超過一定限度的條件下，系統仍可維持平衡。在各楔形塊不發生相對滑動的情況下，楔形塊3和4之間就存在相互作用的靜摩擦力。跟原來兩邊受力對稱的情形相比，相鄰各楔形塊之間的相互作用力大小和方向必然會發生改變。而且增量kmg的大小不同，相鄰楔形塊之間相互作用力大小的改變也不盡相同，但六塊楔形塊組成的系統卻可以維持“原樣”。所以，僅根據題目條件，無法確定各楔形塊之間相互作用力的大小，當然也無法確定楔形塊1和2之間作用力的大小。

需要說明的是，要使某個楔形塊平衡，除了要滿足該楔形塊所受各力矢量和為零之外，還需滿足楔形塊所受各力力矩的矢量和為零。可以證明，當楔形塊厚度比較小時，楔形塊所受各力矩的矢量和不為零（后面有證明）。以下，我們均按楔形塊比較厚的狀況處理，所以，不再考慮力矩的矢量和。

2" " 即使兩邊受力對稱，也無法確定楔形塊1和2之間相互作用力的大小

假設該裝置兩邊的受力是對稱的，則楔形塊3和4之間只存在正壓力，不存在摩擦力。我們先分析楔形塊3的受力情況。如圖4所示，假設楔形塊4對3的正壓力為F，由于楔形塊3的重力為mg，所以系統平衡時楔形塊2對3水平向右的作用力為F，豎直向上的作用力為mg。

再分析楔形塊2的受力情況。如圖5所示，由牛頓第三定律可知，楔形塊3對2存在豎直向下、大小為mg的分力和水平向左、大小為F的分力。因為楔形塊2所受重力是mg，所以平衡時楔形塊1對2存在水平向右、大小為F的分力和豎直向上、大小為2mg的分力，因此，只要楔形塊3和4之間的作用力F的大小確定，楔形塊1和2之間作用力的大小也就確定了。

那么，F的大小能夠確定嗎？我們對左邊的三塊楔形塊作為整體進行受力分析。如圖6所示，假設H是這個整體的重心（由于楔形塊厚度的不同，整體的重心可能在楔形塊2所在的空間內，也可能在楔形塊2所在的空間之外），則整體重力相對于楔形塊1底面左側（或右側）力矩的大小是確定的，而楔形塊4對3作用力F等效作用點的位置卻可以在它們的接觸面AB上任意上下移動。壓力F作用點位置不同，它相對楔形塊1底面左側（或右側）力矩的大小便不相同。所以，系統平衡時，楔形塊3和4之間的作用力F的大小是不確定的，所以楔形塊1和2之間作用力的大小也無法確定。

3" " 對厚度充分小的六塊楔形塊搭建成平衡的半圓結構的拓展討論

由前所述，正是因為各楔形塊有一定的厚度，相鄰楔形塊之間相互作用力的分布情況無法確定，打破各楔形塊的平衡狀態，使其轉動的“支點”也因其有一定的厚度可以隨意變化，才使得楔形塊1和2之間作用力的大小無法確定。那么，跟搭建的半圓形拱券的半徑相比，如果楔形塊的厚度充分小，達到遠小于圓弧半徑的程度，我們就可以不考慮楔形塊的厚度了。這種情形下，問題是否就可以解決了呢？

拓展 某同學準備搭建一個半圓形拱券，為此，他先設計了搭建圖紙，如圖7所示。擬采用六塊相同的楔形塊搭建這個半圓形的拱券結構，若每塊楔形塊的質量為m，重力加速度為g，已知楔形塊的厚度遠小于拱券圓的半徑，且系統平衡時兩邊受力對稱，試問：

（1）按這樣的圖紙進行搭建，系統是否可以維持平衡？請說明理由。

（2）除了楔形塊3和4之間保持自然搭建外，若將其余楔形塊各連接點焊死，為維持系統平衡，求楔形塊與底座之間動摩擦因數的取值范圍。

分析 跟半圓拱券圓弧的半徑相比，楔形塊的厚度很小時，搭建成的拱券可以視為半圓弧了。為確定問題的答案，有必要先探討質量分布均勻的圓弧在已知半徑和圓心角的情況下（這樣的圓弧，形狀和大小是確定的）重心的位置。

如圖8所示，質量分布均勻的圓弧AB的半徑為R，圓心角為α，C是圓弧AB的中點，設圓弧的線密度為ρ。由于OC所在的直線是圓弧AB的對稱軸，所以圓弧AB的重心一定在OC上，不妨設重心在M點。D是圓弧AB上的任意一點，設半徑DO與垂直于OC的直徑的夾角為x，以D為端點向上截取一段微元圓弧DE，該微元圓弧所對的圓心角為dx，設重心M到圓心O的距離為H。則有

圖7所示的結構，是由六個楔形塊疊加組合而成，所以只有當各楔形塊所受各力的矢量和為零且相對任意一點所有各力力矩的矢量和也為零時，整個系統才能維持平衡。否則，有一個楔形塊所受各力的矢量和不為零，或者所受各力力矩的矢量和不為零，整個系統都將無法維持平衡。

解析 （1）假設系統可以維持平衡，我們先看楔形塊3和4之間的作用力大小。如圖9所示，將楔形塊1，2，3視為焊接在一起的整體，設楔形塊4對3的作用力為F，圓弧AC的重心為P，由圓弧重心公式可得

再分析以D為支點時楔形塊3在4對3的作用力和自身重力作用下能否維持平衡。設P為楔形塊3的重心，過支點D作這兩個力的作用線的垂線（即確定力臂），垂足分別為G和H，如圖10所示。則有

可以看出，F·|DG|≠mg·|DH|。因此，楔形塊3會按某個方向翻轉而失去平衡。所以，按圖7給出的圖紙進行搭建，系統不可能維持平衡。

4" " 結" 語

由以上分析可以看出，對于原題給出的這個力學平衡問題，若楔形塊的厚度足夠大，則六個楔形塊搭建成一個半圓形的拱券是可以實現的，但系統平衡時無法確定相鄰兩個楔形塊之間的作用力大小。而楔形塊的厚度相對拱券圓弧半徑非常小時，六個楔形塊搭建成的半圓形拱券如果沒有外力的作用，無法維持平衡。所以，無論是否考慮楔形塊的厚度，原題這個力學問題都無法確定相鄰兩個楔形塊之間的作用力大小。

參考文獻：

［１］郜建輝．中學物理受力分析的原則與方法初探［Ｊ］．物理教學探討，２０２１，39（１１）：５５－５９，６３．

［２］張海．圓弧重心位置的計算公式及其應用——一道靜力學問題的再探究［Ｊ］．物理教學，２０２１，43（１）：７５，７４．

［３］茅云飛．一個靜力學競賽問題的另兩種求解方法［Ｊ］．物理教師，２０２１，42（３）：７４－７５．

［４］趙秀霞．三種途徑解決平衡類問題［Ｊ］．中學物理教學參考，２０２２，51（18）：６０－６１．

（欄目編輯" " 蔣小平）

收稿日期：2023-04-28

作者簡介：王偉民（1964-），男，中學高級教師，主要從事中學物理教學研究。