巧用動量定理求解電磁感應綜合問題

摘" "要：金屬棒切割磁感線運動問題是高考物理電磁感應綜合應用中的一類典型題目。從2022年三道高考題入手，按照單桿、雙桿、方框三種模型進行分類探析，利用動量定理對各種模型在非勻變速直線運動過程中的位移和電荷量進行定量求解。

關鍵詞：高考物理；電磁感應；動量定理

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）1-0049-3

金屬棒切割磁感線運動模型是電磁感應綜合應用的一類典型問題，在歷年高考中出現頻率很高，重點考查運動與相互作用觀念、能量觀念等要素［１］，難點在法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律與牛頓運動定律、功能關系相結合。按照研究對象的種類，可分為單桿、雙桿、方框三種模型，接下來逐一進行分析。

1" " 單桿模型

例1 （2022年海南高考物理第18題）如圖1所示，光滑的水平長直軌道放在勻強磁場B=0.25 T中，軌道寬0.4 m，一導體棒長也為0.4 m，質量為0.1 kg，電阻r=0.05 Ω，它與導軌接觸良好。當開關與a接通時，電源可提供恒定的1 A電流，電流方向可根據需要進行改變，開關與b接通時，電阻R=0.05 Ω，若開關的切換與電流的換向均可在瞬間完成，求：

（1）當棒中電流由M流向N時，棒的加速度的大小和方向是怎樣的；

（2）當開關始終接a，要想在最短時間內使棒向左移動4 m而靜止，則棒的最大速度是多少；

（3）要想棒在最短時間內向左移動7 m而靜止，則棒中產生的焦耳熱是多少。

解析 （1）當導體棒中電流由M流向N時，只受安培力的作用，大小為F=BIL=0.1 N，方向為水平向右，因此棒的加速度大小為a=F/m=1 m/s2，方向為水平向右。

（2）當開關始終接a時，導體棒向左只有兩種運動情形，一是勻加速運動（電流由N流向M），二是勻減速運動（電流由M流向N）。要想在最短時間內使棒向左移動s=4 m而靜止，只能先做初速度為0的勻加速運動，達到最大速度vm后做勻減速運動至靜止，兩個階段加速度的大小均為1 m/s2。由勻變速直線運動公式可知，v2m=2a1s1=2a2s2，s1+s2=s，聯立解得vm=2 m/s。

（3）當開關接b且導體棒向左運動時，棒切割磁感線會產生感應電動勢ε=BLv，并在回路中形成感應電流I3=ε/（R+r），棒所受安培力F3=BI3L=B2L2v/（R+r），方向向右，加速度的大小a3=F3/m=v（SI），即棒做加速度減小的變減速運動。當棒的速度大于1 m/s時，加速度a3gt;a2；當棒的速度小于1 m/s時，加速度a3lt;a2。

由于棒在減速階段有兩種方式，因此要想棒在最短時間內向左移動s=7 m而靜止，在減速階段必須選取加速度大的減速方式，即先做初速度為0的勻加速運動（開關接a，電流由N流向M），達到最大速度v3后，先做變減速運動（開關接b）至速度為v4=1 m/s，再做勻減速運動（開關接a，電流由M流向N）至靜止。由勻變速直線運動公式可知，。

對于變減速運動階段的位移s4，我們無法使用運動學公式，但可以利用動量定理進行計算。

點評 對于雙桿模型，如果雙桿均在磁場區域運動，那么雙桿均產生感應電動勢，若雙桿不受外力作用，則在運動方向上遵循動量守恒定律。如果其中一桿離開磁場區域，那么只有另一桿會產生感應電動勢且受到安培力的作用。

3" " 方框模型

例3 （2022年1月浙江選考物理第22題）如圖3所示，水平固定一半徑r=0.2 m的金屬圓環，長均為r、電阻均為R0的兩金屬棒沿直徑放置，其中一端與圓環接觸良好，另一端固定在過圓心的導電豎直轉軸OO′上，并隨軸以角速度ω=600 rad/s勻速轉動，圓環內左半圓均存在磁感應強度大小為B1的勻強磁場。圓環邊緣、與轉軸良好接觸的電刷分別與間距l1的水平放置的平行金屬軌道相連，軌道間接有電容C=0.09 F的電容器，通過單刀雙擲開關S可分別與接線柱1，2相連。電容器左側寬度也為l1、長度為l2、磁感應強度大小為B2的勻強磁場區域，在磁場區域內靠近左側邊緣處垂直軌道放置金屬棒ab，磁場區域外有間距也為l1的絕緣軌道與金屬軌道平滑連接，在絕緣軌道的水平段上放置“［”形金屬框fcde。棒ab長度和“［”形框的寬度也均為l1，質量均為m=0.01 kg，de與cf長度均為l3=0.08 m。已知l1=0.25 m，l2=0.068 m，B1=B2=1 T，方向均為豎直向上；棒ab和“［”形框的cd邊的電阻均為R=0.1 Ω，除已給電阻外其他電阻不計，軌道均光滑，棒ab與軌道接觸良好且運動過程中始終與軌道垂直。開始時開關S和接線柱1接通，待電容器充電完畢后，將S從1撥到2，電容器放電，棒ab被彈出磁場后與“［”形框粘在一起形成閉合框abcd，此時將S與2斷開，已知框abcd在傾斜軌道上重心上升0.2 m后返回進入磁場。

（1）求電容器充電完畢后所帶的電荷量Q，哪個極板（M或N）帶正電？

（2）求電容器釋放的電荷量ΔQ；

（3）求框abcd進入磁場后，ab邊與磁場區域左邊界的最大距離x。

勻速運動的位移x2=l3-l2=0.012 m。

因此，距離x=x1+x2=0.14 m。

點評 對于方框模型，在速度方向垂直于磁場邊界的情況下，進入磁場后只有完全進入磁場的那條邊產生感應電動勢。若磁場區域無限大，則方框全部進入磁場后便不再產生感應電動勢；若磁場寬度大于方框寬度，則方框全部處于磁場期間不產生感應電動勢，當方框一邊出磁場后，在磁場中的那條邊會產生感應電動勢；若磁場寬度小于方框寬度，則進入磁場的那條邊出磁場后至另一條邊進入磁場前不產生感應電動勢，當另一條邊進入磁場后，那條邊會產生感應電動勢。

4" " 教學啟示

電磁感應綜合問題一般都會涉及非勻變速運動過程，其中相關物理量的求解需要利用微元思想［２-３］，需加注意。

參考文獻：

［１］中華人民共和國教育部． 普通高中物理課程標準（２０１７年版2020年修訂）［Ｓ］． 北京：人民教育出版社，２０２０：４－５．

［２］景微安．力學三大觀點在電磁感應問題中的應用［Ｊ］． 中學物理教學參考，２０２２，５１（１）：４３－４７．

［３］劉杭州，宋書婷．電磁感應問題中變化的電流問題中電量的計算［Ｊ］．湖南中學物理，２０２１（４）：８９－９１．

（欄目編輯" " 陳" 潔）

收稿日期：2023-03-17

作者簡介：趙繼辰（1984-），男，實驗師，主要從事物理教師教育培訓與研究工作。