基于旋量理論的弓形五連桿機器人運動學建模

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作者簡介：余聯慶（1972-），男，教授，碩士生導師，研究方向：機器人運動學、動力學分析與控制.

引文格式：余聯慶，劉興. 基于旋量理論的弓形五連桿機器人運動學建模[J]. 武漢紡織大學學報，2024，37（1）：71-80.

YU Lianqing， LIU Xing. Kinematics Modeling of Bow-shaped Five-link Robot Based on Screw Theory[J]. Journal of Wuhan Textile University，2024，37（1）：71-80.

摘 要：傳統的D-H參數法采用建立局部坐標系的方式，在運動學建模過程中存在求解逆解時產生增根的問題。因此，本文通過旋量理論方法建立弓形五連桿的運動學數學模型，對比D-H參數法建立的末端執行器運動學模型，證明兩種方法之間的等效性，并基于旋量理論建立起弓形五連桿機器人的速度模型。使用ADAMS軟件對弓形五連桿機器人進行運動仿真，測量角速度曲線與MATLAB理論曲線對比，結果表明了旋量理論建模方法的正確性和有效性。

關鍵詞：弓形五連桿；旋量理論；速度模型

中圖分類號：TP242 文獻標識碼：A 文章編號：2095－414X（2024）01－0071－10

0" 引言

開鏈弓形五連桿機器人作為仿生爬行機器人，該機器人是通過模擬尺蠖蠕動來進行工作運作并達到實驗目的。弓形五連桿尺蠖機器人是采用串聯方式將各個弓形桿件連接在一起，通過桿件連接處關節角的旋轉以及運動過程中接觸地面帶來的摩擦來達成機器人完成尺蠖運動的目的。針對弓形五連桿機器人進行運動學分析，本質就是建立相應的運動學模型。傳統機器人的建模方式多采用D-H參數法，但該方法采用建立局部坐標系的方式，加大了運動學建模在計算過程的復雜性，并再求解逆解時可能會產生增根。因此，本文通過旋量理論方法建立弓形五連桿的運動學數學模型。

在弓形五連桿機器人的模型基礎上，通過旋量理論計算出末端執行器的位置模型，對比常規的D-H參數法建立的數學模型，驗證采用旋量理論建立模型的正確性。同時經過旋量變換得到當前位形的運動副旋量，將各關節的運動副旋量組合起來既得弓形五連桿機器人的雅可比速度矩陣，建立其弓形五連桿機器人的速度模型。基于速度模型的建立，進行Adams和Matlab仿真實驗，分析仿真實驗結果總結歸納弓形五連桿機器人在尺蠖運動過程中的運動學特性規律。

1" 弓形五連桿機器人的運動學分析

1.1" 旋量理論與剛體變換

剛體特性下的機器人運動均可以由的齊次變換矩陣表示，該變換矩陣由玄旋轉矩陣和平移矩陣組成。根據沙勒（Chasles）定理，任意剛體運動都可以通過繞著某一軸的旋轉和平行于該的移動實現，這種組合運動稱為螺旋運動，給運動的無窮小量為運動旋量。設表示為旋轉關節軸線方向上的單位向量，關節軸轉過的角度為。設為旋轉軸上的一定點。其中的元素定義如下：

（1）

（2）

其中是三維列向量，為1x3維零向量。是的3階反對稱矩陣與等同。

（3）

是特殊歐氏群，可用來確定剛體的位形或一個點在運動過程中的坐標變換。為的李代數，其中的元素叫做運動旋量。軸的單位矢量和速度構成的矩陣成為運動旋量，是一個六維向量，稱為的旋量坐標。表示從到的指數變換。對于，則有；反之，對于則存在和，使得。指數積的一般形式為：

（4）

式中：

I為3x3的單位矩陣。

當剛體末端位姿在工具坐標系相對于慣性坐標系的初始位姿為時，繞某給定軸進行螺旋運動，運動后的末端位姿可以表示為，右乘初始位姿可以得到末端姿態的代數表達式方程：

（6）

1.2" 弓形五連桿機器人的運動學建模

基于旋量理論建立弓形五連桿機器人的正運動學方程，弓形五連桿機器人的三維模型和機構運動簡圖，如圖1、圖2所示。

由于弓形五連桿機器人采用串聯桿件結構以開鏈弓形五連桿的頭部關節為基坐標系，其坐標原點OS設定在弓形五連桿的左端連桿垂直水平地面上，XS軸在弓形機器人與平面相接的水平面方向，方向由左端指向右端，ZS軸與關節的旋轉軸平行，方向由里向外垂直于面，YS的方向在坐標原

點OS豎直方向上垂直于XS軸。建立坐標系如圖3，對每個關節編號，從左端到右端依次編號為1，2，3，4，5。將完整的運動步態周期里分為4個運動階段，根據對稱關系將運動階段按照2個運動子階段進行分割，按照中心對稱將子階段對稱進行設定即可。圖4為弓形五連桿尺蠖運動的簡序圖。

根據運動簡圖，步態1只有三個連桿進行聯動，進行初始拱起的M1階段；步態2和步態3過程中有四個連桿進行聯動的拱起M2階段。對各階段進行運動學受力平衡分析，得到對應階段下的穩定性判斷依據。

M1階段的穩定性判斷依據Q1：

（7）

M2_up階段的穩定性判斷依據Q2_up：

（8）

M2_down階段的穩定性判斷依據Q2_down：

（9）

其中初始位置下的末端工具坐標系在慣性坐標系中的變換為：

（10）

各個關節軸線的單位矢量為：，在各個關節軸線上任取一點，。則：

，，，，

根據公式，得。

，，，，

因此運動旋量為：

，，，

，

由上式子，代入式子（4）中得：

（11）

則

，，

，

，

計算出各個關節角的指數積后，根據POE公式，可以得到開鏈弓形五連桿的正運動學方程：

（12）

對比旋量理論方法和傳統D-H參數法的運動學方程，驗證該方法計算的正運動學方程的準確性。以開鏈弓形五連桿尺蠖機器人為研究對象，采用D-H參數法建立運動學模型。通過齊次變換矩陣表示弓形五連桿機器人各個桿件之間在局部坐標系的相對位置和姿態，最后依次相乘得到弓形五連桿機器人的運動學方程。已知弓形五連桿機器人的運動參數如表1所示：

、、、、分別表示五個運動關節的轉動角度，通過運動學D-H法可知從坐標系到坐標系齊次變換矩陣如下：

（13）

將表1參數代入到式子（10）可得出相鄰兩連桿之間的齊次變換矩陣：

（14）

即相鄰兩桿件坐標系之間的齊次變換矩陣為：

（15）

則對應的逆變換矩陣：

（16）

第一連桿坐標相對于坐標系的齊次變換矩陣如下：

（17）

對應的逆矩陣為：

（18）

其中： ，

，；。

由此弓形五連桿尺蠖機器人末端位置的運動學模型如下：

（19）

其中，

。

將式（12）與式（19）相減可得：

（20）

由式（20）的計算結果，證明了基于旋量理論建立運動學模型方法的正確性。在建立弓形五連桿尺蠖機器人運動學模型后，由于D-H參數法的局部坐標系建立太多，一定程度上限制了對弓形五連桿在尺蠖運動中各個關節角的運動描述，同時建立的模型也相對于旋量理論建立的模型會更復雜，計算過程會更繁瑣。反觀旋量理論建立的運動學模型，不用在各個關節旋轉軸上建立局部坐標系，建模過程簡便。而弓形五連桿機器人尺蠖運動中參與的關節旋轉軸較多，故采用旋量理論來給串聯連接的弓形五連桿機器人建立運動學模型。

旋量理論建立機器人運動學模型，就是利用兩個旋量矩陣表明弓形五連桿機器人的姿態和位姿之間的關系，通過這兩個旋量矩陣就能表示弓形五連桿機器人的位形。除此之外，用指數積進行逆運動求解過程中，能明確逆解多解的條件和個數，具有明確的幾何意義和數值穩定性，降低了弓形五連桿機器人逆運動學計算過程的復雜性。

2" 弓形五連桿機器人的速度模型

2.1" 基于POE公式的機器人速度雅可比矩陣

根據弓形五連桿機器人在剛體特性下基于旋量理論建立的運動學模型，推導出弓形五連桿機器人速度雅可比矩陣，避免傳統微分法出現參數表現不足。

剛體特性下機器人末端執行器的瞬時空間速度為：

（21）

通過運動旋量坐標可將式（18）表示為：

（22）

令，，其中表示為機器人各關節的角速度，式（18）化簡為：

（23）

通過對分析，了解其幾何意義。由基于旋量理論建立的正運動學公式得：

（24）

則

（25）

將式（22）轉換為運動旋量形式得：

（26）

令，式（20）變為：

（27）

故，稱為機器人空間速度的雅可比矩陣，稱為運動副旋量， 表示運動旋量經過變換后得到新的運動旋量。根據運動旋量坐標的定義，運動副旋量坐標計算公式如下：

（28）

為當前位形下該關節旋轉軸線上的單位矢量，為當前位形下軸線上一點的位置矢量。分別可通過以下公式計算求得：

（29）

（30）

表示為初始位置矢量。

通過以上式子即可求解出機器人空間速度的雅可比矩陣，將實際值代入式（24）即可解出六維向量，該向量前三維為角速度，后三維為線速度。

2.2" 弓形五連桿機器人的速度模型

由弓形五連桿機器人建立的旋量坐標系，如圖3所示。由于初始位形下各個關節旋轉軸方向上的單位矢量為，在運動過程中，關節對應的運動副旋量方向并不會發生改變，但位置會發生變化。因此各個關節的運動副旋量為：

（31）

又觀察可知

（32）

其中。

由式（29）得各個關節上的位置矢量為

，，，

（33）

則由式（25）得：

（34）

因此，弓形五連桿機器人的空間速度雅可比矩陣為

（35）

3" 仿真實驗

由結構示意圖5可知弓形連桿的基礎參數，其中弓形連桿的圓弧對應的圓心角為0.4πrad。根據設計的弓形桿件參數，使用SoildWorks繪制各個

零件的零件模型；然后，根據機器人的裝配關系將各個弓形桿件進行裝配；最終，建立一個與弓形桿件機器人實體尺寸為1：1的三維模型。此仿生機器人的SolidWorks三維結構圖如圖6所示，弓形五連桿機器人表示尺蠖周期運動的步態3狀態。

將SolidWorks繪制好三維模型的弓形五連桿機器人裝配圖令存為Parasolid格式，然后導入到ADAMS仿真軟件中，得到仿真模型如圖7所示。

根據幾何對稱關系，只需對弓形桿件的前兩個運動階段進行仿真即可分析整個尺蠖周期運動過程。在每個關節處建立測量點，得到各個運動階段下，關節角速度和時間的變化規律。同時，將得到的數據導入MATLAB建立的弓形五連桿機器人的空間速度模型，就能計算出機器人在各個時刻末端執行器的速度。對每個M1和M2尺蠖運動階段進行運動學仿真，得到各階段下相關運動學特性的變化曲線圖，如圖8、圖9和圖10所示。

由仿真實驗得到各階段下的關節角變換曲線圖，可以看出，弓形五連桿在從初始狀態開始尺蠖運動時，其各個關節角的速度變換由加速逐漸隨著運動過程的轉變，參與尺蠖運動變化的關節角的速度逐漸趨于平穩，從步態1到步態2轉變即M2運動階段，關節角隨時間變化呈線性遞增，表明此時尺蠖運動中的各個桿件處于勻速旋轉狀態。

針對關節角隨在各階段下隨時間的變化曲線圖，將理論曲線和仿真實驗數據通過MATLAB軟件進行圖形對比，如圖11、圖12和圖13所示。

由各運動階段關節角的變化對比圖可知，理論變換曲線和仿真實驗數據存在一定誤差，但在允許的范圍內。通過對比圖形驗證了速度模型的正確性，為以后對弓形五連桿機器人的研究提供了一種新思路。

4" 結論

針對傳統的D-H參數法建立的弓形五連桿機器人模型復雜程度高、逆運動求解困難的問題，本文采用了一種建模更加簡單高效、幾何意義更加明顯的方法，即基于旋量理論的指數級公式建立運動學模型，并與D-H參數法進行對比，理論上證明兩種方法的等效性。然后，在旋量理論建立的運動學模型基礎上求解了弓形五連桿機器人的速度雅可比矩陣，并用ADAMS進行了仿真實驗。最后，通過MATLAB得出關節角理論變化曲線與仿真實

驗數據的對比圖形，兩者之間存在允許精度范圍內的誤差，證明了旋量理論建立的雅可比矩陣速度模型的簡便性和可行性，也為日后的弓形五連桿機器人動力學研究提供了一種高效的研究方法。

參考文獻：

[1]馬如蛟. 開鏈弓形五連桿尺蠖周期步長分析與仿真[D].武漢：武漢紡織大學， 2021.

[2]姚文岳. 基于旋量理論的五自由度串聯機械臂運動分析與控制研究[D]. 黑龍江：哈爾濱工程大學， 2021.

[3]王喜文. 工業機器人2.0[M]. 北京： 機械工業出版社， 2015.

[4]鄭雪楷， 劉放， 楊言， 等. 基于旋量理論6自由度雙臂作業系統正運動學與工作空間分析[J].機械傳動，2023，47（2）：93-100.

[5]馮新紅. 基于旋量理論的冗余機械臂運動學奇異性求解和仿真分析[J].機械傳動，2020，44（9）：122-127.

[6]魏武， 李艷杰， 廖志鵬， 等. 基于旋量理論的蛇形機器人運動學建模[J]. 華南理工大學學報（自然科學版）， 2019， 47（2）： 1-8.

[7]高云凱， 常夢杰， 段月星， 等. 基于ADAMS仿真的滑移門關門能量分析與預測[J]. 汽車技術， 2022（12）： 47-53.

[8]田波， 王堯堯， 朱康武，等. 繩驅動機械臂動力學建模及ADAMS仿真研究[J]. 機電工程， 2019， 36（8）： 803-808.

[9]郭忠峰， 陳少鵬， 毛柳偉， 等. 主動變徑管道機器人結構設計及其ADAMS仿真研究[J]. 機床與液壓， 2019， 47（15）： 21-23、48.

Kinematics Modeling of Bow-shaped Five-link Robot Based on Screw Theory

YU Lianqing， LIU Xing

（School of Mechanical Engineering and Automation， Wuhan Textile University， Wuhan Hubei 430200， China）

Abstract： The traditional D-H parameter method adopts the method of establishing a local coordinate system， and there is a problem of increasing roots when solving the inverse solution in the process of kinematics modeling. Therefore， this paper establishes the kinematics mathematical model of the arched five-bar linkage by the screw theory method， compares the kinematics model of the end effector established by the D-H parameter method， proves the equivalence between the two methods， and establishes the speed model of the arched five-bar linkage robot based on the screw theory. ADAMS software is used to simulate the motion of the arched five-link robot. The angular velocity curve is compared with the MATLAB theoretical curve. The results show the correctness and effectiveness of the screw theory modeling method.

Key words： five-bow-shaped-bar；screw theory；velocity model

（責任編輯：周莉）