數形結合思想在反比例函數解題中的應用

摘要：數形結合是非常重要的數學思想之一，描述了“數”與“形”兩個重要對象的密切聯系.初中階段，用數形結合思想解答的習題情境也是常考常新.反比例函數是初中數學非常重要的函數類型，相關題型靈活多變.數形結合思想可給反比例函數習題的解答帶來良好指引，從而提高解題效率.為深化學生對數形結合思想的進一步認識，幫助學生積累相關的運用技巧，提高運用數形結合思想的意識與能力，本文中展示了數形結合思想在不同反比例函數習題中的具體應用.

關鍵詞：數形結合思想；反比例函數；解題；應用

實踐表明，利用數形結合思想解答反比例函數習題可使學生透過現象看本質，避免在解題中走彎路.因此，在反比例函數解題教學中，應將數學思想尤其數形結合思想納入教學的重點，并有效穿插至數學知識的傳授中.同時，明確運用數形結合思想解答反比例函數習題的相關細節，尤其需要注意的是，運用數形結合思想解題的關鍵在于合理構造圖形，靈活應用所構造圖形、反比例函數圖象的相關性質，厘清坐標與線段、線段與角度之間的邏輯關系，通過謹慎的計算得出結果.

1 解答反比例函數與直線問題

例1" 已知一次函數圖象y=x+5和反比例函數y=kx其中一個分支的圖象，如圖1所示，若點A（a，1），B（-2，b）均在函數y=x+5圖象上，則k的可能值為（" ）.

A.-6

B.-5

C.5

D.6

解：由A（a，1），B（-2，b）均在函數y=x+5的圖象上，得a+5=1，-2+5=b，解得a=-4，b=3，則A（-4，1），B（-2，3）.

觀察圖1，可知點A在反比例函數圖象的下方，點B在反比例函數圖象的上方.通過分析A，B兩點的坐標和反比例函數圖象的數、形關系，可構造出不等式組k-4gt;1，k-2lt;3，解得-6lt;klt;-4.

故選答案：B.

點評：該題能很好地考查學生的抽象能力，增強學生運用數形結合思想解題的意識.解題時需根據函數圖象經過的已知點求出A，B兩點的具體坐標.通過觀察函數圖象，合理抽象出“數”與“形”的關系，構造出對應不等式，計算得出結果［1］.

2 解答反比例函數與三角形問題

例2" 如圖2，點A，B分別在反比例函數y=k1x（xgt;0），y=k2x（xlt;0）圖象上，∠AOB=90°，sin∠BAO=33，則k2k1的值為.

解：由∠AOB=90°，sin∠BAO=33.得OBAB=33.

設OB=3a，則AB=3a.由勾股定理，可得OA=AB2-OB2=6a，則OBOA=3a6a=22.

過點A，B分別向x軸作垂線，垂足分別為E，F，如圖3.

于是∠BFO=∠AEO=∠AOB=90°，

∠FBO+∠BOF=90°，

∠AOE+∠BOF=90°.

所以∠FBO=∠AOE.

因此，△BFO∽△OEA，則有

S△BFOS△OEA=（OB）2（OA）2=12.

觀察圖3，積極聯系反比例函數中的k值和對應三角形之間的關系，不難得出S△BFO=-12k2，S△OEA=12k1，則-k2k1=12，即k2k1=-12.

故填答案：-12.

點評：該題考查的知識點較多，難度中等.破題的關鍵在于構造出直角三角形，借助數形結合思想，明確對應角度的相等關系，以證明三角形相似.利用三角形相似時面積與線段的關系，構建已知與未知參數之間的關系.同時，從圖形視角分析反比例函數中的k值和對應三角形面積的內在聯系，構建“數”與“形”之間的內在邏輯關系，便可達到順利解題的目的［2］.

3 解答反比例函數與圓相關的問題

例3" 如圖4所示，反比例函數y=kx（xgt;0）的圖象和直線AB交于A，B（3，1）兩點，直線OC⊥AB，且AC=BC.過點C作x軸的垂線于點D.若在直線OC上有一點P（m，n），滿足∠APB=∠ADB，則m+n的值為.

解：如圖5，作△ABD的外接圓J，和OC交于點P，連接AP，PB.由圓的性質，可得∠APB=∠ADB.

由反比例函數y=kx（xgt;0）圖象過點B（3，1），解得反比例函數的表達式為y=3x（xgt;0）.

由OC⊥AB，且AC=BC，可得直線OC垂直平分線段AB.

由反比例函數圖象的對稱性可知，直線OC的表達式為y=x，易得A（1，3），C（2，2）.

由CD垂直于x軸，可知D（2，0）.

又AD2=（1-2）2+（3-0）2=10，AB2=（3-1）2+（1-3）2=8，BD2=（3-2）2+（1-0）2=2，所以AB2+BD2=AD2.

所以△ABD為直角三角形，且∠ABD=90°.

因此，J為AD的中點，則有J32，32，PJ=12AD=102.

又可得OJ=32-02+32-02=322，所以OP=OJ-PJ=32-102.

所以m=n=22OP=3-52.

所以m+n=3-5，此時P3-52，3-52.

由圖形的對稱性可知，點P關于點C的對稱點P′5+52，5+52，此時m+n=5+5.

綜上，m+n的值為3-5或5+5.

點評：該題綜合性較強，難度較大，考查的知識有反比例函數、等腰三角形、圓、勾股定理的逆定理以及分類討論等數學思想方法.解答該題不僅需熟練應用所學知識，更要在數形結合思想的指引下，結合對題干條件的深入分析構造正確的圖形，畫出輔助線.其中，充分挖掘隱含條件畫出對應的“圓”，更好地揭示圖形中角度、參數關系是有效破題的關鍵.需要注意的是，運用數形結合思想解題時，考慮應全面，避免遺漏滿足題設條件的情境［3］.

4 總結

以數形結合思想為指引解答反比例函數習題可達到事半功倍的效果.為提高運用數形結合思想解答反比例函數的意識與能力，教學時應展示數形結合在解題中的常見形式，包括根據題干中給出的“數”“角度”等畫出對應圖形、圖象，實現“數”與“形”的轉化.將給出的圖象、圖形放置在坐標系中，借助坐標將“形”轉化為“數”.與此同時，結合重點習題講解、專題訓練等多種授課活動，使學生親身感受數形結合思想在解題中的應用過程，體會數形結合思想的重要價值，積累更多的應用技巧，使學生解答反比例函數習題的能力和水平均能得到很好的提升.

參考文獻：

［1］車思楊.數形結合解決一次函數與反比例函數綜合題［J］.中學生數學，2020（4）：43.46.

［2］吳先名.把握問題本質 數形結合化解——以解一次函數與反比例函數綜合題為例［J］.中學教學參考，2018（8）：32.33.

［3］劉志峰.初中數學教學中數形結合思想的運用分析——以反比例函數為例［J］.課程教育研究，2017（46）：150.