巧用隱圓解答初中數(shù)學(xué)最值問題

摘要：最值問題是初中數(shù)學(xué)常見且常考常新的問題之一.巧用隱圓是解答初中數(shù)學(xué)最值問題的有效方法.本文中介紹了動點定長、直角圓周角、定弦定角、四點共圓四種隱圓情境，結(jié)合具體例題展示四種隱圓情境在最值問題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；隱圓；最值問題

隱圓是指題目中并未直接給出圓的圖形，需根據(jù)對題設(shè)條件的判斷畫出的圓［1］.運用隱圓解答初中數(shù)學(xué)最值問題的關(guān)鍵在于熟悉隱圓的常見情境，正確迅速找到并畫出隱圓，注重圓性質(zhì)的活用以及最值問題的轉(zhuǎn)化.

1 隱圓應(yīng)用情境分析

初中數(shù)學(xué)最值問題情境多樣，涉及的隱圓情境主要有動點定長、直角圓周角、定弦定角、四點共圓四種［2］.構(gòu)建四種隱圓情境模型，可給初中數(shù)學(xué)最值問題的高效解決帶來明確指引.動點定長情境源于圓的概念，情境中的動點到已知點（圓心）的距離（半徑）保持不變.直角圓周角情境中固定線段所對的動角為直角（90°），直角頂點的軌跡是一個圓.定弦定角情境中線段長度不變，線段外一點與線段兩端點連線構(gòu)成的夾角不變，該點的軌跡是一個圓［3］.四點共圓分為兩類：對角互補的四邊形四個頂點共圓；

固定線段所對同側(cè)兩個動角相等，線段兩端點和兩個動角頂點共圓，如圖1所示，

∠C=∠P，則A，B，C，P四點共圓.

2 隱圓在解題中的應(yīng)用案例

例1" 如圖2，等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D為BC的中點，E是AB上一動點.點B關(guān)于DE的對稱點B′在△ABC內(nèi)（不在△ABC的邊上），則BE的最小值為.

解：由題中條件可得BD=DC，AD⊥BC.

因為點B和B′關(guān)于DE對稱，連接DB′，所以DB=DC=DB′=12BC=3，則點B′的軌跡是以D為圓心，DC為半徑的圓弧，如圖3所示.

由圖3可知，當(dāng)BE最小時，B′在AB上，DE⊥AB.

在直角三角形ABD中，由勾股定理，易得AD=AB2-BD2=52-32=4.由面積相等，可得DE=AD·BDAB=4×35=125.

在直角三角形BED中，由勾股定理，可得到BE=BD2-DE2=32-1252=95.

思路解讀：由點關(guān)于直線對稱以及中點知識判斷此題屬于隱圓中動點定長情境.根據(jù)題意畫出隱圓，找到點B′的特殊位置，多次使用勾股定理求得結(jié)果.

例2" 如圖4所示，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ACB=90°，∠DAB=60°，AD=CD=4，在其內(nèi)部有一動點M，滿足AM⊥DM，則△MBC面積的最小值為.

解：由四邊形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，可得∠ADC=120°.

由AD=CD=4，可得∠DCA=∠CAB=30°.

在△ACB中，由∠ACB=90°，得∠B=90°-∠CAB=60°，所以梯形ABCD為等腰梯形.

如圖5，取AD的中點O，連接OM.過點M，O分別向BC的延長線作垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，OF與DC交于點G，則ME∥OF.

由AM⊥DM，得∠AMD=90°，則點M在以O(shè)為圓心，AD為直徑的圓弧上，易得OM=12AD=2.

由∠B=60°，得∠FCG=60°，∠DGO=∠FGC=90°-∠FCG=30°，于是△DOG為等腰三角形，則AD=BC=4，DO=DG=2，所以

OF=OG+GF=2DGcos 30°+GCcos 30°=33.點M運動過程中，當(dāng)O，M，E三點共線時，ME最短，此時ME=OF-OM==33-2.

所以，△MBC面積的最小值為

12×4×（33-2）=63-4.

思路解讀：由題目中AM⊥DM這一關(guān)系，取AD的中點O，易知此題為隱圓中的直角圓周角情境.結(jié)合梯形的性質(zhì)，求出BC的長.作出輔助線，借助平行線以及ME，OF，OM的關(guān)系求出BC邊上的高，問題便迎刃而解.

例3" 如圖6，△ABC中∠ACB=60°，AC=6，BC=83，過點A作BC的平行線l，P為直線l上一動點，圓O為△APC的外接圓，直線BP和圓O交于點E，則AE的最小值為.

解：如圖7，連接EC，由AP∥BC，可得∠ACB=∠PAC=∠PEC=60°，則∠BEC=120°.

由定弦定角可得，點E的軌跡是以BC為弦的圓，設(shè)圓心為M，連接MB，MC，作MN⊥BC于點N，易得∠BMC=120°，BN=NC=12BC=43.

由MB=MC，可得∠NMC=60°，∠NCM=30°，則MC=NCcos 30°=8.

由∠ACB=60°，得∠ACM=90°.

連接AM與圓M交于點E′，則AE的最小值為AE′，ME′=MC=8.

在Rt△ACM中，由勾股定理，可得

AM=MC2+AC2=82+62=10.

所以AE′=AM-ME′=10-8=2.

故AE的最小值為2.

思路解讀：由已知條件中的角度關(guān)系間接求出∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角確定點E的軌跡為圓.運用圓的性質(zhì)確定點E的位置，進(jìn)一步推理得出△AMC為直角三角形，進(jìn)而運用勾股定理求得最終結(jié)果.

例4" 如圖8，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∠A=∠CPB，過點C

作CQ⊥PC交PB的延長線于點Q，則CQ的最大值為.

解：由PC⊥CQ，得∠PCQ=90°.

由∠ACB=90°，∠A=∠CPB，可得△ABC∽△PQC，則BCAC=QCPC=34，于是CQ=34PC.

CQ的值最大意味著PC的值最大.

易知A，C，B，P四點共圓，PC的最大值為圓的直徑.

又由∠ACB=90°，可得AB為圓的直徑.

由勾股定理，可得AB=32+42=5.

所以PC的最大值為5.

故CQ的最大值為34×5=154.

思路解讀：由已知條件中∠A=∠CPB推理出A，B，C，P四點共圓且點P是運動的.根據(jù)圖形中的角邊關(guān)系通過△ABC∽△PQC，構(gòu)建CQ和PC的關(guān)系，結(jié)合直徑是圓中最長的弦，求出CQ的最大值.

3 結(jié)語

利用隱圓解答初中數(shù)學(xué)最值問題，無外乎上文中介紹的四種情境.吃透這四種情境，掌握四種情境中點、線、角等的特點，分析四種情境適宜解決的不同問題類型，配合經(jīng)典例題的訓(xùn)練以及解題思路的梳理，牢固掌握應(yīng)用思路與細(xì)節(jié)，可促進(jìn)學(xué)生解題能力的有效提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］孫心怡.淺析如何利用“隱圓”求解線段最值問題［J］.數(shù)理天地（初中版），2022（22）：25.26.

［2］羅成忠.初中數(shù)學(xué)“隱圓”助力解題的探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（10）：128.129.

［3］李佳新.初中幾何中巧用“隱圓”解決線段長度最小值問題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（18）：40.41，24.