你遇到過這“尷尬”的一幕嗎？

在講解反比例函數習題的過程中，筆者曾兩次遇到“尷尬”的一幕，課堂上有學生表示：“老師，您的方法太煩了，我有簡便方法.”雖然我硬著頭皮講完，但學生之后展示的方法確實比我的簡單，作為教師的我都有點汗顏.在之后的章節測試中，筆者發現大多數學生雖然在課堂上對那位同學的方法贊嘆不已，但最終還是運用了老師講的方法解決問題.這一經歷促使筆者深入思考“通性通法”與“特解巧法”的關系.

1 第一次教學經歷

如圖1，一次函數y=2x+6與反比例函數y=kx的圖象交于A，B兩點，與x軸交于點C，A′是點A關于x軸的對稱點，連接A′B，A′C，若△A′BC的面積為4，則k的值為.

大部分學生都會通過聯立方程，求出A，B的坐標，思維障礙在于怎樣用所設的字母表示三角形的邊，因此，筆者順著學生的思維，重點落腳解決障礙，給出通常的解法.

解法1：如圖2，連接AA′.聯立y=2x+6，y=kx，整理得2x2+6x-k=0.

設Aa，ka，Bb，kb，由韋達定理，得a+b=-3，ab=-k2.

對于y=2x+6，令y=0，得x=-3，則C（-3，0）.

令x=a，得y=ka.因此AA′=2ka.

在△ABA′中，AA′邊上的高為a-b，所以S△A′AB=12·2ka·（a-b）；

在△ACA′中，AA′邊上的高為a+3，所以S△A′AC=12·2ka·（a+3）.

故S△A′BC=S△A′AC-S△A′AB=ka（3+b）=4.

把ka=2a+6代入，得（2a+6）（3+b）=

6（a+b）+2ab+18=-k=4，故k=-4.

本來學生順著老師的思路，找到了解題的路徑，感覺頗有收獲，但此時一位學生給出了他的方法，打破了這一氛圍.

解法2：如圖3，連接AA′，交x軸于點H，記一次函數y=2x+6的圖象與y軸的交點為E，連接EH，AO，A′E.

由反比例的性質，可得BC=AE，則S△A′BC=S△A′AE=4.

由點A，A′關于x軸對稱，得

S△A′AE=2S△HAE.

由AA′平行于y軸，得

S△HAE=S△HAO=12|k|=2.結合k＜0，解得k=-4.

顯然學生的解法更加簡單，其他同學都向他投去欽佩的目光，而對老師的“笨”辦法則頗為不屑.

課后反思：本題的關鍵是表示△A′BC的面積，筆者講解的方法是設反比例函數圖象上點A，B的坐標，用點A，B，C的橫坐標表示出三角形的高，用點A的縱坐標表示三角形的底，再利用面積公式求出三角形面積，進而結合題意建立等量關系，利用函數與方程的知識求出k的值.

學生的解法首先立足模型“如圖4，任意的直線與反比例函數圖象相交，都有BC=AE”，再運用“同（等）底等高的兩個三角形面積相等”的性質來解題，最后利用k的幾何意義求值.這里用到了轉化的思想.

2 第二次教學經歷

如圖5，四邊形ABCD的頂點B，D在反比例函數y=k1x（k1＞0）的圖象上，A，C兩點在反比例函數y=k2x（k2＜0）的圖象上，AD與BC都平行于x軸

，AD＝2BC，S△BCD=6，則k1-k2的值為.

學生會設反比例函數圖象上點的坐標，但是不會用所設的點表示其他的點，因此筆者講解了如下的方法.

解法1：如圖6，過點D作DE⊥BC交BC于點E，設點B的坐標為a，k1a，點A的坐標為b，k2b.

因為AD與BC都平行于x軸，所以點D的坐標為bk1k2，k2b，點C的坐標為ak2k1，k1a.

因此DA=bk1k2-b，CB=ak2k1-a.又AD＝2BC，所以bk1k2-b=2ak2k1-a，

整理得b=-2ak2k1，則DE=k2b-k1a=-3k12a.

因此S△BCD=12BC·DE

=12ak2k1-a-3k12a=34（k1-k2）=6，

解得k1-k2=8.故填答案：8.

某學生給出的方法如下：

解法2：如圖7，連接AO，DO，BO，CO.設AD與y軸交于點H，BC與y軸交于點G，則

S△AOD=S△AOH+S△HOD=k12-k22，

S△BOC=S△COG+S△BOG=k12-k22.

所以S△AOD=S△BOC=k12-k22.又

AD=2BC，所以

OH=12OG，則S△AOD=13S△ABD.

由AD＝2BC，得S△BCD=12S△ABD=6，所以S△ABD=12，于是S△AOD=4.

因此k12-k22=4，解得k1-k2=8.

課后反思：筆者講解的方法是典型的坐標法，用坐標表示三角形的底和高，再利用面積公式列出方程.坐標法是解決反比例函數問題的通用方法，所設坐標的點要有利于表示其他有用的點的坐標.在設點的坐標時，可以設橫坐標，也可以設縱坐標，可以同時設出橫、縱坐標，利用坐標表示線段的長，找到恰當的等量關系建立關于面積的方程.

學生的解法首先立足模型“如圖8，兩支不同的雙曲線y=k1x（k1gt;0，xgt;0），y=k2x（k2lt;0，xlt;0）構成的三角形面積為S△OAB=k1-k22”，再根據面積一定的三角形底和高的比例關系求解.解題中，建模是關鍵.

3 關于通性通法與特解巧法的思考

3.1 通性通法是基礎

通性通法是解決問題的普適方法，簡單來說，就是指數學的主要性質與主要思想方法，是延伸性、輻射性較強的數學知識與思想方法.“通”指數學知識與數學方法中最重要、最通用的東西.例如，求反比例函數比例系數k的值，一般有兩種通法：（1）求出圖象上的點的坐標，再運用待定系數法求k值；（2）設特殊點的坐標，進而表示出其他有用的點的坐標，再尋找等量關系建立方程求k值.通性通法易于理解、掌握，但有時過程繁瑣，除嚴謹、仔細的態度外，還需具備一定的運算能力、推理能力、思維能力和綜合能力.

3.2 特解巧法靠積累

特解巧法是指針對某個具體問題的結構特征，觸類旁通地運用所學知識，通過一定的發散性思維和創造性思維而獲得的特殊方法.這種方法適應面比較窄，理解的人覺得非常簡單，不理解的人甚至不得其門而入，它著眼于提升和創新.平時在反比例函數的教學中挖掘并補充的很多知識，比如，圖4、圖8的模型等，利用這些知識點解決問題就是特解巧法，一般比通性通法方便.關鍵在于平時積累，形成知識網絡，并能靈活匹配.

當今數學教學的主導精神是科學化、體系化，通性通法自然被視為解題的首選，但若只要求學生學習通性通法，一定程度會限制他們的創造力和個人表達的空間；而寄希望于向學生灌輸解題技巧，鋌而走險追求需要苛刻的天資才能支撐起來的創造性思維，則有悖可靠性的原則.只有兼顧通解和巧解，學生的數學素養才能得到更好的發展.二者就像雕刻家手中的兩種工具，通解如同鑿子，用于揭示問題的大致輪廓，巧解如同刻刀，在細節的刻畫上更加精確，缺少鑿子和刻刀中任何一個，雕像終究是有缺憾的.