培養初中生函數與方程思想的策略研究

課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度重點課題“初中數學‘理趣相融深度互動’課堂學習策略研究”，課題總序號為B/2021/02/203.

摘要：為了更好地滲透函數與方程思想，教師應認真研究教材，充分挖掘教材中和函數與方程相關的教學內容，通過有目的、有意識的啟發，指導學生自主發現二者的內在聯系，理解函數與方程思想的本質，結合應用與反思讓學生在深刻理解、掌握函數與方程思想的基礎上，將其內化為自己的知識結構，提升數學綜合素養.

關鍵詞：函數與方程思想；教材；本質

函數與方程思想是一種重要的數學思想方法.在初中數學教學中，教師應重視函數與方程思想的滲透，讓學生深刻理解、掌握函數與方程思想，并靈活應用函數與方程思想解決一些實際問題，感悟思想的魅力，提高學生的解題能力及思維品質［1］.那么，在實際教學中應如何滲透呢？筆者結合教學經驗談了幾點拙見，供參考！

1 認真研讀教材，挖掘教學資源

教材是課程的核心資源和權威載體，遠離教材的教學不利于教學目標的達成和學生學習能力的提升.因此，在數學教學中，教師要認真研究教材、立足教材，充分挖掘教學資源，通過合理開發與運用，提高教學有效性.滲透數學思想是課堂教學的重要任務，也是培養學生可持續學習能力的必經之路［2］.為了更好地滲透函數與方程思想，教師應立足教材，選擇和函數與方程相關的內容，充分挖掘二者之間的內在聯系，讓學生形成對函數與方程思想的正確認識和深刻理解.

例如，在學習“二次函數”時，為了能讓學生建立二次函數與一元二次方程的聯系，教師基于對教材內容的分析，明確了可以引導學生通過概念的對比發現二者的內在聯系.教學中，通過師生互動，幫助學生理解并掌握形如“y=ax2+bx+c（a，b，c都是常數，且a≠0）的函數就叫二次函數”.在此基礎上，引導學生回顧一元二次方程的知識，即“一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a，b，c都是常數，且a≠0）”.通過對比分析，引導學生發現“二次函數”與“一元二次方程”的聯結點，讓學生意識到當y=0時，二次函數就變成了一元二次方程，由此可以利用方程的知識來解決函數問題.

在實際教學中，教師應該引導學生去對比、去發現，這樣通過有目的的滲透不僅可以激活學生的思維，而且可以激發學生數學探究的興趣，有利于知識的深化.

脫離數學內容談數學思想的培養是空洞的，也是難以理解的.教師需要充分挖掘教材資源，善于從聯系的角度引導學生將相關內容進行對比，以此通過新知與舊知的有效溝通，逐漸完善個體認知體系，提高學生數學綜合素養.

2 啟發深度思考，培養轉化意識

在函數教學中，教師要有意識地引導學生與方程的內容建立聯系.如，在教學“一次函數”時，引導學生回顧“一元一次方程”的相關知識；在教學“二次函數”時，引導學生回顧“一元二次方程”的相關知識.學生通過深度思考，充分體會函數思想與方程思想相輔相成，這樣既可以達到鞏固已有知識的目的，還可以更好地理解函數與方程思想的本質.同時，通過二者的溝通與轉化，有利于加深對函數與方程思想方法的理解，促進思維能力的發展和解題能力的提升.

例如，在教學“二次函數的圖象和性質”時，為了滲透函數與方程思想方法，教師提出了如下問題：二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）的圖象與x軸交點的坐標與方程ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，且a≠0）的解是什么關系？由此通過啟發性問題，引導學生主動發現二者之間的聯系.在問題的解決過程中，教師應引導學生分類討論，即分為二次函數圖象與x軸有兩個交點、一個交點、沒有交點三種情況.學生在教師的啟發下積極思考，發現當二次函數的圖象與x軸有兩個交點時，此時對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根；當二次函數的圖象與x軸只有一個交點時，此時對應的一元二次方程有兩個相等的實數根；當二次函數的圖象與x軸沒有交點時，此時對應的一元二次方程沒有實數根.這樣，通過有效的啟發，引導學生自主發現蘊含其中的數學規律，奠定了函數與方程思想的基礎.

其實，函數與方程思想的本質就是相互轉化.教學中，教師要善于通過啟發性問題，引導學生將相關的知識建立一一對應的聯系，進而通過深度思考與探究實現函數與方程的靈活轉換，讓學生深刻理解函數與方程思想，培養轉化意識［3］.

3 結合典型案例，增強解題體驗

應用是強化知識、提煉方法、感悟思想的必經之路.教學中，教師需要結合具體案例讓學生體驗函數與方程思想方法的重要應用價值，以此強化學生應用函數與方程思想解題的意識，提高解題能力.函數與方程思想在解題中有著重要的應用，尤其在解決與生活相關的實際問題時，常常需要將具體情境抽象成函數模型或方程模型，然后運用函數與方程的相關知識解決問題.

例如，在初三復習教學中，教師給出了一道這樣的練習：已知方程x2-3x+k=0有兩個實數根，其中一個根大于1，另一個根小于1，求k的取值范圍.分析題設信息不難發現，該方程的兩根是不確定的，若從方程的角度去分析將很難找到解題的突破口.因此，可嘗試從函數的角度出發，結合函數的圖象及性質等相關知識尋找解題的突破口.基于此，不妨先將方程x2-3x+k=0視為對應的函數值為0的二次函數，方程的根即為函數值為零時自變量x的值.結合二次函數的圖象及性質易于發現，該二次函數的圖象為開口向上的拋物線，且與x軸有兩個交點.已知方程的兩個根分別為大于1和小于1的兩個實數，故當x=1時，ylt;0.把x=1代入x2-3x+k=0，解得k=2，由此可以求出klt;2.這樣將方程問題轉化為函數問題，運用函數相關知識即可靈活地解決，充分體現了函數與方程思想的優勢，加深了學生對函數與方程思想的理解.

學以致用是教學的最終追求，是學生思維水平和學習能力的集中表現.在解決函數與方程的問題時，若遇到障礙，應嘗試通過方程與函數的相互轉化來尋找解題的突破口，培養應用函數與方程思想的思維習慣，提高數學應用能力.

4 引導總結回顧，內化認知結構

在傳統教學模式的束縛下，數學教學過度強調機械記憶和盲目套用，這樣表面上學生可以通過模仿和套用來解決問題，但是學生對知識、方法、思想的理解是淺層的，難以實現知識的內化，不利于解決問題能力的提升.對于函數與方程思想方法的理解亦是如此，若學生僅僅是簡單機械地記憶函數與方程思想，不理解其本質，不主動重構，那么，他們又如何將其內化為自己知識結構的一部分呢？因此，在實際教學中，要少一些“機械記憶”，多一些“自主探究”，引導學生對探究過程進行及時總結歸納，重視提煉蘊含其中的思想方法，以此將其內化為自身的思想方法，提高數學素養.

例如，在解答“已知方程x2-3x+k=0有兩個實數根，其中一個根大于1，另一個根小于1，求k的取值范圍”這一問題后，教師不要急于結束該問題的探究，應引導學生對解題過程進行有效的反思，通過思路的梳理和數學思想方法的提煉來升華學生的認知.通過有效反思，學生會發現應用函數與方程的思想可使問題向直觀化、簡單化轉化，使得問題的解決變得更加輕松、愉悅.當然，對于基礎薄弱的學生來講，他們的反思意識和反思能力相對欠缺，教師可以帶領學生一起回顧，以通過教師的啟發和引導，幫助學生理解問題的來龍去脈，認清問題的本質.例如，對于本題的解題過程，教師可以讓學生重新審題，思考“為什么要轉化？”“如何轉化？”“轉化后應用什么知識來求解？”這樣，通過解題過程的反思，不但可以進一步鞏固相關知識與方法，而且可以促進學生數學思想的內化.

總之，函數與方程思想方法的形成是一個循序漸進的過程，需要在日常教學中逐步滲透.教學中，教師需充分挖掘各種教學資源，通過引導學生經歷發現、探索、應用、歸納等過程，幫助學生將函數與方程思想內化為自己知識結構不可分割的一部分，以此提升綜合素養.

參考文獻：

［1］梁代貴.數學思想在初中數學應用題中的滲透［J］.東西南北（教育），2019（2）：204.

［2］翁文建.忽視最基本的方程函數思想，簡單問題弄復雜［J］.中學數學研究，2018（2）：25.27.

［3］夏雪峰.淺析初中數學中滲透函數與方程思想的教學策略［J］.中學課程資源，2017（9）：28.29.