方程與不等式代數綜合推理題的剖析

一元一次方程與一元一次不等式是初中代數最基礎的知識，學生一般對它們的解法都能夠熟練掌握，但將二者結合后，情況就不盡如人意了．下面結合實例，剖析一次方程與不等式綜合的代數推理題的解法．

1 求取值范圍

例1" （1）已知x-y＝4，且x＞3，y＜1，求x＋y的取值范圍．

（2）關于x，y的方程組3x-y=2a-5，x+2y=3a+3的解都是正數，若a-b＝4且b＜2，求a＋b的取值范圍．

解：（1）法一.設x＋y＝a，則x-y=4，x+y=a.

解方程組，得x＝a+42，y＝a-42.

由x＞3，y＜1，得a+42＞3，a-42＜1.

解得2＜a＜6，所以2＜x＋y＜6．

法二：由x-y＝4，得x＝4＋y.

由x＞3，可得4＋y＞3，則

y＞-1.又y＜1，所以-1＜y＜1.

同理，可得3＜x＜5.

所以2＜x＋y＜6．

（2）解方程組3x-y=2a-5，x+2y=3a+3，得x=a-1，y=a+2.

又x＞0，y＞0，，所以a-1＞0，a+2＞0，解得a＞1.

由a-b＝4，a＞1，得a＝b＋4＞1，所以b＞-3.

所以a＋b＞-2.

由a-b＝4，得a＋b＝2b＋（a-b）＝2b＋4，又b＜2，

所以a＋b＜8.

綜上，-2＜a＋b＜8．

點評：第（1）問，“法一”增設變量，建立并解出與x，y有關的方程組，再根據條件中x，y的范圍建立并解出不等式組，進而求出x＋y的范圍；“法二”通過方程變換主元，建立不等式并求出x，y的范圍，再運用不等式的性質求出x＋y的范圍．

第（2）問，先解含參方程組，并根據“方程組的解是正數”建立不等式組，再變換已知等式“a-b＝4”確定b的范圍，并反復運用a，b之間的關系解不等式（組）確定a＋b的上下限，求得結果．

2 新定義求值

例2" 對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為［x］，即當n為非負整數時，若n-12≤x＜n＋12，則［x］＝n.如，［2.9］＝3，［2.4］＝2，……，根據以上材料，解決下列問題.

（1）填空：114＝，［π］＝；

（2）若［4x＋3］＝2，則x的取值范圍是；

（3）求滿足［x］＝43x-2的所有實數x的值．

解：（1）由2.5＜114＜3，3＜π＜3.5，得114＝3，［π］＝3.

（2）因為［4x＋3］＝2，所以32≤4x＋3＜52，解得-38≤x＜-18.

（3）設43x-2＝m，則x＝3m+64，所以可得3m+64＝m，有m-12≤3m+64＜m＋12.

解得4＜m≤8.

又m為非負整數，所以m＝5或6或7或8.

故x＝214或x＝6或x＝274或x＝152．

點評：理解新定義的意義和“四舍五入”的不等式表示方法是解題的關鍵．第（3）問不但要設參數表示43x-2，變換主元，用m表示x，還要根據對閱讀材料中［x］的理解，建立并求出與m有關的不等式（組），得出m的范圍，求得結果．

3 求代數最值

例3" （1）已知2x＋y＝2，x≥0，y≥0，試確定4x＋3y的取值范圍．

（2）若設（1）中的4x＋3y＝m，n＝|m-2|＋|m|，求n的最大值與最小值的差的平方根．

解：（1）由2x＋y＝2，得y＝2-2x.由y≥0，得2-2x≥0，則x≤1．

又x≥0，所以0≤x≤1．

設m＝4x＋3y，則m＝4x＋3（2-2x），可得m＝6-2x.由

0≤x≤1，得4≤m≤6.

所以4x＋3y的范圍是4≤4x＋3y≤6．

（2）由4≤m≤6，得m-2＞0，m＞0.

所以n＝|m-2|＋|m|＝m-2＋m＝2m-2.又4≤m≤6，

所以n的最大值是10，最小值是6．

故n的最大值與最小值的差的平方根是±2．

點評：第（1）問，變換主元，確定x為主元，并根據x≥0，y≥0建立不等式組，求得x的取值范圍；再將待求式轉化為含x的代數式，根據x的范圍，即可解得4x＋3y的范圍．其實，也可參照本文“例1”的“法一”解答，同學們試試看．

第（2）問，先確定絕對值中式子的范圍，再進行絕對值的化簡，最后根據m的范圍求出n的最值，進而求得答案．

4 生活實際問題

例4" （2022·德陽）為發展特色產業，紅旗村花費4 000元采購了A種樹苗500株，B種樹苗400株，已知B種樹苗單價是A種樹苗單價的1.25倍．

（1）求A，B兩種樹苗的單價分別是多少元？

（2）紅旗村決定再購買同樣的樹苗100株用于補充栽種，其中A種樹苗不多于25株，在單價不變，總費用不超過480元的情況下，共有幾種購買方案？哪種方案費用最低？最低費用是多少元？

解：（1）設A種樹苗每株x元，B種樹苗每株y元，則

y=1.25x，500x+400y=4 000，解得x=4，y=5.

答：A種樹苗每株4元，B種樹苗每株5元.

（2）設再購買A種樹苗a株，則購買B種樹苗（100-a）株.記購買兩種樹苗總費用為w元.

由題意，得0≤a≤25，

4a+5（100-a）≤480，

解得20≤a≤25.

又a是整數，所以a取20，21，22，23，24，25.

因此，共有6種購買方案.

方案一：購買A種樹苗20株，B種樹苗80株.

方案二：購買A種樹苗21株，B種樹苗79株.

方案三：購買A種樹苗22株，B種樹苗78株.

方案四：購買A種樹苗23株，B種樹苗77株.

方案五：購買A種樹苗24株，B種樹苗76株.

方案六：購買A種樹苗25株，B種樹苗75株.

因為w＝-a+500，

所以w隨a的增大而減小.當a＝25時，w最小，故第六種方案費用最低，最低費用是475元．

答：共有6種購買方案，費用最省的購買方案是購買A種樹苗25株，B種樹苗75株，最低費用是475元．

點評：本題考查了在實際生活中建立數學模型、運用數學知識的能力與意識．讀懂題意，根據題意建立二元一次方程組、一元一次不等式組及一次函數表達式，并運用它們的性質解決問題．解題的關鍵是找準等量關系，正確列出方程組、不等式組以及函數表達式，熟悉每種類型模型的性質，再進行應用．

5 求整數解

例5" 若關于x，y的方程組x-y=-1，2x+y=m+4的解是非負數，關于t的不等式組t＞m+1，6-2t≥m-4有解，則滿足條件的整數m的和為（" ）．

A.-18

B.-15

C.-3

D.0

解：x-y=-1，2x+y=m+4，

得x＝m+33，y＝m+63.

又x≥0，y≥0，

所以m+33≥0，m+63≥0，則m≥-3.

由t＞m+1，6-2t≥m-4，

得m＋1＜t≤-m2＋5.又此不等式組有解，則m＋1＜-m2＋5，

解得m＜83.

所以-3≤m＜83，則

滿足條件的整數m的值是-3，-2，-1，0，1，2.

又-3-2-1＋0＋1＋2＝-3，故選：C．

點評：求解含參不等式組與含參方程組是初中代數中的典型問題.本題需運用方程組的解為非負數、不等式組有解的條件建立不等式組，并解出不等式組，進行綜合對比，得出符合條件的m值．

一元一次方程與一元一次不等式相結合的代數推理問題，一般有一定的綜合性與層次性．解題時要讀懂題意，用數學符號表述題目的關鍵信息，對題設信息進行分析、轉化，找出題目中不同量的關系，運用定義、公式、運算法則、運算律、（不）等式性質等得到具體的數或代數式的相等（或不等）關系，再進行推理與計算，實現解題目標，并正確表述．