一道復(fù)合型路徑問題的探究

動點(diǎn)的路徑問題是中考的一個(gè)難點(diǎn)，尤其是復(fù)合型路徑問題，即直線型路徑和圓弧型路徑的綜合.破解這類試題的關(guān)鍵就是抓住變化中的不變量，從幾何關(guān)系入手.下面結(jié)合一道經(jīng)典試題來分析復(fù)合型路徑問題的解決方法與思路［1］.

1 試題呈現(xiàn)

如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+74過A（1，0），B（7，0）兩點(diǎn)，且與y軸相交于點(diǎn)D.現(xiàn)以線段AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖2，設(shè)E是線段AC上的動點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動點(diǎn)，AF與BE相交于點(diǎn)P.

①若CE=BF，試猜想AF與BE的數(shù)量關(guān)系及∠APB的度數(shù)，并說明理由;

②若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E由A運(yùn)動到C時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長（不需要寫過程）.

2 思路分析

（1）將點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代人拋物線的解析式，用待定系數(shù)法即可解決.

（2）①由條件可以證明△BEC≌△AFB，由角間的關(guān)系可以得到∠APB=120°.

②情形1：如圖3，當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，滿足條件AF=BE，在整個(gè)運(yùn)動過程中，△ABE≌△BAF，得PA=PB，此時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是AB邊上的高CH.

情形2：如圖4，當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，滿足條件AF=BE.在整個(gè)運(yùn)動過程中，△CBE≌△BAF，∠APB=120°，AB為定長，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是以A，B為端點(diǎn)的一段圓弧（120°）.

情形3：如圖5、圖6，設(shè)M，N分別是BC，AC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)E從A到N到C，點(diǎn)F從B到M到C，滿足條件AF=BE，點(diǎn)P的路徑是線段HG和以B，G為端點(diǎn)的一段圓弧BG（60°）組成的圖形［2］.

情形4：如圖7、圖8，設(shè)M，N分別是BC，AC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)E從A到N到C，當(dāng)點(diǎn)F從C到M到B，滿足條件AF=BE，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是以A，G為端點(diǎn)的一段圓弧AG（60°）和線段CG組成的圖形.

3 解法探究

對于第（1）問，利用待定系法，易求得拋物線的解析式為

y=14x2-2x+74.

下面重點(diǎn)探究第（2）問的解法.

（2）①的結(jié)論：AF=BE，∠APB=120°.

因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以

BC=AB，∠C=∠ABF.在△BEC和△AFB中，BC=AB，∠C=∠ABF，又CE=BF，

所以△BEC≌△AFB，則

AF=BE，∠CBE=∠BAF.

所以∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°.

故∠APB=180°-60°=120°.

（2）②情形1：如圖9所示，當(dāng)AE=BF時(shí)，△ABE≌△BAF，則∠BAF=∠ABE.所以

PA=PB，因此點(diǎn)P在線段AB的中垂線上.

過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是邊AB邊上的高CM.

因?yàn)锳C=6，∠CAM=60°，所以

MC=32AC=33.

故此情形下點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為33.

情形2：如圖10，當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)F從C向B運(yùn)動，在這個(gè)過程中，△ABF≌△BCE，由①知∠APB=120°.因此點(diǎn)P經(jīng)過的路徑是以A，B為端點(diǎn)的一段圓弧，且∠APB=120°，則圓心角∠AMB=120°.

過點(diǎn)M作MG⊥AB，垂足為G.

在Rt△AMG中，∠AMG=60°，MA=AGsin 60°=23.

所以AB的長l=nπr180=120×π×23180=43π3.

故此情形下點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長是43π3.

情形3：如圖11，M，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，當(dāng)E從A到N再到C，點(diǎn)F從B到M再到C時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是線段HG和以B，G為端點(diǎn)的一段圓弧BG組成的圖形.

當(dāng)點(diǎn)E從A到N，點(diǎn)F從B到M時(shí)，有AE=BF，則△ABF≌△BAE，則∠BAF=∠ABE，所以PA=PB.

所以點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即此時(shí)點(diǎn)P的路徑是一條線段GH（H為AB邊的中點(diǎn)，G為等邊三角形ABC的中心）.

當(dāng)點(diǎn)E從N到C，點(diǎn)F從M到B時(shí)，AE=CF，則△ABE≌△CAF，則∠ABE=∠FAC，易得∠APE=60°，即此時(shí)點(diǎn)P的路徑是一段以G，B為端點(diǎn)，半徑為23，圓心角為60°的圓弧（情形2中圓弧的一半）.

故此情形下點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為

l=GH+nπr180=3+60×π×23180=3+23π3.

情形4：如圖12，M，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E從A到N到C，點(diǎn)F從C到M到B時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是以A，G為端點(diǎn)的一段圓弧和線段CG組成的圖形.

當(dāng)點(diǎn)E從A到N，點(diǎn)F從C到M時(shí)，AE=CF，則△ABE≌△CAF，則∠ABE=∠FAC，易得∠APE=60°，此時(shí)點(diǎn)P的路徑是一段以A，G為端點(diǎn)，圓心角為60°，半徑為23的圓弧（情形2中圓弧的另一半）.

當(dāng)點(diǎn)E從N到C，點(diǎn)F從M到B時(shí)，AE=BF，則△ABE≌△BAF，則∠BAF=∠ABE，所以PA=PB，所以點(diǎn)P在AB的垂直平分線上，即此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動路徑為線段GC.

所以此情形下點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為

l=nπr180+GC=60×π×23180+23=23π3+23.

綜上所述，點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長為33或43π3或3+23π3或23+23π3.

4 結(jié)束語

常見的動點(diǎn)路徑有圓弧和直線，解題時(shí)要結(jié)合題目條件和動點(diǎn)的運(yùn)動特征，抓住變化過程中不變的量.當(dāng)動點(diǎn)到定直線的距離不變時(shí)，或動點(diǎn)到定線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等時(shí)，動點(diǎn)的路徑是直線；當(dāng)動點(diǎn)與一定點(diǎn)（可在定直線上或直線外）連線與定直線連接構(gòu)成的角度不變時(shí)，動點(diǎn)的路徑是直線；當(dāng)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變時(shí)，動點(diǎn)的路徑是圓；當(dāng)定長線段所對的角為定值時(shí)，動點(diǎn)的路徑是圓.

利用這些特征準(zhǔn)確確定動點(diǎn)運(yùn)動的路徑類型，然后結(jié)合幾何關(guān)系（相似、全等、垂直平分線、勾股定理等）解題，是破解這類問題的關(guān)鍵［3］.

參考文獻(xiàn)：

［1］沈建新.“直線型路徑問題”解決策略探索［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2023（4）：33.34.

［2］沈占立.探尋路徑" 循跡求解——妙解直線型動態(tài)幾何最值問題［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（7）：27.28.

［3］王祥表.例析平面幾何常見的兩類路徑問題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（Z1）：54.56，92.