運用轉(zhuǎn)化思想解決初中函數(shù)應(yīng)用題

近幾年各地的中考數(shù)學(xué)試題中，出現(xiàn)了一些設(shè)計新穎、貼近生活、反映時代特點的函數(shù)應(yīng)用題.實際問題來源于生活，這些問題的解答要依賴于眾多的數(shù)學(xué)思想和答題技巧.如函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，其中轉(zhuǎn)化思想貫穿解題的始終［1］.具體來說，就是把具體實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，把眾多的變量（未知量）轉(zhuǎn)化成用一個變量（或已知量）來表示，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成一個或多個簡單問題.

1 題型一：利用一次函數(shù)求最值類實際應(yīng)用題

獲取最大利潤問題就是求函數(shù)的最值類問題，解決這類題的實質(zhì)就是建立數(shù)學(xué)模型和求解數(shù)學(xué)模型的思維活動過程.主要運用轉(zhuǎn)化思想，將實際問題和數(shù)學(xué)問題相互轉(zhuǎn)化，使問題得以解決，解題思路如圖1：

例1" （2022年江蘇省蘇州市中考試題第25題）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進(jìn)水果的情況如表1所示：

（1）求甲、乙兩種水果的進(jìn)價；

（2）銷售完前兩次購進(jìn)的水果后，水果店決定第三次購進(jìn)甲、乙兩種水果共200 kg，且投入的資金不超過3 360元．將其中的m kg甲種水果和3m kg乙種水果按進(jìn)價銷售，剩余的甲種水果以17元/kg、乙種水果以30元/kg的價格銷售．若第三次購進(jìn)的200 kg水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數(shù)m的最大值.

解析：（1）設(shè)甲種水果的進(jìn)價為a元/kg，乙種水果的進(jìn)價為b元/kg．

依題意，得60a+40b=1 520，30a+50b=1 360，解得a=12，b=20.

（2）設(shè)水果店第三次購進(jìn)甲種水果x kg，則購進(jìn)乙種水果（200-x）kg.

根據(jù)題意，得12x+20（200-x）≤3 360，

解得x≥80.

設(shè)所得利潤為w元，則w=（17-12）×（x-m）+（30-20）×（200-x-3m）=-5x-35m+2 000.

當(dāng)x=80時，w取得最大值-35m+1 600.

根據(jù)題意，得-35m+1600≥800，

解得m≤1607.

所以正整數(shù)m的最大值為22．

評析：本題主要考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程，寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

2 題型二：二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的實際應(yīng)用題

這類問題綜合性較強，既考查學(xué)生對各種幾何圖形、二次函數(shù)性質(zhì)等的掌握情況，又側(cè)重考查學(xué)生的實際動手操作能力.解決這類問題主要是運用轉(zhuǎn)化思想，因此熟練掌握各種轉(zhuǎn)換技巧顯得十分重要.

例2" （2022年江蘇省揚州市中考試題第27題）

如圖2是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8 dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC=8 dm．現(xiàn)計劃將此余料進(jìn)行切割.

（1）若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；

（2）若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；

（3）若切割成圓，判斷能否切得半徑為3 dm的圓，請說明理由.

解析：易求得二次函數(shù)解析式為y=-12x2+8.

（1）如圖3所示，正方形MNPQ為符合題意的正方形.設(shè)其邊長為2m，

則P（m，2m），將其代入二次函數(shù)解析式，得

-12m2+8=2m，解得m1=25-2，m2=-25-2（舍去）.所以2m=45-4，（2m）2=（45-4）2=96-325.

故正方形的面積為（96-325）dm2.

（2）如圖4所示，矩形DEFG為符合題意的矩形.設(shè)DE=2n，則E（n，0）（0＜n＜4）.

將x=n代入二次函數(shù)解析式，得

y=-12n2+8，則EF=-12n2+8.

所以，矩形DEFG的周長為2（DE+EF）=22n-12n2+8

=-n2+4n+16=-（n-2）2+20.

故當(dāng)n=2時，矩形的周長最大，最大值為20 dm.

（3）如圖5，為了保證盡可能截取圓，應(yīng)保證圓心H坐標(biāo)為（0，3），

則圓心H到拋物線上的點之間的距離為x2+-12x2+8-32=14（x2-8）2+9≥3.

所以，能切得半徑為3 dm的圓．

評析：本題考查了二次函數(shù)與正方形、矩形、圓等幾何圖形相結(jié)合的綜合性問題，突出實踐操作能力.熟練掌握各圖形的性質(zhì)，能靈活運用坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

3 題型三：二次函數(shù)的探索性問題

探索性問題是指根據(jù)已知條件（或給出的結(jié)論），探求相應(yīng)結(jié)論（或條件）是否存在的一類問題.這類問題的解題思路是：假設(shè)存在—分類演繹推理—得出結(jié)論（合理或矛盾）.

例3" （2022年甘肅隴南市中考模擬試題第26題）如圖6，在△ABC中，AC=BC=32，∠C=90°，AB上有一動點P，過點P作PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F.

（1）設(shè)CF=x，用含有x的代數(shù)式把Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面積表示出來；

（2）是否存在這樣的點P，使Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面積都小于4？

解析：（1）△AEP的面積為12x2，△PFB的面積為12（32-x）2，

矩形ECFP的面積為x（32-x）.

（2）設(shè)y1=12x2，y2=x（32-x），y3=12（32-x）2，其中0＜x＜32.

當(dāng)0lt;x≤2時，可知y3=12（32-x）2≥12（32-2）2=4.

當(dāng)2≤x≤22時，y2=x（32-x）=32x-x2

=-322-x2+92≥-322-22+92=4.

當(dāng)22≤xlt;32時，y1=12x2≥12（22）2=4.

所以，當(dāng)0lt;xlt;32時，y1，y2，y3總有一個大于4，因此在AB上不存在點P，使得Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面積都小于4.

評析：本題考查了由給出結(jié)論探究點P的存在性問題.題中滲透了函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、類比等數(shù)學(xué)思想方法.由于圖形（點、線）的位置不同，會使結(jié)論產(chǎn)生多種情況，這時就要分類討論，從面積相等的特殊情形到面積不等的一般情形.

運用轉(zhuǎn)化思想解決與函數(shù)有關(guān)的實際問題，具有“化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡單、化抽象為具體”的巨大優(yōu)越性［2］，能夠幫助我們理清解題思路，快速找到解題的突破口，從而降低題目的難度系數(shù)，引領(lǐng)我們走出解題困境.

參考文獻(xiàn)：

［1］朱正華.運用轉(zhuǎn)化思想解題［J］.數(shù)理化解題研究（初中版），2012（9）：8.9.

［2］宋海明.轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的運用實踐［J］.數(shù)理化解題研究，2022（17）：11.13.