2023年高考物理江蘇卷第10題的分析與拓展

收稿日期：2023-07-27

作者簡介：段石峰（1992-），男，中學二級教師，主要從事高中物理教學研究。

摘" "要：2023年高考物理江蘇卷第10題以達·芬奇手稿中描述的一個實驗為素材，考查軌跡圖形中的相對運動，兼具思想的深度和立意的高度，是一道難得的好題。探討了試題的教材溯源，并對試題進行定性和定量分析，用軟件模擬演示圖形，探究其中有益的啟示，并對試題進行變式拓展。

關鍵詞：運動軌跡；空間圖形；相對運動；模擬演示

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）3-0047-4

１" " 試題分析

１．１" " 試題呈現

達·芬奇的手稿中描述了這樣一個實驗：一個罐子在空中沿水平直線向右做勻加速運動，沿途連續漏出沙子。若不計空氣阻力，則圖１中能反映空中沙子排列的幾何圖形是（" " " ）

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Ａ" " " " " " " " "Ｂ" " " " " " " "Ｃ" " " " " " " "Ｄ

圖1" 漏沙空中排列圖示

參考答案：Ｄ

１．２" " 教材溯源

人教版課程標準實驗教材必修１在“參考系”這一部分，為了說明選擇不同的參考系來觀察同一個物體的運動，其結果會有所不同，特地舉了一個例子，并配了一幅插圖。如圖２所示，在沿直線勻速飛行的飛機上，人們以飛機做參考系，看到從飛機上落下的重物幾乎是沿直線豎直下落的，而地面上的人以地面做參考系，看到物體是沿著曲線下落的［１］。

這是典型的“飛機投彈”模型，但這道高考題考查的角度與教材中說明的問題不同。教材中描述的是物體的運動軌跡，即一個物體在不同時刻所處位置的連線，相當于錄制的一段“錄像”，這與參考系的選擇有關。而這道高考題考查的是物體在空中排列的幾何圖形，即多個物體在同一時刻所處位置的集合，相當于拍攝的一張“照片”，這與參考系的選擇無關。

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圖2" "選擇不同的參考系觀察到的現象不同

１．３" " 定性分析

罐子的加速度水平向右，以罐子為參考系，漏出的每粒沙子的初速度都為零，但有豎直向下的重力加速度和水平向左的加速度，因此相對加速度斜向左下方且為定值，所以每粒沙子都相對于罐子做初速度為零的勻加速直線運動，而所有沙子在任意時刻排列的形狀與參考系的選擇無關。由此可見，沙子在空中的排列形狀取決于罐子的加速度，而不是罐子的速度。

１．４" " 定量分析

方法一：分析任意一粒沙子與罐子的連線。

如圖３所示，以任意一粒沙子剛漏出時的位置為原點Ｏ建立固定于地面的坐標系ｘＯｙ，設此時罐子和沙子的速度為ｖ０，罐子沿水平方向運動的加速度為ａ，沙子漏出后做平拋運動。

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圖3" 任意一粒沙子與罐子的連線

經過時間ｔ，罐子Ｐ和沙子Ｑ的位置坐標分別為

xP=v0t+■at2，yP=0

xQ=v0t，yQ=-■gt2

由此可得ＰＱ連線的斜率k=■=■為定值，與時間ｔ無關，即任意一粒沙子在任意時刻與罐子連線的斜率都相同，所以空中沙子排列的幾何圖形是一條斜向右上方的直線。

進一步，由罐子和沙子的位置坐標可求得ＰＱ的距離為

PQ=■=■■t2

由此可知，沙子相對于罐子做初速度為零的勻加速直線運動，水平方向和豎直方向加速度的分量分別為ａ和ｇ，合加速度大小為a'=■，方向與水平方向的夾角為θ，滿足tanθ=■。

方法二：分析任意兩粒沙子之間的連線。

如圖4所示，以任意一粒沙子剛漏出時的位置為原點Ｏ建立固定于地面的坐標系ｘＯｙ，設此時罐子和沙子的速度為ｖ０，間隔時間Δｔ漏出的沙子，罐子和此時剛漏出的沙子的速度為ｖ０＋ａΔｔ。

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圖4" 任意兩粒沙子之間的連線

經過時間t，兩粒沙子Q1和Q2的位置坐標分別為

x1=v0t，y1=-■gt2

x2=v0Δｔ+■aΔt2+（v0+aΔt）（t-Δt）

y2=-■g（t-Δt）2

由此可得Q1Q2連線的斜率為定值k=■=■，與時間t和Δt無關，即任意兩粒沙子在任意時刻的連線的斜率都相同，所以空中沙子排列的幾何圖形是一條斜向右上方的直線。

進一步，再間隔時間Δt漏出沙子Q3的位置坐標為

x3=v0·2Δｔ+■a（2Δt）2+（v0+a·2Δt）（t-2Δt）

y3=-■g（t-2Δt）2

可得Q1Q2的水平距離和豎直距離分別為

s1=x2-x1=atΔt-■aΔt2

h1=y2-y1=gtΔt-■gΔt2

Q2Q3的水平距離和豎直距離分別為

s2=x3-x2=atΔt-■aΔt2

h2=y3-y2=gtΔt-■gΔt2

所以，在兩段相等時間Δt內，水平距離之差和豎直距離之差分別為

Δs=s2-s1=aΔt2

Δh=h2-h1=gΔt2

由此可知，沙子相對于罐子在水平方向和豎直方向都做勻加速直線運動，加速度分量分別為a和g，合加速度大小為a'=■，方向與水平方向的夾角為θ，滿足tanθ=■。

方法三：分析任意兩粒沙子的相對運動。

如圖5所示，以第一粒沙子剛漏出時的位置為原點O建立固定于地面的坐標系xOy，設此時罐子和沙子的速度為v0，間隔時間Δt漏出的沙子，罐子和沙子的速度為v0＋aΔt。

經過時間t，兩粒沙子Q1和Q2的水平速度和豎直速度分別為

v1x=v0，v1y=gt

v2x=v0+aΔt，v2y=g（t-Δt）

兩粒沙子Q1和Q2的水平相對速度和豎直相對速度分別為

Δvx=v2x-v1x=aΔt

Δvy=v2y-v1y=-gΔt

由于Δvx和Δvy都為定值，與時間t無關，而Δt可以取任意值，表明任意兩粒沙子相對做勻速直線運動?；蛘哒f，若以第一粒沙子為參考系，則后續所有的沙子都做勻速直線運動，水平分速度向右，豎直分速度向上，合速度斜向右上方。雖然漏出的所有沙子都在做平拋運動，但任意時刻所有沙子在空中的位置組成一條斜向上方的直線，并且這條直線在平行移動。

進一步，可以作出第一粒沙子的速度矢量圖示，以及后續所有沙子漏出時相對于第一粒沙子的相對速度，如圖5所示。從速度矢量圖可以看出，任意兩粒沙子的相對速度方向不變。

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圖5" 第一粒沙子的速度矢量圖示

1.5" " 模擬演示

利用幾何畫板軟件可以模擬演示圖形，設罐子的初速度v0＝5 m/s，加速度a＝5 m/s2，重力加速度g＝10 m/s2。如圖6所示，空中沙子排列的幾何圖形是一條斜向右上方的直線。

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圖6" 幾何畫板模擬演示空間軌跡圖形

1.6" " 試題啟示

由以上分析可知，漏出的每粒沙子運動軌跡與參考系的選擇有關，相對于地面都做平拋運動，軌跡的形狀為拋物線（曲線）。而漏出的所有沙子在空中排列的形狀卻是直線，而且與參考系的選擇無關，這是為什么呢？

仔細分析發現，漏出的所有沙子在同一參考系中的運動形式是由完全相同的力學方式決定的，它們之間構成了空間關系，由于動力學原理是相同的，所以這個空間關系在另一個參考系中也是有效的。換句話說，如果一粒沙子在不同參考系中有不同的運動軌跡，而所有沙子都遵循相同的軌跡變換，可以想象所有沙子在同一時刻做同一變換，那么所有沙子的構型的每一個相應的點在同一時刻做了整體變換，它們的相對位置在整體的關系上并沒有改變。

2" " 試題拓展

變式1：一架飛機在高空中由西向東沿水平方向做勻速直線運動，飛機每隔相同時間自由釋放一個物體，共連續釋放了6個物體（不計空氣阻力）。圖7是從地面某時刻觀察到的6個空投物體的圖像，其中正確的是（" " "）

■" " " "■

A" " " " " nbsp; " " " " " " " " B

■" " " "■

C" " " " " " " " " " " " " " "D

圖7" 空投物體空間分布圖

參考答案：D

解析 飛機做勻速直線運動，每隔相同時間自由釋放一個物體，物體在空中做平拋運動，水平方向與飛機有相同的速度，則釋放后的物體落地前總在飛機的正下方；物體在豎直方向做自由落體運動，相等時間內的位移逐漸增大。所以，從地面觀察到的6個物體的圖像應在同一條豎直線上，且從上至下物體的間隔逐漸增大。本題定性分析即可，無須進行定量分析。

變式2：一架飛機在高空中由西向東沿水平方向做勻加速直線運動，飛機每隔相同時間自由釋放一個物體，共連續釋放了6個物體（不計空氣阻力）。圖8是從地面某時刻觀察到的6個空投物體的圖像，其中正確的是（" " " "）

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A" " " " " " " " " " " " " " " " " "B

■" " " " ■

C" " " " " " " " " " " " " " " " " " D

圖8" 空投物體空間分布圖

參考答案：A

解析 飛機每隔相同時間自由釋放一個物體，物體在豎直方向做自由落體運動，從上至下物體之間的豎直距離逐漸增大；飛機做勻加速直線運動，物體釋放時的速度逐漸增大，釋放后在水平方向做勻速直線運動，從上至下物體之間的水平距離也逐漸增大。所以，從地面觀察到的6個物體的圖像應在同一條斜向右上方的直線上，且從上至下物體的間隔逐漸增大。本題與前文所述高考題如出一轍，同樣可以采用三種方法嚴格地定量分析，此處不再贅述。

3" " 結束語

達·芬奇不僅是一位藝術家，還是一位科學巨匠。他開創使用觀察、實驗和推理的方式認識自然界，拋棄了宗教的偏見和迷信。由于他的重要思想大多數在生前都沒有公之于眾，導致人們只能根據他留下來的部分手稿，追蹤這位舉世罕見的“全能天才”［２］。江蘇卷的這道高考題取材于達·芬奇的手稿，雖然只是對沙子漏出罐子后運動的描述和記錄，但表明了他對探求事物真相的執著和敏銳的洞察力。他所崇尚的觀察和實驗的精神有助于科學的發展，成為伽利略創立近代科學的思想基礎［３］。試題的背景素材、問題的價值取向，在落實物理核心素養方面具有積極的導向作用，有利于保持和培養學生的好奇心和求知欲，養成嚴謹的科學態度與責任。

參考文獻：

［１］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發中心．普通高中課程標準實驗教科書物理必修１［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１０：１０．

［２］謝恩東．達·芬奇的物理生涯［Ｊ］．中學物理教學參考，２０１０，３９（４）：３９－４０．

［３］吳國盛．科學的歷程（第二版）［Ｍ］．北京：北京大學出版社，２００２：１７３－１７５．

（欄目編輯" " 陳" 潔）