利用殼層定理求解地球隧道問(wèn)題

收稿日期：2023-10-13

基金項(xiàng)目：教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目“物理學(xué)前沿問(wèn)題在《光電子技術(shù)》課程教學(xué)中的滲透與實(shí)踐”；重慶市研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“理工類學(xué)術(shù)研究生的多學(xué)科交叉融合課程體系探索”（ ｙｊｇ２２３０３５）。

作者簡(jiǎn)介：崔勝喆（２００３－），男，本科生，主要從事物理學(xué)科教學(xué)研究。

*通信作者：朱建慧（1987-），女，副教授，主要從事凝聚態(tài)物理和物理學(xué)科教學(xué)研究。

摘" "要：地球隧道問(wèn)題是物理教學(xué)、科幻作品和科普教育中常見(jiàn)的物理模型。文章從學(xué)生熟悉的高中幾何證明思路入手，提出了基于殼層定理的地球隧道問(wèn)題求解方法。該方法思路簡(jiǎn)單，理解難度較低，可避免學(xué)生在未理解高斯定理內(nèi)涵的情況下強(qiáng)行利用高斯定理證明地球隧道問(wèn)題的迷茫。

關(guān)鍵詞：地球隧道；殼層定理；高斯定理；類比思想

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A " " 文章編號(hào)：1003-6148（2024）3-0073-4

凡爾納的著名科幻作品《地心游記》設(shè)想了一條通過(guò)地心、貫穿地球兩端的假想隧道。人們可以通過(guò)該隧道直通地球兩端，并在沿途欣賞地心的奇幻美景。科幻大片《全面回憶》“實(shí)現(xiàn)”了凡爾納的夢(mèng)想：一條穿越地心的“墜道”直接連通北半球的英國(guó)和南半球的澳大利亞，生活在澳洲的人們可乘坐“地鐵”穿越地心，經(jīng)４０分鐘抵達(dá)英國(guó)。而現(xiàn)實(shí)生活中，澳大利亞悉尼至英國(guó)倫敦的直飛航線全程飛行時(shí)間超過(guò)二十個(gè)小時(shí)，相比枯燥又漫長(zhǎng)的空中飛行，穿越地心之旅大大縮短了行程時(shí)間，也給人類帶來(lái)了更奇妙的觀感和體驗(yàn)。科幻作品中的暢想往往都有現(xiàn)實(shí)依據(jù)，上述電影中的４０分鐘旅程時(shí)間是如何確定的呢？該時(shí)間和隧道長(zhǎng)短有關(guān)嗎？為解決這些疑問(wèn)，在此對(duì)地球隧道問(wèn)題展開(kāi)研究。

地球隧道是物理教學(xué)中的常見(jiàn)模型，顧名思義，它是指一條穿行于地球內(nèi)部的隧道。其幾何示意圖如圖１所示，假設(shè)地球是密度均勻的球體，隧道從地球的一端開(kāi)始，通過(guò)地心到達(dá)另一端。若只考慮萬(wàn)有引力作用，物體在該地球隧道中做何種運(yùn)動(dòng)？物體通過(guò)地球隧道的時(shí)間又是多少呢？這是一個(gè)很有意思的問(wèn)題。目前，對(duì)地球隧道問(wèn)題的探討大多都是基于高斯定理的類比推導(dǎo)，從而得出隧道內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所受萬(wàn)有引力的表達(dá)式［１－７］。高斯定理本是電磁學(xué)中用來(lái)描述靜電場(chǎng)內(nèi)閉合曲面所包圍的電荷與電場(chǎng)在閉合曲面上電通量的關(guān)系，多用于對(duì)靜電場(chǎng)分布的描述。因數(shù)學(xué)上具有相似性，在證明其他平方反比規(guī)律的時(shí)候也常用到。故多數(shù)解法只是簡(jiǎn)單套用高斯定理，并未詳細(xì)闡述利用靜電場(chǎng)分布規(guī)律解釋力學(xué)過(guò)程的原因，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解不夠深入。因此，為了更加清楚地求解此類問(wèn)題，本文提出了基于殼層定理的地球隧道問(wèn)題求解方法，從學(xué)生高中時(shí)期熟悉的幾何證明思路入手，思路簡(jiǎn)單易懂，理解門檻較低，可避免學(xué)生在未理解高斯定理內(nèi)涵的情況下強(qiáng)行接受。

■

圖1" 地球隧道幾何模型示意圖

１" " 地球隧道問(wèn)題

為求解地球隧道問(wèn)題，首先建立地球隧道模型：設(shè)地球是半徑為Ｒ、質(zhì)量為Ｍ、密度為ρ的勻質(zhì)球體，沿其徑向過(guò)球心挖一條隧道，將位于隧道內(nèi)的任一物體視作質(zhì)量為ｍ的質(zhì)點(diǎn)，ｒ是該質(zhì)點(diǎn)與地球球心之間的距離（圖１）。忽略地球自轉(zhuǎn)的離心慣性力和科里奧利力，在僅考慮萬(wàn)有引力作用的情況下討論質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。

２" " 高斯定理法

目前普遍利用高斯定理對(duì)上述地球隧道問(wèn)題進(jìn)行求解，直接套用高斯定理求解出質(zhì)點(diǎn)與地心之間的萬(wàn)有引力，再根據(jù)質(zhì)點(diǎn)所受引力情況對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況作出判斷，具體求解過(guò)程大都很粗略。為了與殼層定理法進(jìn)行對(duì)比，這里再次對(duì)基于高斯定理的證明方法進(jìn)行總結(jié)歸納。

如圖１所示，以球心為原點(diǎn)，隧道方向?yàn)椋?軸，建立直角坐標(biāo)系，則隧道內(nèi)質(zhì)量為ｍ的質(zhì)點(diǎn)位置可表示為 （０，０，ｒ）。根據(jù)球?qū)ΨQ性，假定質(zhì)點(diǎn)ｍ所在的球面為一高斯面，此高斯面上的引力場(chǎng)強(qiáng)為ｇ，方向與質(zhì)點(diǎn)位置矢量ｒ（或面元的法線方向ｎ）相反，即θ角為π，如圖２所示。

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圖2" 質(zhì)點(diǎn)m處的高斯面示意圖

類比高斯定理，引力場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)包圍該質(zhì)點(diǎn)曲面的積分為

■g·nds=-4πGρ·■πr3（１）

其中，Ｇ為萬(wàn)有引力常量。又經(jīng)計(jì)算可得

■g·nds=-4πr2g

因此，引力場(chǎng)表達(dá)式為

ｇ＝－■πGρｒ（２）

根據(jù)牛頓第二定律，得質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)（０，０，ｒ）處的加速度為

■=－■πGρｒ（３）

由（3）式可解得［２］r=Acos（ωt+φ），其中ω=■。故由該結(jié)果可知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。根據(jù)T=■=■，代入地球的質(zhì)量密度ρ和萬(wàn)有引力常量Ｇ，即可得簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期約為８４分鐘。

由此可見(jiàn)，利用高斯定理求解“地球隧道”問(wèn)題的方法并不復(fù)雜。但如果不理解公式（１）的推導(dǎo)和證明過(guò)程，就很難理解高斯面與地球表面之間的球殼質(zhì)量為什么不會(huì)對(duì)高斯面上的質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生萬(wàn)有引力。同時(shí)，大學(xué)一年級(jí)的學(xué)生尚未完全理解電磁學(xué)中高斯定理的物理意義，難以進(jìn)行高斯定理的類比應(yīng)用。給學(xué)生詳細(xì)推導(dǎo)和證明高斯公式不失為一種解決辦法，但推導(dǎo)涉及的曲面微積分知識(shí)過(guò)于抽象和復(fù)雜，不適用于在大學(xué)物理課程教學(xué)以及物理科普中詳細(xì)闡述。基于此，嘗試?yán)酶庇^、清晰的牛頓殼層定理求解該問(wèn)題。

３" " 牛頓殼層定理法

３．１" " 牛頓殼層定理的推導(dǎo)證明

幾何模型與物理問(wèn)題結(jié)合是物理教學(xué)經(jīng)常提及的一種思路，例如，研究帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)、光的折射與反射等問(wèn)題時(shí)會(huì)頻繁應(yīng)用此思路［８－９］。牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，首次證明殼層定理（ｓｈｅｌｌ ｔｈｅｏｒｅｍ），其也是幾何模型與物理問(wèn)題結(jié)合的典型例子。在求解引力場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，引入球體幾何模型可得具體結(jié)論：一個(gè)質(zhì)量為Ｍ、半徑為Ｒ的球殼，若其質(zhì)量呈球?qū)ΨQ分布，它在距離球心ｒ處Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的引力場(chǎng)可以做兩種等效。當(dāng)Ｐ點(diǎn)在球殼外（ｒ ≥ Ｒ）時(shí)，Ｐ點(diǎn)引力場(chǎng)等效為球心處質(zhì)量為Ｍ的質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力場(chǎng)；當(dāng)Ｐ點(diǎn)在球殼內(nèi)（ｒ ＜ Ｒ）時(shí)，球殼的部分在Ｐ點(diǎn)產(chǎn)生的引力場(chǎng)等于零。

利用解析幾何思想證明該結(jié)論的具體過(guò)程如下：均勻?qū)嵭那蝮w外存在質(zhì)點(diǎn)ｍ，其中ｍ到實(shí)心球體球心距離為r。為求二者之間的萬(wàn)有引力，可將實(shí)心球劃為無(wú)數(shù)個(gè)極薄的同心球殼。圖３是半徑為Ｒ、質(zhì)量為Ｍ的同心球殼的示意圖，質(zhì)點(diǎn)ｍ與該同心球殼的位置關(guān)系如圖3所示，其中任一無(wú)窮小的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為ｄθ（圖中ｄθ為無(wú)窮小角度）。

如圖３所示，經(jīng)過(guò)同一球殼上任意一點(diǎn)處的經(jīng)線所包圍的圓環(huán)質(zhì)量為

■

圖3" "質(zhì)點(diǎn)在球殼外示意圖

dM=■2πR2sinθdθ=■sinθdθ（４）

該圓環(huán)dＭ對(duì)ｍ的萬(wàn)有引力合力指向球殼中心，表達(dá)式為

dFr=■dMcosφ=■■dθ（５）

對(duì)（５）式兩邊不定積分得

Fr=■dFr=■■■dθ（６）

式子中變量為θ，φ，為運(yùn)算方便下面統(tǒng)一變量為s。由余弦定理得

cosθ=■（７）

故

sinθdθ=■ds（８）

而

scosφ=r-Rcosθ（9）

將（8）（9）式代入（6）式，得質(zhì)點(diǎn)在球殼外部，即rgt;R時(shí)

Fr=■dFr=■■■（r-■）ds=G■（１０）

推廣到質(zhì)點(diǎn)位于球殼內(nèi)部時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在球殼內(nèi)示意圖如圖４，有

Fr=■■[1+■]ds=0（１１）

■

圖4" 質(zhì)點(diǎn)在球殼內(nèi)示意圖

故得出，質(zhì)量分布均勻的球體其內(nèi)部的萬(wàn)有引力為０。

３．２" " 利用牛頓殼層定理證明“地球隧道”問(wèn)題

不妨研究對(duì)稱的兩個(gè)質(zhì)元，如圖５所示。質(zhì)點(diǎn)Ｐ位于球心為Ｏ的均勻球面之內(nèi)，Ｅ位于球面之上。連接直線ＯＥ，過(guò)Ｐ作直線ＡＣ和ＢＤ分別與球面交于Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ四點(diǎn)，設(shè)ＡＣ與ＢＤ的夾角為α，ＡＣ與ＯＥ的夾角為β，并使ＡＣ與ＢＤ的夾角α趨于無(wú)限小，則■近似相等于直線ＡＢ，AP≈BP≈r1，DP≈CP≈r2。

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（a）面積微元

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（b）球殼整體

圖5" 面積微元與球殼整體示意圖

繞ＯＥ軸旋轉(zhuǎn)，則ＡＢ，ＣＤ形成一個(gè)環(huán)狀球帶，設(shè)ＡＢ形成球帶側(cè)面積為S1，ＣＤ形成球帶側(cè)面積為S2，S1與高為ＡＢ（ＡB＝r1sinα）、底面半徑為ＡＦ （ＡＦ＝r1sin β）的圓柱側(cè)面積無(wú)限接近，易得

S1=2πr■■sin βsinα（１２）

S2=2πr■■sin βsinα（１３）

■=■=■（１４）

■=■·■=1（１５）

由上述結(jié)果可以得到，取得的對(duì)稱兩環(huán)帶S1，S2，對(duì)Ｐ點(diǎn)萬(wàn)有引力之和為０。已知球殼可被視為無(wú)數(shù)對(duì)稱環(huán)帶之和，故將結(jié)論推廣到整個(gè)球殼，可得球殼對(duì)Ｐ點(diǎn)的萬(wàn)有引力之和為０。這也就解釋了為什么高斯定理不考慮高斯面外球殼的引力場(chǎng)。

故可嚴(yán)謹(jǐn)證明，質(zhì)點(diǎn)所受萬(wàn)有引力為

F■=-G■·M■=-G■·■πr3ρ（１６）

將（１６）式代入牛頓定律，得

F■=m■

得到微分方程

■=-■ρπG·r

由此可見(jiàn)，（１６）式與（３）式結(jié)果一樣。然后求解二階齊次微分方程，易解得

r=Acos（ωt+φ）（１７）

由（１７）式，物體在地球隧道內(nèi)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中Ａ為振幅，由初始條件可得Ａ等于地球半徑Ｒ，ω=■為振動(dòng)頻率。當(dāng)隧道不經(jīng)過(guò)地球球心，而是地球的一條弦時(shí)，可以通過(guò)幾何關(guān)系證明振動(dòng)的振幅Ａ發(fā)生了變化［１，４］，但振動(dòng)頻率和周期并沒(méi)有發(fā)生變化。

４" " 結(jié)" 語(yǔ)

牛頓殼層定理為求解地球隧道問(wèn)題提供了較為新穎的證明方法，彌補(bǔ)了利用高斯定理求解此類問(wèn)題導(dǎo)致的討論不深入、學(xué)生理解困難等缺陷。同時(shí)，相比高斯定理中涉及的曲面積分、求解微分方程等較為復(fù)雜的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用殼層定理解決地球隧道問(wèn)題的方法則更多借鑒了高中數(shù)學(xué)中平面解析幾何的思想，數(shù)學(xué)門檻較低，更加普適化且便于理解。同時(shí)，可實(shí)現(xiàn)“一題多解”，啟發(fā)學(xué)生在面對(duì)同一個(gè)問(wèn)題時(shí)采用多種方法進(jìn)行研究，培養(yǎng)其探究精神和創(chuàng)新意識(shí)。

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（欄目編輯" " 蔣小平）