有收尾過程物理現(xiàn)象的類比研究

收稿日期：2023-12-08

作者簡介：鐘云杰（1987-），男，中學(xué)一級教師，主要從事物理教學(xué)研究及競賽教學(xué)研究。

摘" "要：高中物理涉及到的一些有收尾過程的物理現(xiàn)象，主要涉及動力學(xué)和電磁學(xué)中的速度、Ｒ－Ｃ及Ｒ－Ｌ振蕩電路中的電流、放射性元素的衰變規(guī)律等，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)均能發(fā)現(xiàn)自然對數(shù)的底ｅ包含其中，且它們的表達(dá)式十分相似，推測它們具有某種共性規(guī)律。通過先找共性再進(jìn)行類比分析的思路對此進(jìn)行了研究。

關(guān)鍵詞：收尾過程；類比；微分；競賽思維

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A " " 文章編號：1003-6148（2024）3-0070-4

自然界中的物理現(xiàn)象有著諸多驚人的相似，說明物理世界有著一種共性美。這種共性可以通過類比得到。雖然高中物理由各板塊組成，但是某些物理規(guī)律卻有著本質(zhì)的相似。因此，只要把握住關(guān)鍵規(guī)律，進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及演繹，就能獲得其共性規(guī)律。類比思想對處理這種共性問題有著莫大的作用，本文也將對物理競賽中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)提出一些想法。

１" " 自然界中具有收尾過程的物理現(xiàn)象

所謂收尾過程，即某物理量變化越來越慢，最終能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。如果繪制出該物理量隨時間變化的圖像，其斜率會逐漸減小。表1列舉了一些高中物理教材中涉及的相關(guān)問題。筆者根據(jù)這些圖像猜測它們應(yīng)該具有某種共性規(guī)律，只要找到這個共性條件，即可根據(jù)其中一個的推導(dǎo)思路和結(jié)果快速獲取其他現(xiàn)象對應(yīng)的物理規(guī)律。研究過程中標(biāo)記絕對值增加的情況為Ⅰ類，減小的情況為Ⅱ類。

２" " 物體在有變阻力作用下的運動案例分析

案例 阻力滿足ｆ＝ｋｖ的動力學(xué)問題

問題Ⅰ（有恒動力系統(tǒng)下的收尾過程） 一個小球從靜止開始下落，在下落過程中受到空氣阻力，求其速度隨時間的變化規(guī)律。

由牛頓第二定律，有

mg-kv=m■

整理并兩邊積分

■■=-■■dt

得

v=■（1-e■）

令最大速度mg=kvm，則有簡單形式

v=vm（1-e■）

其中，λ=■。

問題Ⅱ （無動力系統(tǒng)下的收尾過程） 一個小球在光滑水平桌面給其一個初速度v0，運動過程中受到空氣阻力，求其速度隨時間的變化規(guī)律。

由牛頓第二定律

-kv=m■

整理并兩邊積分

■■=-■■dt

得

v=v0e■

其中，λ=■。

３" " 類比思想整合某些有收尾過程的物理現(xiàn)象及其規(guī)律

從以上動力學(xué)條件ｆ＝ｋｖ分析了有動力和無動力的兩種運動情境，由此可以推測，只要收尾過程中能滿足ｙ＝ｋｘ（ｋ為常量，ｘ為變量）的形式，就有可能得到類似的物理規(guī)律。

３．１" " 從動力學(xué)形式類似上進(jìn)行類比

電磁感應(yīng)中的動桿問題，除動桿上有電阻Ｒ，其余電阻不計，軌道光滑。

由法拉第電磁感應(yīng)定律有

ε=BLv

由電路及安培力知識有

FA=■=kv

容易類比得到此安培力的規(guī)律類似于動力學(xué)問題中的空氣阻力，看來兩種常規(guī)收尾過程（有恒動力或無恒動力）的速度隨時間變化規(guī)律應(yīng)類似。可分別得出這兩種情況的表達(dá)式。

情況Ⅰ 受恒定外力Ｆ作用由靜止開始運動。應(yīng)有

v=vm（1-e■）

其中，λ=■，k=■，F(xiàn)=kvm。

情況Ⅱ 只在安培力作用下以ｖ０開始運動。應(yīng)有

v=v0e■

其中，λ=■，k=■。

３．２" " 從微分方程的形式上進(jìn)行類比

不同于動力學(xué)尋找力與速度的關(guān)系，電容器中滿足的是U=■Q，看情況也能符合ｙ＝ｋｘ的形式。

若電源電動勢為Ｅ，限流電阻為Ｒ，其他電阻均不計。充電過程，由閉合電路歐姆定律可得E-■=R■，利用類比思想快速得到此微分方程的最簡解。因為這個微分方程與案例中的動力學(xué)微分方程在形式上都滿足a-bx=c■，因此類比的結(jié)果就應(yīng)是x=■（1-e■），如表２所示。

由此類比法獲得的結(jié)果與求解微分方程一致，再通過一些數(shù)學(xué)運算即可獲得充電時電流、電壓隨時間的變化規(guī)律。

以此思路亦可快速獲得電容器放電時的電量隨時間的變化規(guī)律

Q=Q0e■

其中，λ=■，Q0為電容器放電時的初始電量。

在自感現(xiàn)象中，若電源電動勢為Ｅ，與電感串聯(lián)的電阻阻值為Ｒ，其余所有電阻均不計，總能找到定值電阻上的歐姆定律U=Ri，符合ｙ＝ｋｘ的形式。所以，通電自感和斷電自感中的電流規(guī)律也可以利用此類比法。

通電自感的微分方程：E-iR=L■，Ｅ為電源電動勢。

斷電自感的微分方程：-iR=L■。

通電自感的電流：i=im（1-e■），其中，im=■，

λ=■。

斷電自感的電流：i=i0e■，其中，i0=■，λ=■。

對于放射性元素的衰變規(guī)律應(yīng)滿足■=

-λm，反映的是因衰變質(zhì)量的減少率與當(dāng)前質(zhì)量成正比，由于絕對值在減小，故屬于Ⅱ類問題。由以上經(jīng)驗可快速得到其最簡解m=m0e■，ｍ０為衰變計時起點時的質(zhì)量。

３．３" " 利用初末狀態(tài)處理極值和單位制解決λ系數(shù)

由以上討論可以發(fā)現(xiàn)，最終穩(wěn)定狀態(tài)的方程均是ｙ＝ｋｘ形式，研究微分變量ｘ的穩(wěn)定狀態(tài)是很容易分析出來的，比如變力作用下的動力學(xué)問題。對Ⅰ類問題可知末狀態(tài)是穩(wěn)定態(tài)，可以直接分析此狀態(tài)下的穩(wěn)定方程，即mg=kvm，以此得到穩(wěn)定時的最大速度解。

再來看系數(shù)λ。由之前的規(guī)律可知，結(jié)果均是ｅ的時間指數(shù)解e■，但是指數(shù)上必須是常數(shù)，不然無法求出ｅ的冪，因此根據(jù)單位制很容易發(fā)現(xiàn)λ的單位是ｓ－１。由條件可知，ｋ的單位為ｋｇ/ｓ，故猜測λ系數(shù)的表達(dá)形式為λ=■。

有了以上經(jīng)驗，可以對其他收尾過程進(jìn)行驗證，如表３所示。

以上結(jié)果經(jīng)檢驗均正確，Ⅱ類問題的分析讀者也可自己進(jìn)行。

４" " 結(jié)" 語

很多物理問題都可以通過數(shù)學(xué)來進(jìn)行描述，常用方法就是利用微分方程求解。在培養(yǎng)學(xué)生競賽思維上，如果能對各種物理問題進(jìn)行總結(jié)歸類，那么無疑可以減少記憶量、運算量，還能將一些不同模塊的問題統(tǒng)一化，可以是情境條件的統(tǒng)一，也可以是求解方法的統(tǒng)一，亦可以是分析方法的統(tǒng)一。本文主要就某類物理（下轉(zhuǎn)第76頁）（上接第72頁）現(xiàn)象——有滿足ｙ＝ｋｘ形式的收尾過程，表達(dá)了類比思想的重要性。總而言之，教師在培養(yǎng)學(xué)生競賽思維上有很多途徑，而利用已有模型類比解決未知問題是競賽中常用的方法，建議競賽中可以強化這個意識。

參考文獻(xiàn)：

［１］溫斯瓊，潘蘇東．物理教科書中類比策略的分析——以新人教版高中物理教科書為例［Ｊ］．中學(xué)物理，２０２１，39（9）：25-29.

［２］張立新．從物理學(xué)中數(shù)學(xué)常數(shù)ｅ思考數(shù)學(xué)之自然屬性［Ｊ］．首都師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），２０１５，36（3）：25-29.

（欄目編輯" " 蔣小平）