尋思沉潛如深海　為有源頭活水來

蘇曉宇

1 試題回顧

（2023全國卷Ⅰ，21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽決定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=qi，i=1，2，……，n，則E（∑n/i=1Xi）=∑n/i=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

這道題是概率和數(shù)列結(jié)合的問題.此題出現(xiàn)在次壓軸的位置，在創(chuàng)新和應(yīng)用方面都有所考查，區(qū)分度強(qiáng)，三個小問層層遞進(jìn)，上一問均對下一問的解答有輔助作用.第（2）問深入考查了全概率公式，其本質(zhì)上是機(jī)器學(xué)習(xí)理論“馬爾可夫鏈”的模型，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一性.第（3）問本質(zhì)上是“期望的線性性質(zhì)”.

筆者對本題第（2）問和第（3）問進(jìn)行了研究，一題多解，除高中的概率與數(shù)列結(jié)合的方法外，還提供了比較簡潔的高等數(shù)學(xué)方法.

2 思維導(dǎo)圖

第（2）（3）問的思維導(dǎo)圖分別如圖1、圖2所示.

3 多維視角，解法探究

3.1 第（2）問的解法探究

思路1：全概率公式，分析遞推.

在第（1）問的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析，發(fā)現(xiàn)第i+1次投籃的人是甲只依賴于第i次投籃的情況.第i+1次投籃的人是甲可分為兩種情況：第i次投籃的人是甲，第i+1次投籃的人也是甲；第i次投籃的人是乙，第i+1次投籃的人是甲.

5 解題感悟，引導(dǎo)教學(xué)

近年來的新高考中，許多概率統(tǒng)計類題目考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及創(chuàng)新應(yīng)用能力.隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，概率與統(tǒng)計在應(yīng)用方面體現(xiàn)出獨特的價值.如近年來考查的馬爾可夫鏈實際上是人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)的前沿內(nèi)容.筆者通過挖掘本題的求解過程及研究近幾年新高考概率統(tǒng)計類題目，得出如下兩點教學(xué)啟示.

（1）本題源于教材，高于教材，因此在復(fù)習(xí)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重視教材中知識點的掌握及教材課后習(xí)題的挖掘.高考題中概率統(tǒng)計類選擇題、填空題多數(shù)為學(xué)生常見的經(jīng)典試題，因此，我們在復(fù)習(xí)中應(yīng)回歸課標(biāo)、教材，喚醒核心知識.

（2）馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕收摵徒y(tǒng)計學(xué)的重要模型，在實際生活中應(yīng)用廣泛，如天氣預(yù)測、股票市場分析、自然語言處理等.在高考中多次出現(xiàn)此類問題并不意味著學(xué)生要去學(xué)習(xí)大學(xué)統(tǒng)計模型，而是要讓學(xué)生體會統(tǒng)計與生活的密切聯(lián)系，教師在教學(xué)中應(yīng)滲透統(tǒng)計思想，激發(fā)學(xué)生對概率統(tǒng)計的學(xué)習(xí)興趣.通過對這類題目深入淺出的講解，適當(dāng)拓寬學(xué)生的視野，促進(jìn)學(xué)生對統(tǒng)計思想的理解和掌握；也可適當(dāng)利用計算機(jī)進(jìn)行編程實現(xiàn)問題求解，培養(yǎng)高中生的計算機(jī)編程能力.