核心素養背景下反例在高中數學教學中的應用研究

王克軍

摘要：新課改背景下的數學教學將發展數學核心素養放在首位.本文中分別從“借助反例夯實知識基礎、揭露問題癥結、提高解題效率、實施深入探究”四個方面，結合實例對基于核心素養背景應用好反例進行教學展開闡述與分析.

關鍵詞：反例；基礎知識；解題

反例是指想要說明一個數學命題為假命題時，通過舉出一個例子讓它具備命題的條件，卻與命題結論不相符，這個例子則稱為反例.反例是相對于全稱命題的一個概念，在實際教學中應用非常廣泛，尤其對于高中數學而言，反例可為學生提供新的思維視角.在數學教學過程中，學生的思維遇到障礙是常有的事，靈活應用反例可幫助學生換個視角觀察與思考問題，提升學習效率.

1 借助反例夯實基礎知識

新課標強調數學教學要注重“四基”與“四能”的培養，基礎知識屬于“四基”最重要的內容，任何教學活動都是緊緊圍繞基礎知識而展開的，夯實基礎是實現解題的關鍵.因此，每一位教育工作者都要關注基礎知識的教學，只有不斷強化對知識基礎的理解，學生才能基于此基礎更上一層樓.為此，筆者在這方面做了大量嘗試與探索，發現借助反例進行基礎知識的教學，效果異常顯著.

案例1 “直線與平面垂直的判定定理”的教學

為了深化學生對“直線與平面垂直的判定定理”的理解，強化“平面內兩條直線相交”這個基本條件，教學時筆者尤其關注“相交”二字，呈現出如下教學過程：

問題 如圖1，正方體ABCD-A1B1C1D1中AB1⊥BC，AB1⊥B1C1，但AB1⊥平面BCC1B1并不成立.

師：請大家分析這個命題結論正確的原因.

生1：因為BC和B1C1雖同在平面BCC1B1內，但BC與B1C1并非為相交的關系.

這個簡單易理解的反例讓學生清晰地明確了“相交”這個詞在此定理中所占的分量.

該反例的應用成功展示了定理中核心詞的重要性，夯實了知識基礎.若再次遇到這一類題型時，可通過對這個反例信息的提取，避免錯誤的發生.這個反例也從側面提醒我們在理解基礎知識時，可從正反兩個角度去分析，這也是避免思維定式的重要方法.

2 通過反例揭露問題癥結

新課標強調要關注學生在解題中的錯誤，將一些錯誤作為教學資源，可有效激活學生的思維，增強學生的理解能力，避免類似問題的再次發生.實踐證明，正確對待教學過程中學生暴露出來的錯誤是不可忽略的環節.因此，探尋高效教學的同時要常停下腳步，回過頭來及時復盤、反思，以便及時發現問題并解決問題，這也是發展“四能”的關鍵步驟.實踐發現，反例的應用常能將問題的癥結暴露出來，讓學生正視自己的問題.

案例2 “一元二次方程根與系數的關系”的教學

學生在解決有關一元二次方程根的問題時，常會出現遺漏條件的情況，為了讓學生自主發現問題的癥結所在，筆者設計了如下問題：

問題 若方程x2+（k－3）x+k=0的兩根都小于－2，求k的取值范圍.

學生這么解題，主要源于初中階段接觸過一元二次方程兩根均大于0的情況，受思維定式的影響，出現了這種錯誤解法.大部分學生在復看時，都不會發現錯誤.為了從源頭上扭轉學生的思維，筆者決定借助如下反例來解決這個問題：若兩個根分別為－4與－3/2，這個條件滿足所列的不等式，卻與題目不符.

這種解法沒有關注到對稱軸，從而導致錯誤發生.為了讓學生自主發現問題的癥結，筆者移動了一下對稱軸，學生瞬間就明白了.

這種解法的錯因在于忽略了“端點”，只要據此舉出相應的反例，學生就能發現大根可以大于－2，也能小于－2.

用反例來說明以上三種典型錯誤，不僅讓學生明確每一類錯誤的原因，還讓學生進一步回顧基礎知識，感知遇到這一類問題時必須考慮周全，其中判別式、對稱軸與端點是三個不可或缺的因素.在此基礎上，學生很快自主求得本題的解為k∈［9，10）（過程略）.

反例的應用，顯著提高了教學效率，無需教師過多的闡釋，學生就從這幾個典型錯誤中夯實了基礎，發展了“四能”.

3 巧用反例提高解題效率

反例是提高解題效率的法寶.當遇到一些靈活多變的問題時，如果學生僅單純地從正面思考，常常會因為考慮不夠周全而發生失誤，若能轉換解題思路，適時應用反例，則能從問題的另一個角度切入，實現解題的突破.

案例3 “立體幾何”的教學

問題 如圖2，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中AB，AD，AA1的長度分別為5，4，3，動點由點A出發沿著長方體的表面活動到點C1處，求該動點運動的最短路徑.

不少學生解這道題時，直接將AB，BC，CC1三條線段的長度相加，獲得“最短路徑長為12”這個結論.顯然，這種做法是錯誤的.為了讓學生明白這種解法的錯誤（思維過于“簡單粗暴”），筆者提出如下反例：若動點由點A出發，沿著AB—BC1到達點C1，那么運動的距離為10，顯然小于12.

這個反例成功激活了學生的思維，他們立刻意識到此類最短路線問題，可從長方體的側面展開圖的角度去分析，如圖3，學生自主畫圖，很快就獲得了準確答案.

這個案例告訴我們，反例是激活學生思維、提高解題效率的重要方法.反例的應用還能有效避免思維漏洞，這對提升解題效率具有重要價值.

4 應用反例實施深入探究

課本內容遠遠達不到新課標提出的要求，核心素養背景下，學生不僅要掌握“四基與四能”，還要具備良好的探究與創新能力.因此，我們應關注課本知識的延伸與拓展，以深化學生對知識的理解，為完善知識體系、建構良好的認知結構服務.帶領學生借助各種教學手段探索靈活多變的教學內容是當下教學的關鍵任務，也是發展學生探究能力的重要渠道.結合教學經驗，發現應用反例教學可引導學生進入靈活的探索階段，促進思維深刻性、發散性與靈敏性的發展.

案例4 “函數”的教學

問題 已知f（x）=x3－ax2+3x在［1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍.

不少學生拿到該題，首先想到自己熟悉的知識：對于函數y=f（x），如果在某個區間上f′（x）＞0，那么f（x）在這個區間上是增函數.因此，看到本題時，就思維定式地求出f′（x）=3x2－2ax+3，然后根據f′（x）＞0，即a＜3/21/x+x在［1，+∞）上恒成立，解得a＜3.

為了讓學生發現問題，筆者舉了這樣一個反例：已知函數f（x）=x3在[WTHZ]R上單調遞增，而f′（x）=3x2≥0恒成立，由此不難看出y=f（x）在區間（a，b）上可導，據此可發現f′（x）＞0并非f（x）在區間（a，b）上單調遞增的充要條件.

在這個反例的引導下，學生瞬間就發現了問題出在哪里，并及時修正獲得a≤3的結論.這個案例告訴我們，反例的應用不僅能促使學生快速發現問題，還能有效點燃學生的探索欲，驅動學生的探究行為，為發展核心素養奠定基礎.

總之，靈活應用反例，將反例恰到好處地應用在刀刃上，不僅能快速檢驗教學成效，還能發展學生的數學思維，推動學生的深度探究.因此，每位教師都應關注反例在教學中的實用價值，將它作為提高教學成效、發展學生核心素養的利器.

課題信息：江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“觀念建構視角下指向核心素養的高中數學單元教學設計研究”，立項編號為D/2021/02/513.