基于“創(chuàng)造性使用教材”的創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計(jì)

林澤華　李孝誠

摘要：高中數(shù)學(xué)教材的使用要具有創(chuàng)造性.以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”教學(xué)為例，針對(duì)人教A版教材中導(dǎo)入設(shè)計(jì)過于理想化的情況，提出“用教材教”的反思，并給出創(chuàng)造性使用教材的策略，以幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高數(shù)學(xué)抽象、直觀想象核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教材；創(chuàng)造性使用教材；創(chuàng)新性教學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

1 問題提出

自高中新課改實(shí)施以來，教材使用的觀點(diǎn)已不再是傳統(tǒng)的“教教材”，而是轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝媒滩慕獭保@對(duì)教師解讀教材的能力提出了更高的要求[1].《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，教材的編寫和排版也做出了相應(yīng)的調(diào)整，其內(nèi)容的設(shè)計(jì)也更加科學(xué)合理.然而，這也導(dǎo)致了在教學(xué)活動(dòng)中教師過分依賴教材，不敢對(duì)教材進(jìn)行延伸[2].“用教材教”無疑能夠達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，但是只用教材去教學(xué)生，照搬他人的想法去實(shí)施教學(xué)，有時(shí)并不能適應(yīng)真實(shí)的課堂教學(xué)，而是僅僅達(dá)成了教材編寫者的設(shè)計(jì)意圖.學(xué)生對(duì)于知識(shí)的探索只停留在課本表面，并沒有深入數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，其思維能力和推理能力也缺乏相應(yīng)的鍛煉.

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為“數(shù)學(xué)是一種人類活動(dòng)”，并提倡以“再創(chuàng)造”原則進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，即學(xué)生要參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，重新創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).這種再創(chuàng)造需要教師精心設(shè)計(jì)，而不是引導(dǎo)學(xué)生機(jī)械地學(xué)習(xí)教材中所呈現(xiàn)的有關(guān)歷史發(fā)現(xiàn).因此，對(duì)于教材的使用要更加注重創(chuàng)新，不能局限于教材編寫的內(nèi)容，要結(jié)合實(shí)際情況創(chuàng)造性地使用教材.筆者以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”為例，選取2019年新人教A版教材，基于教材內(nèi)容進(jìn)行創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計(jì)，剖析在具體教學(xué)過程中僅依賴教材教的現(xiàn)象，提出使用教材的反思與改進(jìn)策略.

2 教材內(nèi)容分析

“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”是2019年新人教A版選擇性必修第二冊(cè)的內(nèi)容.教材從高斯計(jì)算1+2+……+100的算法出發(fā)，引入首尾相加的求和方法，仿照這種方法，提出如何求解1+2+……+101的問題.將其與前者進(jìn)行對(duì)比，將首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列分成n為奇數(shù)與n為偶數(shù)兩種情況；再借助高斯的算法進(jìn)行分類討論，分別對(duì)兩種情況進(jìn)行化簡并得到相應(yīng)的公式，總結(jié)出這一特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；最后對(duì)其進(jìn)行一般化處理，推導(dǎo)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一般公式即Sn=n（a1+an）/2.

2.1 設(shè)計(jì)意圖

教材以數(shù)學(xué)家高斯的算法作為導(dǎo)入，從數(shù)學(xué)史開篇，這樣學(xué)生會(huì)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的探索產(chǎn)生興趣，有利于學(xué)生對(duì)該公式的探究.在推導(dǎo)過程中，引導(dǎo)學(xué)生感受從特殊到一般的研究方法，開發(fā)理性思維品質(zhì)，最終學(xué)生通過自主探究得出等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的一般形式.這樣設(shè)計(jì)的主要目的是期望在增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)信心的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生積極探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣[3].

2.2 存在的缺陷

如果僅僅借助教材中數(shù)學(xué)家高斯的算法進(jìn)行導(dǎo)入而不加以創(chuàng)新，難免會(huì)存在幾點(diǎn)缺陷：一是高斯的首尾相加法僅僅是高斯的想法，不是學(xué)生想出來的，是強(qiáng)加給學(xué)生的，同時(shí)也失去了“再創(chuàng)造”學(xué)習(xí)的意義.二是從高斯的算法到倒序相加法的過渡，對(duì)于學(xué)生來說比較難以理解，如果處理不好就會(huì)造成灌輸式教學(xué).在此過程中，教師也僅僅只是完成了教學(xué)任務(wù)，學(xué)生的思維并沒有得到實(shí)效性的鍛煉.三是學(xué)生對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解僅僅停留在表面，并沒有深入實(shí)質(zhì)，容易導(dǎo)致死記公式現(xiàn)象的發(fā)生.

3 創(chuàng)新性教學(xué)的課例分析

為落實(shí)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就需要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，進(jìn)行創(chuàng)新性教學(xué)設(shè)計(jì).創(chuàng)造性地使用教材要求教師在充分了解數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，以教材為載體，靈活有效地組織教學(xué)，拓展課堂教學(xué)空間.

定理、公式的教學(xué)要充分暴露思維過程，包括問題的提出過程、問題的求解與探索過程以及證明思路的形成過程三方面，因此，定理與公式的教學(xué)可以通過歸納推理、類比推理、直覺思維活動(dòng)等合情猜測數(shù)學(xué)結(jié)論[4].華羅庚教授曾指出“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微”[5].利用圖形的直觀誘發(fā)直覺思維活動(dòng)即是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”為例，基于教材內(nèi)容設(shè)計(jì)滲透數(shù)形結(jié)合思想的創(chuàng)新性教學(xué)，能夠幫助學(xué)生經(jīng)歷等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，加深對(duì)公式的理解和感悟.本文中僅對(duì)“等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式”的導(dǎo)入過程進(jìn)行創(chuàng)新，以下是本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì).

師：（情境導(dǎo)入）如圖1，一堆圓木樁頂層1根，下層依次為2根、3根、……，按照這種規(guī)律一直擺放到100層，一共有多少根圓木樁？

生1：將第1層與第100層進(jìn)行配對(duì)，第2層和第99層配對(duì)，以此類推就可得到50對(duì)，于是圓木樁的總數(shù)為

（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5 050.

（注意：若沒有學(xué)生提出該方法，則需要教師引出.若這種方法是由教師引出就是灌輸式教學(xué)，這也是教材設(shè)計(jì)欠考慮的地方.）

師：很好！這也是偉大的數(shù)學(xué)家高斯計(jì)算1+2+3+……+100的方法.這種方法技巧性很強(qiáng)，是從數(shù)的角度進(jìn)行計(jì)算，那么從圖形的角度，大家能否發(fā)現(xiàn)一種簡便的計(jì)算方法呢？

生2：這100層圓木樁堆成了一個(gè)三角形，我在想是否可以和三角形的面積聯(lián)系起來，但是圓木樁的個(gè)數(shù)又不完全是三角形的面積，所以我遇到了困難.

師：生2的角度很獨(dú)特，我們知道三角形的面積公式是1/2（底×高），但是他遇到了困難，那可以將三角形轉(zhuǎn)化為別的圖形嗎？

生3：三角形面積是等底等高平行四邊形面積的一半，可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形來求！

師：沒錯(cuò)！那大家對(duì)求解100層共有多少根圓木樁有思路了嗎？

生4：再找一堆同樣的圓木樁拼湊成平行四邊形，這樣每一層圓木樁的個(gè)數(shù)都為1+100=101，一共有100層.那么，可以得出這兩堆圓木樁的根數(shù)一共是100×（1+100）=10 100，所以這樣一堆圓木樁一共有5 050根.

師：很好！如果將原來每一層的圓木樁根數(shù)依次寫成一個(gè)數(shù)列，那是一個(gè)什么樣的數(shù)列呢？

生：首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.

師：1+2+3+……+100=5 050就是這個(gè)數(shù)列前100項(xiàng)的和.將其推廣到n項(xiàng)，用Sn來表示它的前n項(xiàng)和，仿照前面的圖形直觀，大家能寫出這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式嗎？

生5：Sn=n（1+n）/2.

師：你能用圖形直觀表示一下嗎？

生5：如圖2，將a1，……，an擺成一個(gè)三角形，第一行圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1，第二行圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2，以此類推，一直到n行圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，然后用同樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，這樣每一行圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)都變成了1+n，一共有n行，兩堆就有n（1+n）個(gè)圓點(diǎn)，一堆就有n（1+n）/2個(gè)圓點(diǎn).

師：很好，將其推廣到一般形式的等差數(shù)列{an}，它的前n項(xiàng)和公式的表達(dá)式是什么呢？

生6：Sn=n（a1+an）/2.

師：那在計(jì)算Sn的過程中，需要知道哪些量呢？又該如何計(jì)算呢？

生6：需要知道第一項(xiàng)a1和最后一項(xiàng)an以及項(xiàng)數(shù)n.將首項(xiàng)與末項(xiàng)相加，所得之和乘項(xiàng)數(shù)，之后再除以2.

師：不錯(cuò)！這就是倒序相加求和的方法，我們借助這種方法得到的Sn=n（a1+an）/2就是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式.從這個(gè)公式的形式來看，你能想到它與什么圖形的公式相似呢？能用圖形說明一下嗎？

生7：與梯形的面積公式（上底+下底）×高/2相似.梯形的面積也是將梯形拼成一個(gè)平行四邊形來求解的（如圖3），與倒序相加法的原理一樣.

師：你能總結(jié)一下它們的原理嗎？

生7：構(gòu)造相同的部分，然后倒序相加.

師：那倒序相加的目的是什么呢？

生7：將原本不同的部分變?yōu)橄嗤牟糠?

師：沒錯(cuò)！這就是倒序相加法的原理.通過將一個(gè)等差數(shù)列倒序后再相加，從而構(gòu)造出一個(gè)數(shù)值全部相同的新數(shù)列，也就是一個(gè)常數(shù)列.先求出常數(shù)列的和，再求這個(gè)數(shù)列的和.而梯形面積公式的推導(dǎo)也是這個(gè)原理.

“千言萬語不及一張圖”，這是美國圖論學(xué)者哈里的名言[6].相比文字和符號(hào)，借助圖形探索出的數(shù)學(xué)知識(shí)更加形象直觀，更易于學(xué)生理解.本節(jié)課打破“代數(shù)式”的束縛，利用數(shù)形結(jié)合的方式，以三角形面積來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，幫助學(xué)生理解倒序相加法的原理，從而更加深入理解公式的本質(zhì).若只用教材中高斯的算法在代數(shù)層面進(jìn)行探究，容易導(dǎo)致學(xué)生死記公式.而采用圖形來推導(dǎo)，借助幾何直觀建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，學(xué)生能夠更好地理解倒序相加法的原理，更好地發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).

4 “用教材教”的反思與改進(jìn)

教材具有規(guī)范作用.借助教材中的例子進(jìn)行教學(xué)無可厚非，但是以教材為本并不是將教材中的所有內(nèi)容都照搬，也不意味著要完全按照教材編寫者的思路進(jìn)行教學(xué).用教材進(jìn)行教學(xué)的意義在于要結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，以教材為參考來教學(xué)，其關(guān)鍵是要解決怎么“用”的問題.教師要能夠在教材的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出真正有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)過程.對(duì)于“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師可以采用教材中高斯的例子來帶領(lǐng)學(xué)生感悟等差數(shù)列的相關(guān)數(shù)學(xué)史，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.但是，具體的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)以學(xué)生的實(shí)際情況為依據(jù).想要幫助學(xué)生深入理解利用倒序相加法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的原理，就需要進(jìn)行一定的創(chuàng)新性教學(xué).值得注意的是，數(shù)學(xué)創(chuàng)新性教學(xué)不是憑空產(chǎn)生的，需要教師靈活運(yùn)用教材，并充分利用各種課程資源來設(shè)計(jì)教學(xué).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，不能過分依賴教材，要以教材為基礎(chǔ)創(chuàng)造性地使用教材.

創(chuàng)造性地利用數(shù)學(xué)教材教學(xué)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：

首先，讀懂教材是創(chuàng)造性使用教材的基礎(chǔ)，需要教師在仔細(xì)分析數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)基本要求的基礎(chǔ)上，認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)教材.高中數(shù)學(xué)教材有不同版本，常見的主要是人教版、滬教版、北師大版、蘇教版、湘教版等.不同版本的編排內(nèi)容不同，各有特色，在教學(xué)過程中要注意在主版本的基礎(chǔ)上，汲取其他版本中值得借鑒的優(yōu)點(diǎn)，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué).“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的創(chuàng)新性教學(xué)課例就是在人教A版教材的基礎(chǔ)上，結(jié)合北師大版教材情境所進(jìn)行的改進(jìn).

其次，教師要提高自身素質(zhì)，在讀懂教材設(shè)計(jì)意圖的基礎(chǔ)上，研讀數(shù)學(xué)思想方法，并將之滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)中.數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，使得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)更加直觀，同時(shí)，能讓學(xué)生更加深入理解倒序相加法的本質(zhì).

最后，在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，要從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)，分析本節(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位和作用，注重前后知識(shí)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，體會(huì)整體知識(shí)與局部知識(shí)之間的關(guān)系；注重創(chuàng)新性以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成程度，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展?jié)B透于教學(xué)全過程.

高中數(shù)學(xué)教材是專家根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的專門用書，是教學(xué)的前提.但是，有太多教師過于依賴教材，只是按部就班地按照教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，而沒有仔細(xì)研讀內(nèi)容的邏輯是否符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.書面化的語言難免會(huì)過于理想化，將文字性的知識(shí)教授給學(xué)生是教師必備的能力，這就需要教師在仔細(xì)分析教材的基礎(chǔ)上，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候設(shè)計(jì)創(chuàng)新性的教學(xué)，創(chuàng)造性地利用教材，深入數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

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