導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用探究

夏奕雯

摘要：不等式常見的證明方法有構(gòu)造法、比較法、反證法等，但是，一些不等式利用這些方法證明比較困難，而利用導(dǎo)數(shù)證明不等式不但能精簡證明流程，而且能確保證明結(jié)果的準(zhǔn)確性.本文中主要分析了利用函數(shù)凹凸性、導(dǎo)數(shù)定義、拉格朗日中值定理證明不等式的詳細(xì)方式，且給出了多種方式的適用范疇，結(jié)合實際情況整理了使用多種方式開展不等式證明的主要觀點.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；不等式證明；拉格朗日中值定理；函數(shù)凹凸性

1 利用函數(shù)凹凸性證明不等式

判斷函數(shù)凹凸性并以此來證明不等式較為直觀.首先要明確凸（凹）函數(shù)的定義.

定義1[1]：若f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數(shù)λ∈（0，1），總有

本題就是利用導(dǎo)數(shù)定義證明不等式的典型案例，有如下兩點特征：（1）在對f（x）=a1sin x+a2sin 2x+……+ansin nx求導(dǎo)后，得出的結(jié)構(gòu)實際就是需要待證明的不等式的左邊；（2）通過導(dǎo)數(shù)的定義得出f′（0），繼而利用不等關(guān)系|f（x）|≤|sin x|建立f′（0）和limx→0sin x/x[JB）|]=1之間的不等關(guān)系，以此對不等式進(jìn)行證明.

本文中對導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的具體應(yīng)用進(jìn)行了探討，并給出了幾道例題，值得關(guān)注的是通過導(dǎo)數(shù)證明不等式，不只有本文當(dāng)中所闡述的幾種方式，還包括其他方法，如導(dǎo)數(shù)與積分的融合等.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式時，一般要構(gòu)造輔助函數(shù)，然后結(jié)合具體問題和函數(shù)的性質(zhì)靈活加以運用.當(dāng)然，證明不等式，還可以通過綜合多種方式達(dá)到目的.

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