柯希湖


1 問題引路——高考真題呈現
因為該試題是一道結構不良類型的證明題,所以在此著重分析試題背景中的平行平分模型及應用過程,部分步驟中涉及的代數運算證明僅做簡單敘述(主要涉及斜率條件的轉化).
如圖5,設直線AB與雙曲線交于C,D兩點,由直線與雙曲線及漸近線相交的性質得|AC|=|BD|,這意味著AB的中點即CD的中點,這個中點即試題中準備研究的點M.
設直線CP,DQ交于點T,取PQ中點N,直線TN交直線AB于點L,過點T作PQ的平行線TS,由|PN|=|NQ|,結合平行平分模型結論②,線束TS,TN,TP,TQ為調和線束,
即線束TS,TL,TC,TD為調和線束.
(1)選擇①②證明③
若PQ∥AB,則TS∥AB.由平行平分模型結論①,得|CL|=|DL|,即L是CD中點,
從而|AL|=|BL|.結合直線MP,MQ的斜率分別為-3,3,計算可得此時點L為點M,從而|MA|=|MB|.
(2)選擇②③證明①
若PQ∥AB,結合TS∥PQ,則有TS∥AB.
因為線束TS,TL,TC,TD為調和線束,結合平行平分模型結論①,可知|LA|=|LB|.
由x1>x2>0得弦PQ不垂直于x軸,所以弦AB也不垂直于x軸,故弦AB的中垂線不過原點O,
由直線MP,MQ的斜率分別為-3,3,計算可得O,N,M三點共線,故點M,L都在直線ON上.結合|MA|=|MB|,|LA|=|LB|,直線ON不是AB的中垂線,從而點M,L重合.
故點M在AB上.
(3)選擇①③證明②,略.
基于高等幾何的極點極線的相關內容,對尖子生而言,一般用于速算結果、探究方向,雖然解題很快,但要慎重考慮是否可作為高中卷面的書寫過程.