淺析一題多解與一題多變在高中數學教學中的應用

馮月華

在高中數學教學中，一題多解與一題多變教學是常用的方法，以期通過多角度分析達到夯實基礎，培養學生創新能力和探究能力，提高學生發現、提出、分析和解決問題能力的目的[1].下面筆者以兩道典型的三角函數題為例，談談對一題多解與一題多變教學的一些粗淺認識，供參考！

1 一題多解，培養思維的發散性

師：很好！生2從問題出發，靈活運用有關三角恒等變換公式，將已知和問題建立了聯系，真正體現了知識的活學活用.

學生給出預設的兩種解法后，教師準備開始其他問題的探究，但生3又提出了新思路.

生3：可從已知條件出發，因為tanα/2+π/4=－3，利用二倍角公式得tan（α+π/2）=3/4，所以tan α=－4/3，則sin α=±4/5，解得1+sin α=35/5或5/5.我感覺自己的思路和過程沒有問題，但是卻和前面兩位同學的結果不一致.

生3給出的方法超出了教師的預設，教師一時不知如何回答.不過該方法是學生的真實想法，且具有一定的科學性和探究性，為此選擇與學生共同探索，挖掘答案不一致的真正原因.

師：生3的答案和之前兩位同學的答案不一致，是前面兩位同學的結果不夠完善，還是生3的結果存在增根呢？這個確實是一個非常有價值的問題.問題到底出現在哪里呢？

生4：我感覺生3的解題思路和計算過程沒有問題，已知條件僅給出了tanα/2+π/4=－3，沒有給出α的范圍，所以很難確定α的終邊在哪一個象限.

師：條件中確實沒有給出α的范圍，那么α的范圍真的沒有辦法確定嗎？

生5：可以將tanα/2+π/4與特殊角的三角函數比較，逐步縮小角的范圍.由tanα/2+π/4=－3<－3，得kπ－π/2<α/2+π/4

師：分析得非常有道理！那么是什么原因使生3解題時出現了增根呢？

生6：問題應該出現在“由tanα/2+π/4=－3，利用二倍角公式得tanα+π/2=3/4”這一步的變換上，變換時擴大了α的范圍，從而出現了增根.

對于同一題，思考的角度不同，其解決方法也會有所不同，不過最終的結果是一致的.在日常教學中，教師應鼓勵學生嘗試從不同角度探索解決問題的方法，這樣可以有效激活學生的原認知，提高分析和解決問題的能力.

2 一題多變，培養思維的靈活性

例2 已知α是三角形的內角，且sin α+cos α=1/5，求tan α的值.

例2考查同角三角函數基本關系式及其應用，難度不大，教師先讓學生獨立求解，然后師生互動交流.

師：對于例2，大家是怎么想的？

生1：我是用方程的思想方法求解的，由sin α+cos α=1/5和sin2α+cos2α=1，解得sin α=－3/5，cos α=4/5，或sin α=4/5，cos α=－3/5.又α是三角形的內角，所以sin α=4/5，cos α=－3/5.所以tan α=－4/3.

師：非常好！根據同角三角函數的基本關系式，運用方程的思想方法順利解決了問題.對于該題，大家還有其他解題思路嗎？

生2：由（sin α+cos α）2=1+2sin αcos α=1/25，得2sin αcos α=－24/25<0.又α是三角形的內角，所以α為鈍角，則sin α>0，cos α<0.又（sin α－cos α）2=49/25，所以sin α－cos α=7/5，將其與sin α+cos α=1/5聯立，求得sin α=4/5，cos α=－3/5，所以tan α=－4/3.

師：很好！根據角的范圍判斷三角函數的符號往往是解三角函數問題的關鍵，解題時切勿忘記.

學生順利完成例2的解答后，教師給出如下變式問題：

變式 若tan θ=2，求sin2θ+sin θcos θ－2cos2θ.

此變式同樣考查“sin2θ+cos2θ=1”的靈活運用，將原式變為sin2θ+sin θcos θ－2cos2θ/sin2θ+cos2θ，將此式的分子分母同時除以cos2θ，轉化為關于tan θ的式子，進而將已知條件代入即可求得答案.

例2及變式求解后，教師引導學生對以上解題方法進行歸納總結，從而提高學生解決一類問題的能力.在此基礎上，教師繼續提出新問題：

（1）變式的條件還可以做怎樣的變形？如果將tan θ=2變為tan θ/2=2或3sin θ+cos θ=0或sin（3π+θ）=2sin3π/2+θ，該如何求解？

（2）變式的問題還可以做哪些變形？如果是2sin θ－cos θ/sin θ+2cos θ，1/cos2θ+2sin 2θ，sin 2θ－cos2θ/1+cos 2θ，又該如何求解？

通過以上變式，引導學生體會該類題型考查的核心內容是sin2θ+cos2θ=1，tan θ=sin θ/cos θ與“1”的靈活應用，題目雖然形式不同，但是所用的知識、思路與方法基本相同.這樣通過一題多變既能加深對相關知識、方法的理解，又能增強學生解題信心，提高學生解決問題的能力.

數學題目千變萬化，更換一個條件或結論就會成為一道新題.為了幫助學生跳出“題海”，教學中應注重對一些典型例題進行變式教學，這樣既能加深相關知識的理解，又能激發學生的探究欲望，提高學生的思維能力和學習能力，從而讓學生逐漸愛上數學學習[2].

3 結束語

在實際教學中，教師要通過一題多解與一題多變為學生提供更多的自主探究空間，以此幫助學生加深對所學知識的理解，培養良好的學習習慣和獨立的個性.

學生是課堂的主體.教學過程中，教師要尊重學生、相信學生，提供時間和空間讓學生主動參與課堂，切實提高教學有效性和學生數學能力.在實際教學中，教師既要進行充分的預設，又要及時捕捉精彩的課堂生成，以平等對話的態度了解學生的真實想法，共同研究解決問題的策略，激發學生參與課堂的積極性，促成深度學習.

總之，在解題教學中，教師切勿越俎代庖，應該充分發揮學生的主體價值，通過一題多解、一題多變教學提煉解題規律和解題方法，培養學生的創新、探究能力，提升教學有效性.

參考文獻：

［1］郭靖.基于核心素養的引導探究教學模式的探索與實踐——高中新教材不等式性質的教學案例[J].中文科技期刊數據庫（全文版）教育科學，2021（6）：168-170.

［2］陳光建，鄭日鋒.一花一世界 一題一天地——一節高考二輪復習的教學設計及反思[J].中小學數學（高中版）2013（4）：20-22.