基于弗賴登塔爾教育思想的“雙曲線定義”教學探究

［摘" 要］ 數(shù)學概念是學生運用數(shù)學知識解決問題的基礎，提升數(shù)學概念教學的有效性，落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是課堂教學的重要目標. 研究者基于弗賴登塔爾教育思想探討數(shù)學概念課的教學應“立足學生的數(shù)學現(xiàn)實，創(chuàng)新課堂導入”“搭建學生再創(chuàng)造的平臺，開展課堂探究”“創(chuàng)設數(shù)學化的探究條件，提升思維認識”“建構反思性認知結構，進行課堂拓展”，以深化學生對數(shù)學知識的理解，提升學生的數(shù)學思維能力.

［關鍵詞］ 弗賴登塔爾教育思想；數(shù)學化；雙曲線

數(shù)學概念是用簡練的語言對研究對象的本質(zhì)屬性的高度概括，是學生進行數(shù)學分析、推理想象、邏輯思考的基礎和前提. 因此，教師要加強數(shù)學概念的教學，深化學生對數(shù)學概念和數(shù)學思想的理解，帶領學生體驗知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，使學生真正實現(xiàn)知識結構的內(nèi)化. 弗賴登塔爾是20世紀最有影響力的數(shù)學教育學家之一，他提出的教育思想所蘊含的數(shù)學現(xiàn)實、數(shù)學化和再創(chuàng)造等思想對數(shù)學概念教學具有重要的指導作用. 本文以“雙曲線的定義”為例，基于弗賴登塔爾的教育思想探討數(shù)學概念教學，以提高教學的有效性，落實課程教育目標.

闡釋弗賴登塔爾教育思想

弗賴登塔爾認為，數(shù)學教學的根本目標不是傳授數(shù)學知識，而是讓學生學會如何運用知識. 課堂教學應該創(chuàng)造機會，讓學生在學習活動中增強信心，體驗知識發(fā)生和發(fā)展的過程. 為此，教學應堅持“數(shù)學現(xiàn)實”“數(shù)學化”以及“再創(chuàng)造”.

“數(shù)學現(xiàn)實”是指學生已有的數(shù)學知識基礎和結構. 新知的學習是以學生原有的學習經(jīng)驗和知識為基本前提的. 基于數(shù)學現(xiàn)實展開教學活動，就必然密切聯(lián)系教學內(nèi)容與生活實際. 教師連接教學內(nèi)容邏輯的起點與學生已有經(jīng)驗的起點，從而創(chuàng)新設計情境，找到新知的生長點，在現(xiàn)實情境中開展學習活動，使學生將所學知識應用于生活實際.

“數(shù)學化”是指學生能夠用數(shù)學眼光去觀察世界，學會用數(shù)學思維去思考現(xiàn)實世界中的各種現(xiàn)象，將數(shù)學知識進行內(nèi)化、組織和思考的過程. 由此教師要引導學生從具象的現(xiàn)實中抽象出數(shù)學符號，進入數(shù)學世界，形成數(shù)學概念或定理，并通過問題設計，引導學生將數(shù)學知識應用到實際問題的解決中，落實課程目標. 同時，教師還要引導學生在數(shù)學知識內(nèi)部進行知識的分類與整合、遷移與深化，幫助學生建立數(shù)學知識體系，培養(yǎng)學生數(shù)學想象、數(shù)學分析和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

“再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾教育思想的核心. 有效教學的過程就是引導學生再創(chuàng)造的過程，因此教學目標不僅僅是傳授知識，還要創(chuàng)設學生進行學習活動的平臺，引導學生在數(shù)學現(xiàn)實的基礎上互動交流與反思，經(jīng)歷分析思考、推理判斷和總結歸納，以及知識發(fā)生、發(fā)展的過程，最終形成新的數(shù)學現(xiàn)實.

基于弗賴登塔爾教育思想的教學案例

1. 立足學生的數(shù)學現(xiàn)實，創(chuàng)新課堂導入

弗賴登塔爾強調(diào)數(shù)學教學應遵循數(shù)學現(xiàn)實原則，立足學生已有知識基礎開展學習活動，提高學習的有效性. 因此，在教學“雙曲線的定義”這節(jié)課時，筆者結合學生學過的有關橢圓的定義知識導入新課，從新舊知識的銜接點出發(fā)，在已有的數(shù)學知識結構上探尋思維的生長點，引導學生積極開放地投入新知的學習活動中.

師：很好，根據(jù)生1的解析，我們可得動點M的軌跡方程為+=1. 今天我們將要學習一個新的數(shù)學概念——雙曲線，它具有怎樣的特點呢？

設計意圖 弗賴登塔爾教育思想認為，數(shù)學教學活動離不開學生已有的數(shù)學現(xiàn)實，在學生已有的數(shù)學知識的基礎上，教師采取相應的教學方法豐富和拓展學生的認識，從而提升學生的認知水平，擴大學生的認知范圍. 在學生具備橢圓的定義及其標準方程等數(shù)學知識的基礎上設計問題，既幫助學生復習有關橢圓的知識點，又引導學生拓展和應用數(shù)學現(xiàn)實，提高學生的認知水平，為學生學習新課做好鋪墊，實現(xiàn)有效的課堂導入.

2. 搭建學生再創(chuàng)造的平臺，開展課堂探究

弗賴登塔爾教育思想強調(diào)數(shù)學再創(chuàng)造原則，認為數(shù)學教學不是簡單地傳授已有知識，而是創(chuàng)造條件引導學生在思維活動中再創(chuàng)造相關的數(shù)學知識. 因此，在課堂導入的情境設計中，教師要重視引導學生觀察問題、思考問題，通過數(shù)學化的思考，探索數(shù)學規(guī)律，從而歸納數(shù)學結論，理解數(shù)學本質(zhì)，體驗數(shù)學知識形成和發(fā)展的過程. 在深度的思維活動中，學生建構知識網(wǎng)絡，實現(xiàn)知識結構的完善和思維的再創(chuàng)造，從而發(fā)展學生思維的創(chuàng)新性，幫助學生建構新的知識體系.

設計意圖 教學過程是在學生的數(shù)學現(xiàn)實的基礎上進行的拓展和應用. 通過原有問題的變式練習，在學生原有知識的基礎上引發(fā)認知沖突，從而激發(fā)學生探究的好奇心，為進一步的深入探究做好準備.

3. 創(chuàng)設數(shù)學化的探究條件，提升思維認識

師：根據(jù)剛才的探求，我們由點M與兩個定點C，C的距離之和與距離之差可知點M運動的軌跡不是橢圓，那么它運動的軌跡是什么圖形呢？

生3：根據(jù)幾何畫板的演示，我們可以發(fā)現(xiàn)點M運動的軌跡靠近點C，并且關于x軸對稱，是一條曲線.

問題3 如圖3所示，將問題2中的“動圓M與圓C內(nèi)切，與圓C外切”改為“動圓M與C外切，與C內(nèi)切”，其余條件不變，則動圓M圓心運動的軌跡方程又是什么？

生4：根據(jù)題干條件我們可以求出動圓圓心M與點C，C的距離，通過作差法可知動點M與兩個定點C，C的距離之差是一個定值，此時動點M運動的軌跡和問題2中的軌跡是同樣一條曲線嗎？讓我們通過幾何畫板繼續(xù)演示一下.

生5：根據(jù)幾何畫板我們看到，問題3中的動點M的軌跡與問題2中的動點M的軌跡不同，這是一條相對靠近點C的關于x軸對稱的曲線.

師：同學們觀察一下這兩條曲線，它們有什么共同特征呢？

生6：動點M的這兩條軌跡關于y軸以及原點O對稱.

師：觀察得非常仔細，我們將這樣的曲線稱為“雙曲線”.

設計意圖 弗賴登塔爾教育思想強調(diào)“數(shù)學化”的原則，即將所學的數(shù)學知識進行分類組織，從而建構數(shù)學模型，在頭腦中形成數(shù)學概念的知識結構. 問題2和問題3在問題1的基礎上通過改變已知條件進一步引導學生探究動點的運動軌跡. 根據(jù)學生已有的關于圓和橢圓的知識進行探究，由動點與定點之間的距離判斷動點的運動軌跡，從而不斷深化學生的思維，實現(xiàn)深度學習. 在本例的教學中，充分借助幾何畫板進行動態(tài)演示，使得學生不僅從數(shù)據(jù)和圖形分析中了解了雙曲線的定義，還從直觀上感受到了雙曲線的結構，為下一步進行抽象的探究做好了準備.

師：根據(jù)問題2和問題3的探究，你能得到什么結論？

生7：若動點M與兩個定點C，C的距離之差的絕對值是一個定值，則動點M的軌跡為雙曲線.

師：很好，我們能否與橢圓的定義進行類比，嘗試將雙曲線的定義概括得更一般化呢？

學生通過討論交流，并在筆者的指導下完善定義.

生8：若平面內(nèi)的點與兩個定點F，F(xiàn)的距離之差的絕對值為一個常數(shù)，則這個點的軌跡是雙曲線，定點F，F(xiàn)叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距.

設計意圖 在教學中，教師要為學生的再創(chuàng)造搭建平臺，促進學生思維的發(fā)展. 筆者通過連續(xù)追問，引導學生概括結論，并與橢圓的定義進行類比，將動點M的軌跡引申為一般性的雙曲線概念，幫助學生理解數(shù)學概念的本質(zhì)，完善認知結構.

4. 建構反思性認知結構，進行課堂拓展

弗賴登塔爾教育思想認為，數(shù)學學習的核心是反思，提升反思能力是發(fā)展數(shù)學思維的重要環(huán)節(jié). 學生進行數(shù)學概念的學習是一個由淺入深、逐層遞進的過程，教師需要設計環(huán)環(huán)相扣的問題才能引導學生實現(xiàn)學習能力和反思能力的提升，從而發(fā)展學生思維的深刻性、發(fā)散性，并引導學生理解數(shù)學知識的本質(zhì). 因此，在數(shù)學概念的教學中，教師要精心設計教學活動，明確教學的重難點，并對學生進行針對性的指導，引導學生理解數(shù)學概念的內(nèi)涵，體會數(shù)學概念形成和發(fā)展的過程，真正理解數(shù)學概念背后的邏輯和規(guī)律.

設計意圖 當學生掌握了雙曲線的本質(zhì)屬性后引導學生反思自己給出的雙曲線的定義，最終完善雙曲線的定義. 此過程不僅幫助學生形成了反思性認知結構，還引導學生完整和準確地表達了數(shù)學概念.

綜上所述，在弗賴登塔爾教育思想的指導下開展數(shù)學概念教學活動，要依托學生的數(shù)學現(xiàn)實設計教學活動，使學生在已有經(jīng)驗的基礎上自然地展開新知的學習和探索. 教師要注重搭建知識“再創(chuàng)造”的平臺，引導學生理解數(shù)學本質(zhì)，幫助學生建構和完善知識體系，促進學生數(shù)學思維能力的提升，真正落實課程目標對培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要求.