注重“同課異構”分析，促進概念自然生成

［摘" 要］ 更新教育理念、提升教育教學質量是新課改對教師提出的要求，也是時代發展的必然趨勢. “同課異構”如同“你有一個思想，我有一個思想，交換后每人都有兩個思想”，這是一種智慧交流，具有取長補短、長善救失等作用. 文章以“偶函數”的概念教學為例，對幾位教師的教學片段進行分析，并從“自然生成”的角度提出相應的改進措施.

［關鍵詞］ 同課異構；概念教學；自然生成

“同課異構”是教師間進行互動與交流的平臺，也是促進教師成長的主要手段. 每一個教師受認知水平、教學經驗、社會閱歷等因素的影響，思維模式、教學風格都不一樣，對于同一堂課的教學設計也大相徑庭. 為了增強教師思維的廣度與深度，可通過一些教研活動的開展，引領教師多維度感受“同課異構”的多重思維，讓教師在不同教學策略與風格中汲取好的經驗，以提升自身的業務水平與教學質量.

筆者在某次教研活動中，觀摩三位教師的“偶函數”的概念教學后頗有感受，就此談一些拙見.

課例展示

函數的奇偶性包含了由“形”的維度刻畫函數圖象的“對稱性”，還涵蓋了由“數”的視角刻畫函數值在特定情況下具有怎樣的規律特征. 本章節的教學，不僅能培養學生理解與推理的能力，還能有效滲透數形結合思想. 下文是筆者對三位教師在“偶函數”概念教學上存在的一些問題的分析.

1. 缺乏過程，直接給出定義

【教師甲的教學】

如圖1所示，觀察函數圖象，回答以下問題：（1）兩個函數圖象之間存在什么共同特征？（2）觀察函數值的對應表（見表1、表2），說說這些共同特征是如何體現的.

當學生表達完自己的觀點后，教師甲沒有與學生進行過多的互動，而是直接從“數”與“形”兩個維度板書結論，并在板書的基礎上，對偶函數的概念進行補充說明，學生被動接受了什么是偶函數.

板書后教師甲的補充說明：函數f（x）=x2存在f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），f（-3）=9=f（3），我們稱f（x）=x2是偶函數. 然后將偶函數的概念直接用投影的方式呈現給學生：一般情況下，若函數f（x）的定義域內的任意一個x，都存在f（-x）=f（x）的情況，則f（x）就是偶函數.

教學分析 教師甲以學生的認知經驗為教學起點，自然過渡到偶函數的概念，從設計本身來看沒有什么問題，但直接展示圖象、給出結論、補充定義的行為則顯得過于倉促，學生缺乏自主探究過程，難以從真正意義上理解什么是偶函數.

這種教學方式看似豐富——有問題的驅動、有圖有表，還應用了多媒體，但缺乏師生互動與交流的過程，學生的思維未受到啟發，這與直接呈現定義并無多大區別. 學生沒有經歷提煉定義的過程，無法從本質上理解偶函數的定義. 這種教學方式，可以稱為流于形式的教學方式，與傳統的“注入式”教學方式無異.

2. 忽視學情，教學起點過高

【教師乙的教學】

教師乙呈現二次函數f（x）=x2的圖象后，要求學生進行短暫的觀察，而后就自顧自地進行了如下講解.

“函數圖象關于y軸對稱”可以從點的角度出發進行描述，即在函數圖象上任意取一點P，該函數圖象上必存在一點P′，點P與點P′之間是關于y軸對稱的關系；也可以是在函數圖象上任意取一點P，點P關于y軸對稱的點P′也在這個函數圖象上.

提出問題：假設點P（x，y），（1）求點P關于y軸對稱的點P′的坐標；（2）此時，點P與P′的坐標具有怎樣的等量關系？（3）點P與P′之間存在怎樣的關系？

解析：P′（-x，y），y=f（-x）=（-x）2=x①. 因為點P（x，y）位于函數f（x）=x2的圖象上，所以y=f（x）=x②. 根據①②兩式可得f（-x）=f（x）.

因為點P是位于函數f（x）=x2圖象上的任意點，所以對于函數f（x）=x2，其定義域R內的任意實數x均存在f（-x）=f（x）的情況.

借助多媒體，展示偶函數的概念：一般情況下，若函數f（x）的定義域內的任意一個x，都存在f（-x）=f（x）的情況，則可確定函數f（x）為偶函數.

教學分析 這種教學方式從理論上來看沒有問題，教師企圖通過對函數圖象上點與點的對應關系，引導學生發現函數的奇偶性，這種設計理念顯然已經觸碰到了函數的奇偶性的本質. 對于學生而言，這種教學方式需要有較高的理解能力、觀察能力與抽象概括能力，才能從真正意義上領悟知識的本質.

顯然，這種教學方式與學情并不相符，大部分學生的思維水平都沒有達到這樣一個高度. 因此，這是一種忽視學情，教師“一廂情愿”的教學方式，與學生的實際認知并不匹配，難以達到預期的教學效果.

3. 浮光掠影，忽視知識本質

【教師丙的教學】

教師丙以問題串的方式，推動學生思考：①如何基于數學語言的方式對函數對稱性進行描述？②無數個點構成函數圖象，那么畫函數圖象的對稱性是否可借助“對稱點”進行表達呢？③如果到函數f（x）=x2的圖象上取點P（x，y），那么與點P關于x軸對稱的點P′（-x，y）位于哪里？

學生獨立思考，并回答問題. 對于問題③，師生對話如下：

生1：點P′（-x，y）位于函數f（x）=x2圖象上.

師：對于點P（x，y）有沒有特殊條件？

生2：沒有，點P（x，y）只要在函數f（x）=x2的圖象上即可.

師：那我們就用幾何畫板的演示功能，一起驗證一下大家的說法是否正確.

（教師操作）

師：從幾何畫板的演示來看，函數f（x）=x2的定義域R內的任意實數x，存在f（-x）=f（x）恒成立的情況，我們將滿足這種關系的函數稱為偶函數.

（投影偶函數的概念）

教學分析 將多媒體融入數學教學中，是一種較好的教學手段，尤其是幾何畫板的動態演示功能，能為學生提供直觀的視覺效果，讓學生對知識產生更加深刻形象的認識. 但是，該教學片段，教師單憑借幾何畫板的演示功能展示函數的奇偶性的定義，顯然不夠深入，也缺乏數學教學該有的嚴密性.

從數學教學的角度分析，函數教學絕不可只關注部分特殊圖象的淺層描述，這種浮光掠影的教學方式，不僅無法帶領學生觸摸到概念的本質與內涵，還難以培養學生科學、嚴謹的品質.

從上述三位教師的“同課異構”來看，他們對偶函數的概念教學的處理方式不一樣，每一種處理方式都具有一定的合理性與不足之處，尤其是對教學細節的處理，確實存在一定的不足. 這三種教學方式，都使得偶函數概念的生成過于生硬，缺乏一種水到渠成的流暢感. 這三種教學方式，都不利于學生自主建構、領悟偶函數的本質，無法促進學生思維的理性重建.

完善設計

1. 教學分析，尋求突破

教材從“數”與“形”兩個角度對函數的奇偶性的概念進行了概括，從“形”的角度來看，偶函數的圖象具有關于y軸對稱的特征，而奇函數的圖象則具有關于原點對稱的特征；從“數”的角度來看，偶函數的自變量x取一對相反數，對應的函數值相等，而奇函數的自變量x取一對相反數，對應的函數值也互為相反的關系.

于學生而言，教材只是用文字語言從“數”與“形”兩個角度表述了奇函數和偶函數的概念. 單從概念出發，學生基本能從“數”的角度理解函數的奇偶性特征，但對函數的奇偶性的圖象認知、符號推理與言語表達等，都存在較大的欠缺. 因此，文字定義難以激發學生對概念深層次的理解，若教師不加以引導，則學生對函數的奇偶性的認識將停留在表淺、單一的階段.

其實，深層次理解函數的奇偶性，能讓學生學會用函數來刻畫這個豐富的世界，用函數來表達生活現象的一些變化規律. 同時，也能實現從局部研究過渡到整體研究的目的，為后繼學習更復雜的知識奠定基礎.

綜上分析，“形—數—概念生成”是本節課的教學重點與難點，想要實現這一目標，并非帶領學生簡單地觀察幾個特殊圖象，探尋幾個特殊點間的關系，或借助多媒體進行單一的演示就能順利完成，而是需要教師結合教學內容與學情，利用多種教學手段，引導學生由表及里、從具體到抽象，感知概念的自然構建的過程，從真正意義上領悟函數的奇偶性的本質.

這是概念教學的“多維構建”理論，是從多個維度展示概念的生成過程，可以讓學生從本質上認識知識，自主抽象出概念. 常見的方法有：操作實踐—觀察分析—大膽想象—嚴謹驗證—抽象概括. 此過程遵循“整體—個體—整體”與“直觀—抽象”的規律.

2. 多維構建，自然生成

（1）剪紙操作，體驗圖案的對稱性.

此過程可分兩步實施：第一步，借助多媒體，展示一幅簡單易操作的軸對稱圖形，要求學生用手中的剪刀與白紙剪出與屏幕展示相同的圖案；第二步，要求學生在展示自己作品的同時，介紹剪紙的過程.

設計意圖 剪紙活動的開展，會讓學生自然而然地形成兩大陣營“畫圖—剪紙”與“對折—畫圖—剪紙”，從對比中感知第二種剪紙方法的把握度更準確，從中體驗到剪紙的對稱美.

（2）親歷折紙，體驗圖象的對稱性.

要求學生進行折紙實驗，此環節分三步：第一步，教師課前為所有學生準備好關于y軸對稱的函數圖象；第二步，要求學生將函數圖象沿著 軸進行對折；第三步，要求學生觀察對折后的圖象，收獲感悟.

設計意圖 通過動手操作，讓學生直觀感知圖象的對稱性，并充分體驗位于y軸左側的所有點，對折后都能與y軸右側的點重合，且無一例外，反之亦然.

（3）動態演示，暴露知識本質.

第一步，在y軸左側的函數圖象上任意取三點，分別記作A，A，A，將該函數圖象沿y軸對折，用鉛筆對A，A，A所對應的y軸右側的位置戳洞；分別標記為A′，A′，A′，感知A與A′，A與A′，A與A′之間相對應的關系.

第二步，把三對點分開進行分析，發現每一對點在橫坐標上都是互為相反的關系，那么這些對應的點在縱坐標上又是什么關系呢？若取函數圖象上的其他點，重復以上操作過程，大家所發現的規律還存在嗎？

設計意圖 通過折紙活動的開展，讓學生對點與點的重合有直觀認識，在此基礎上，再引導學生將目光轉移到“相對應的點在坐標上的關系”，由此獲得：自變量在互為相反數的情況下，函數值相等.

此操作過程起點低、臺階小，符合學生的認知水平. 學生帶著問題操作，更容易理解知識的本質，概念的生成便水到渠成. 此時，從“數”的角度刻畫函數圖象的特征，基本接近尾聲，偶函數的定義也隨著操作活動的開展而呼之欲出.

（4）提煉總結，促進概念生成.

師：通過以上操作探究，我們發現了一些量之間的關系，這些關系我們該如何用數學式來表達呢？

隨著問題的驅動，無須教師過多引導，學生很快就能自主總結出偶函數的概念.

設計意圖 通過教學活動的開展與操作實踐，學生不僅對關于y軸對稱的函數圖象有了深刻形象的認識，還從宏觀的角度了解到了偶函數的內涵，概念的提煉與總結順理成章.

此教學設計，引導學生經歷了“圖象的重合—點的重合—點的坐標關系”的感知，偶函數的定義在逐層遞進的分析中脫穎而出，這既是對學生原有認知結構中的二次函數知識的溫習，又是滲透函數思想的過程，此過程對發展學生數學學科核心素養具有深遠的影響.

總之，每一個概念都有自己獨特的形成背景與過程，教師應站在一個宏觀的角度，帶領學生從多維度去觀察與分析概念的本質，讓概念的生成更具科學性. 同時，在教育迅速發展的今天，教師作為傳道授業解惑者，應關注“同課異構”的作用，在理解教材的基礎上，結合學情不斷突破教材的限制，把抽象的知識具體化，讓每一堂課都體現出清新自然之感，從真正意義上促進學生認知體系的發展與數學學科核心素養的提升.

作者簡介：劉真（1984—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.