一道2023年高考題的多解和思考

劉社新

(鹽城市濱海縣明達中學,江蘇 鹽城 224599)

以平面向量為背景的題目作為高考壓軸題雖然不多,但是每次出現(xiàn)都很新穎,感覺似曾相識,又相去甚遠,入手難,推進更難.這是因為平面向量具有代數(shù)和幾何雙重性,往往使題目具有迷惑性、開放性[1].

1 試題呈現(xiàn)

2 總體認識

本題作為選擇壓軸題自有其獨到之處,具體表現(xiàn)為:首先,背景知識豐富,有圓與直線相切的位置關系,圓與直線相交的位置關系,弦中點,數(shù)量積運算和最值;其次,表象上雖屬于常規(guī)題,卻很有新意,融合度高,思路開闊,高度體現(xiàn)了高考的改革風向:注重數(shù)學思想、方法的考查.

3 解法探究

思路1 按照數(shù)量積的定義計算,從題設中尋找兩個向量的模,引入角來聯(lián)系向量的模與向量夾角,構(gòu)造三角函數(shù)求最值[2].

解法1如圖1,連接AO,DO,因為直線PA與圓O相切于點A,所以AO⊥PA.

圖1 解法1示意圖

所以△PAO為等腰直角三角形.

設∠OPD=β,當直線PA,PD在PO同側(cè)時,記為β負角;當直線PA,PD在PO異側(cè)時,記為β正角.

=cos2β-sinβcosβ

故選A.

評析本解法容易想到,但是角β的范圍容易失誤,誤判為銳角,從而取錯最值.對于正負角的考查實屬精辟,也是創(chuàng)新,體現(xiàn)了學以致用的教學精髓.以前不曾在正負角這個知識上做文章,或者說,以前應用較為淺顯.

思路2 用特值法固定點A和點P,為引進直線參數(shù)方程構(gòu)造條件,將向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題.

解法2 不失一般性,如圖2,依據(jù)題意,可令A(0,1),P(1,1).

圖2 解法2示意圖

易得圓O:x2+y2=1,

①

②

將②代入①整理,得

t2+2(sinα+cosα)t+1=0.

所以t1+t2=-2(sinα+cosα).

易知AP∥x軸.

=1×(sinα+cosα)×cosα

=cos2α+sinαcosα

故選A.

評析本解法處理模長和夾角都顯得簡捷,當然概念性更強.將直線BC的傾斜角直接轉(zhuǎn)化為向量的夾角,比解法1簡單,也使后續(xù)運算方便許多.參數(shù)方程的引入是本解法的關鍵.

思路3 抓住直線與圓相切,以及圓的中點弦,利用垂徑定理,易知A,P,D,O四點共圓,利用平面向量的坐標運算解題.

解法3 如圖3,以線段PO所在直線為x軸,線段PO的中垂線為y軸,新的原點記為E,建立平面直角坐標系.

圖3 解法3示意圖

連接AO,因為直線PA與圓O相切于點A,

所以AO⊥PA.

因為D為BC中點,

易得A,P,D,O四點共圓,記為圓E.

故選A.

評析這種方法變換了坐標系,被研究元素的坐標具體化、簡單化,從而使相關向量坐標可視化,于是數(shù)量積就水到渠成.將抽象復雜問題簡單化,需要較高的邏輯推理能力,從而簡化運算.

思路4 本題中,點P的位置不影響問題的本質(zhì),因此可以特殊化,從而可以確定點A,于是可以把問題歸結(jié)為動直線BC與圓O的相交關系下的函數(shù)問題.

因為直線BC與圓O相交,

所以Δ=8k4-4(1+k2)(2k2-1)>0,

解得-1

故選A.

評析本解法是圓錐曲線的通解通法,借助導數(shù)求出最值,平時教學加強訓練,既對小題有幫助,又對解析幾何的壓軸大題有支撐作用.

思路5 處理復雜函數(shù)是學生的難點,解法4中處理函數(shù)最值也可以從均值不等式入手,構(gòu)造均值不等式是關鍵.

解法5 結(jié)合解法4,

因為-1

評析這類函數(shù)最值是常見模型,處理過程中要注意三點:一是定義域的限制,二是定值(常數(shù))的構(gòu)造,三是當均值不等式失效的情況下,及時利用對勾函數(shù)補救.這個問題可以衍生出其他類型的最值問題.

以上每種類型的處理辦法不盡相同,有興趣的同仁可以仔細研究.

4 高考鏈接

參考答案:B.

5 結(jié)束語

突破高考壓軸題要在日常教學中下功夫,尤其不能有畏難思想,比如遇到“難題”“新題”就因為害怕而放棄,因為下次可能不再遇見就僥幸過關,因為耗時較多就擱下,等等.事實上,只有加強耐挫力的培養(yǎng),學生才能提高學習自信心.通過一定次數(shù)的磨礪,所謂的難題也就在感覺上變得容易.否則,學生的應試能力節(jié)節(jié)敗退,高端題害怕,中檔題也擔心.

突破高考壓軸題要在基本功上下功夫,不能搞套路化訓練.因為基本功扎實了,思路就開放了,邏輯就連貫了,運算就準確了,速度也自然提升了.反之,被灌輸一些套路的學生遇到新情景、新問題就只能束手就擒,無計可施,在考場上情緒激動,影響整場考試心理,這就是常說的“平時學得很好,高考沒發(fā)揮出來”.本題中,求函數(shù)的最值需要學生良好的基礎,無論是三角出口,還是分式函數(shù)出口都是日常教學的重點.