對一道線段比值為定值問題的深入探究
——以2023年3月清華中學生標準能力測試第21題為例

王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關中學,安徽 合肥 231600)

高中新課標突出對學生數學核心素養的考查,而圓錐曲線成為考查邏輯推理能力和數學運算的重要載體.其中有關“定”的問題在高考和模考中頻繁出現,主要包括了動直線過定點,證明線段長、面積、斜率和積、線段比值為定值等問題.定值問題的特征是“定”,而與“定”相對的是“動”,因而定值問題的本質就是尋找運動變化過程中的不變性.正如張奠宙教授所言:數學中到處都是變與不變的矛盾統一,數學研究變化,卻以找到其中的不變性作為歸宿.尋找并欣賞數學中無處不在的不變性質,領略不變量和不變性的內在魅力,是把握數學的鑰匙之一.下面以2023年清華中學生能力測試第21題為例進行探究.

1 考題呈現

圖1 2023年清華中學生能力測試第21題

(1)求雙曲線C的方程;

分析該題考查了雙曲線的標準方程、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系以及線段定值問題,檢驗學生分析問題和解決問題的能力,也考查了學生數學運算、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.考題設計精巧、內涵豐富,是一道有研究價值的好題.

2 解法探究

視角1 本題通解是直曲聯立結合設而不求思想,分別求兩條線段的長度,再消去參數即可.

5(kx+3)2-4x2=20.

化簡,得(5k2-4)x2+30kx+25=0.

所以PQ中垂線方程為

視角2 考慮分子是焦點弦長,故使用焦半徑公式.分母可用點差法或垂徑定理處理,從而無需直曲聯立來解決,這樣可以節約運算量.

解析2設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點為(x0,y0),故由雙曲線的焦半徑公式可得:

|PQ|=|FP|+|FQ|=(ey1-a)+(ey2-a)=e(y1+y2)-2a=3y0-4.

又因P,Q均在雙曲線上,故

兩式相減,得

視角3 考慮到直線l過定點F,故而可考慮直線的參數方程,利用其幾何意義處理該題.

5(3+tsinθ)2-4(tcosθ)2-20=0.

整理知(5sin2θ-4cos2θ)t-30sinθ·t+25=0.

所以|PQ|=|tP-tQ|

①

又PQ中點M對應的

②

即(t1-t2)(1+t1t2)=0.

③

又因PQ中點M為

④

從而將③④代入比值式得

3 一般性推廣

波利亞曾說:“沒有任何一個題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做.[1]”細品解題過程及結論,筆者發現第(2)問的解答耐人尋味,值得探究.于是筆者思考,當雙曲線為特殊的5y2-4x2=20時,線段TF和PQ比值為定值,那么對于一般雙曲線b2y2-a2x2=a2b2,線段TF和PQ比值是否仍為定值?當雙曲線焦點在x軸時呢?另外能否類比到橢圓和拋物線呢?進一步還能推導出哪些拓展結論呢?基于以上思考,筆者探究得到如下結論:

可以聯想到,將焦點在y軸上的雙曲線順時針旋轉90°,則可得到相似結論:

證明設P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點(x0,y0),因直線l過點F,故設l:y=k(x-c),與已知雙曲線b2x2-a2y2=a2b2聯立,消去y,得

(b2-a2k2)x2+2a2ck2x-a2c2k2-a2b2=0.

故由弦長公式,得

⑤

所以線段PQ的中垂線方程為

⑥

結論1證法類似結論2,這里略.

再由特殊到一般的探究思路,假如將直線l所過定點F推廣到y軸上一般的定點N(0,n),其他條件不變,那么線段NT和PQ的比值是否仍為某定值呢?

這里仍以雙曲線b2y2-a2x2=a2b2為例,聯立l:y=k(x-n)和b2y2-a2x2=a2b2消去y,可由韋達定理和弦長公式得

從而知

另外還可探究當點M為線段PQ的三等分點或其他等分點時,兩線段比值是否為定值?

礙于篇幅,這里略.

4 類比推廣

結論1和結論3的證法類似于結論2,這里略.

圖2 結論4幾何圖

⑦

⑧

對于拋物線我們還可以進一步進行拓展,得到一些更深入的結論,這對于掌握此類問題的性質和培養學生的探究意識大有裨益.

圖3 結論5幾何圖

證明因MR∥FT,而由結論4知

又線段MR的長度

所以|MR|=|FT|.

從而四邊形MRFT為平行四邊形.

結論6 一般地,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,不平行于y軸的直線l過點F與拋物線C交于P,Q兩點,PQ的中垂線交x軸于點T,過P,Q兩點作準線的垂線,垂足分別為A,B,若AB的中點為R,PQ的中點為M,則RF⊥PQ且線段RM中點在C上[3].

另外,我們還可探究對于橢圓和雙曲線是否有類似結論,感興趣的讀者可進一步進行探究.

5 結束語

由特殊到一般是數學研究的一種常用方法.教師在實際教學中,在解決這些特殊問題后如能加以深入思考和探究,則必能從一類題型拓展到一種方法,由掌握一種方法到解題能力的提升,最終能夠將這種能力化為學生的數學素養.