多邊形的內角和

◎相 輝

周末，動物王國的思維互動開始了。密斯特羊說：“你們已經知道三角形的內角和是180°，那還能想出辦法求四邊形的內角和是多少嗎？”

機靈猴跳出來說：“長方形和正方形的四個內角都是90°，所以四邊形的內角和一定是90°×4=360°。”

密斯特羊追問道：“是不是所有的四邊形的內角和都是360°呢？大家有什么辦法來驗證這個猜想呢？”

小動物們紛紛拿出樹枝在地上畫了起來。不一會兒，聰明的乖乖兔指著地上的圖形說道：“我把任意四邊形的兩組對角連上線，這時四邊形就被分成了四個小三角形，每個小三角形的內角和是180°，四個三角形的內角總和就是180°×4=720°，中間交叉部分的四個內角圍成了一個周角，是360°，且不屬于四邊形的內角，應該去掉，所以四邊形的內角和是720°-360°=360°（見圖1）。”

圖1

小動物們都給乖乖兔豎起了大拇指。這時文靜的小鹿指著地上的圖說：“我把任意四邊形分成了三個三角形，每個三角形的內角和是180°，所以三個三角形的內角總和是180°×3=540°，其中有三個角組成了一個平角，是180°，這三個角也不屬于四邊形的內角，應該去掉，所以四邊形的內角和是540°-180°=360°（見圖2）。”

聽完小鹿的講解，小動物們又紛紛鼓起了掌。這時小松鼠從樹上跳了下來，它說：“我連接了一條對角線，把任意四邊形分成了兩個三角形，所以任意四邊形的內角和是180°×2=360°。（見圖3）”

圖3

密斯特羊說：“你們真會思考，想出了不同的方法來證明四邊形的內角和是360°。這三種方法中，小松鼠的思路比較簡捷，就是只從一個頂點向不相鄰的頂點連線，把多邊形分成幾個三角形。你們能像小松鼠這樣求出五邊形和六邊形的內角和嗎？”

大熊晃晃悠悠地過來說：“我把五邊形分成了三個三角形，所以五邊形的內角和是180×3=540°（見圖4）。”

圖4

小熊也不甘示弱地說：“我把六邊形分成了四個三角形，所以六邊形的內角和是180°×4=720°（見圖5）。”

圖5

憨厚的小牛搖了搖尾巴說：“通過上面大家的思考，我發現可以把多邊形分成若干個三角形，并且分成的三角形的個數都比多邊形的邊數少2。分成了幾個三角形，多邊形的內角和就有幾個180°，也就是多邊形的內角和=180°×（邊數-2）。”

密斯特羊點點頭，滿意地說：“當遇到問題時，我們可以從最簡單處入手，有序思考，把新的問題轉化成能夠解決的問題。”