多直流饋入受端電網的最大受電能力估計方法

李建華，王國騰，陸建宇，張怡靜，黃 瑩，徐 政

（1.國家電網有限公司華東分部，上海 200120；2.浙江大學電氣工程學院，杭州 310027）

電源中心和負荷中心通常存在分布不均衡的問題，為了解決此問題，有學者提出利用基于電網換相換流器的特高壓直流輸電技術實現大容量遠距離的電力資源轉移[1-2]。隨著特高壓直流系統數量和容量的增大，受端電網逐漸演變成直流功率高滲透的多直流饋入受端電網[3]。和同步機的交流電壓響應特性不同，電網換相換流器LCC（line commutated converter）不能為交流母線提供電壓支撐。在交流母線電壓跌落后，LCC甚至會增大吸收無功功率，進一步惡化系統電壓穩定性[4-5]。電壓調節不同于頻率調節，其具有分布式特點。因此，對于某一負荷母線或換流母線而言，遠端的同步機難以為其提供電壓支撐。考慮到基于LCC 的高壓直流HVDC（high voltage direct current）輸電系統（即LCC-HVDC）的靜態電壓穩定約束，直流饋入功率可能無法達到預期目標，確定受端電網可接受的最大直流饋入功率是保障多直流饋入受端電網安全穩定運行的重要前提。

在靜態電壓穩定約束下估計多直流饋入受端電網的最大受電能力，其前提是找到一種可以準確評估多直流饋入受端電網靜態電壓穩定性的方法。目前，學者們大多采用電網強度的概念來衡量受端電網的靜態電壓穩定性，包括廣義短路比[6]、綜合短路比[7]及戴維南等效阻抗[8]等。這類評估方法也被廣泛應用于電網的運行與規劃中，例如文獻[9]利用廣義有效短路比建立了聯合優化直流落點和機組出力分配的模型；文獻[10]基于廣義短路比與光伏接入容量間的靈敏度，提出了光伏多饋入系統的并網點容量優化方法；文獻[11]研究了多饋入短路比與直流最大傳輸功率的關系；文獻[12]將廣義短路比應用于電網結構的規劃當中。基于短路比和等效阻抗的方法通常需要將交流系統等值為帶阻抗的電壓源，而直流系統則采用詳細模型，進而給出系統的靜態電壓穩定性。這類方法本質上是研究換流站母線的電壓穩定性，并不能反映全局穩定性?？紤]到直流系統與負荷之間的相互作用，多直流饋入受端電網負荷節點的靜態電壓穩定性也需要被重點關注。

目前，無功規劃[13]、薄弱區域識別[14-15]和輸電能力評估[16-18]是受端電網靜態電壓穩定性分析的重要方法。然而，現有方法忽略了受端電網存在最大可接受直流功率限制的問題。也就是說，當直流饋入功率超過一定閾值時，考慮靜態電壓穩定約束的最優潮流、機組組合模型可能都是無解的。因此，受電能力的估計是多直流饋入受端電網首先需要解決的問題。目前尚未有公開文獻對靜態電壓穩定約束下多直流饋入受端電網的最大受電能力進行研究。

為解決這一問題，本文提出一種靜態穩定約束下多直流饋入受端電網的最大受電能力估計方法，從而為電網運行提供參考，避免直流饋入功率占比過高帶來的受端電網靜態電壓失穩問題。該估計方法由兩部分組成：①考慮靜態電壓穩定約束的優化調度模型，利用奇異值理論刻畫多直流饋入受端電網的靜態電壓穩定約束；②最大受電能力估計方法通過將優化調度模型分解成多個線性優化模型，便于調用商業求解器快速求解，并基于優化調度結果給出最大受電能力估計值。

1 系統模型

多直流饋入受端電網的拓撲結構示意如圖1所示。同步發電機的開機方式決定了交流系統的強度，同時直流功率的變化也會改變直流系統和交流系統之間的強弱關系，進而影響系統的電壓穩定性。

圖1 多直流饋入受端電網示意Fig.1 Schematic of multi-infeed receiving-end power grid

交流系統中各個元件的模型可以參考文獻[19]，這里不再贅述。下面主要介紹本文采用的直流系統模型。常用的逆變側LCC 的典型結構為12脈波換流器，如圖2（a）所示。本文重點分析受端電網最大受電能力的估計，因此只考慮LCC作為逆變站的模型。在系統對稱平衡運行條件下，LCC交流側等效電路模型如圖2（b）所示，其可以用代數方程組描述為

圖2 逆變側LCC 拓撲結構示意Fig.2 Schematic of LCC topological structure on inverter side

式中：Pdc、Qdc分別為LCC 向交流側輸出的有功功率和無功功率；idc為LCC 直流側直流電流；μ為LCC 換相角；β為越前觸發角；γ為關斷越前角；Xtr為LCC 的漏抗；Us為交流母線電壓；k為換流站的變比；Nb為六脈橋的數量；Ldc為平波電抗器的電感；udc為直流電壓。

由圖2（b）和式（1）～（4）可知，LCC 交流側等效電路為代數方程描述的可變功率支路。而LCC 直流側等效電路則為可變直流電壓源串聯阻抗形式，其等效電路模型如圖2（c）所示，其可由一階微分方程來描述，即

2 基于奇異值理論的電壓穩定判據

2.1 電壓穩定判據

一般來說，電力系統動態模型可以用微分代數方程組來描述，即

式中：x為狀態變量組成的向量；y為代數變量組成的向量；f為微分方程組；g為代數方程組。對式（6）線性化可得

式中：Δx為向量x的變化量；Δy為向量y的變化量。

在任意時刻有

式中，Jgy和Jgx為系數矩陣。對于系數矩陣Jgy和Jgx，?gi/?yj為Jgy的第i行第j列元素，?gi/?xj為Jgx的第i行第j列元素，gi為第i個代數方程，xj和yj分別為第j個狀態變量和代數變量。

傳統雅可比矩陣是通過潮流方程線性化得到的，在潮流方程中LCC被處理成PQ節點，沒有考慮到直流系統自身的電路特性。而本文中LCC不再是一個恒定的PQ節點，在雅可比矩陣中考慮了LCC自身特性的準穩態電路。因此，這里將矩陣Jgy稱為擴展雅可比矩陣，擴展是指對直流準穩態模型進行擴展，即det(Jgy)=0，此時狀態變量x一個很小的變化就會引起代數變量y出現很大的變化。在電力系統中，如果矩陣Jgy奇異，說明發電機轉速或功角等狀態變量的小擾動會引起節點電壓大幅跌落，即電壓失穩。相比于同步機轉子運動，節點電壓和注入電流的響應時間很短。在機電暫態時間尺度下，電網絡暫態過程可以被近似忽略。將電力系統被等效成式（6）所示的模型，此時系統電壓穩定性等價于矩陣Jgy的奇異性。

2.2 擴展雅可比矩陣的構造

擴展雅可比矩陣Jgy的構造僅和系統數學模型中的代數方程有關。系統中的代數變量也可以分為動態元件控制系統內部變量和電網絡相關變量兩類。其中，電網絡相關變量一般指動態元件的注入功率和交流母線電壓。電網絡相關的代數方程由網絡方程組成且不包含動態元件控制系統內部變量，僅與潮流方程和動態元件的注入功率相關。因此，擴展雅可比矩陣Jgy可以進一步分解為

式中：Jctr為動態元件控制系統代數方程關于控制系統內部變量的靈敏度矩陣；Jcn為動態元件控制系統代數方程關于電網絡變量的靈敏度矩陣；Jnet為電網絡相關代數變量關于電網絡變量的靈敏度矩陣。

通過行消去可以將擴展雅可比矩陣Jgy改寫為

根據上述分析，矩陣的行變換會使得同一個方程組中等號另一側的變量也發生變化，從而導致變換后模型與原模型存在一定差異，故動態特性有所改變。但本文只關注系統的奇異性，矩陣變換前后不改變原矩陣的奇異性，因此這種變換對本文所討論問題沒有影響。這里將擴展雅可比矩陣Jgy的奇異性等同于矩陣Jctr或矩陣Jnet的奇異性。由于矩陣Jctr與動態元件的控制系統相關，故矩陣Jctr的奇異性代表控制系統內部是否穩定，而矩陣Jnet的奇異性代表電網絡中節點電壓是否面臨崩潰風險。因此，本文僅關心矩陣Jnet的奇異性。

1）同步發電機注入功率方程

將同步發電機等價為一個帶內阻抗的簡單電源，內阻抗的電阻等于定子繞組的電阻Ra，內阻抗的電抗等于d軸暫態電抗，而電源電動勢的大小E′在暫態過程中保持不變。同步發電機節點注入功率的表達式為

式中：Pg和Qg分別為發電機注入節點的有功功率和無功功率；δ為發電機功角；Ug和θg分別為發電機所連母線交流電壓幅值和相位；Gg為暫態電動勢；Gg和Bg分別為發電機導納的實部和虛部，其表達式為

2）負荷注入功率方程

本文采用二次多項式模擬負荷的電壓靜態特性，即

式中：Pl和Ql分別為負荷注入節點的有功功率和無功功率；Pl0和Ql0分別為負荷注入節點的有功功率和無功功率初始值；aZ為恒阻抗負荷的占比；aI為恒電流負荷的占比；aP為恒功率負荷的占比；Ul為母線電壓實際值；Ul0為母線電壓初始值。

3）逆變側LCC注入功率方程

逆變側LCC向交流節點的注入功率表達式為

式中：Plcc為LCC 向交流節點的注入有功功率；Qlcc為LCC 向交流節點的注入無功功率；Qc為LCC 補償電容輸出無功功率。

4）節點功率方程

節點i的非線性方程為

式中：Ui為節點i電壓幅值；Gi,j為節點導納矩陣第i行第j列元素的實部；Bi,j為節點導納矩陣第i行第j列元素的虛部；θi,j為節點i和節點j之間的相位差，θi,j=θi-θj；θi為節點i的相位。

將式（11）、式（13）和式（14）代入式（15）可以得到關于節點電壓的非線性方程組為

式中：h為節點功率方程組成的非線性方程組；U為各個節點電壓幅值組成的向量；θ為各個節點電壓相位組成的向量。假設電力網絡中共有n個節點，則方程組h中含有2n個方程，矩陣Jnet的維度為2n×2n，此時矩陣Jnet的表達式為

式中，hi為方程組h中第i個方程。

2.3 最小奇異值參數靈敏度

對矩陣Jnet進行奇異值分解可得

式中：V和Γ均為2n×2n的正交矩陣；τi為第i個奇異值；Λ為由奇異值組成的對角矩陣，奇異向量vi和zi分別為V和Γ中τi所對應的列向量。Jnet的行列式值為

因此，當任一奇異值接近0時，矩陣Jnet就接近奇異。令τmin為最小奇異值，則τmin越接近于0，系統越接近電壓崩潰點。

矩陣Jnet中的變量可以分為兩類：①式（6）中的可控狀態變量x，例如發電機的功角δ、直流系統的直流電流Idc和負荷；②式（6）中的不可控代數變量y，例如節點電壓幅值U和相位θ。通過調整可控狀態變量x的大小，可以改變矩陣Jnet的最小奇異值。最小奇異值τmin隨系統中任一變量xi的靈敏度為

式中：v和ψ分別為最小奇異值τmin對應的左、右奇異向量；xi為動態元件的狀態變量。然而，任一狀態變量xi的改變都會導致代數變量y隨之發生改變，而代數變量y的變化又會進一步影響最小奇異值τmin。因此，需要對式（20）進行修正，得到最小奇異值隨狀態變量xi的變化靈敏度σx,i為

最小奇異值隨電壓幅值和相位的靈敏度為

節點電壓幅值Uj或相位θj隨狀態變量xi的靈敏度可以通過隱函數求導方法得到，即

式中，yj為任一代數變量，這里是指節點電壓幅值U或相位θ。

3 最大受電能力估計方法

3.1 調度優化模型

以多直流饋入受端電網為研究對象，合理安排系統開機方式，盡可能在保證多饋入受端電網電壓穩定性的前提下降低系統運行成本。本文采用的機組啟停成本及經濟調度成本優化目標函數為

式中：T為運行時間尺度；ng為同步發電機的數量，zi,t表示機組i是否在運的二進制變量；cg,i為機組i運行的固定成本；oi,t表示機組i是否啟動的二進制變量；co,i為機組i啟動成本；ui,t表示機組i是否關機的二進制變量；cu,i為機組i關機成本；Pg,i,t為機組的輸出功率；dg,i為燃料成本。

（1）同步發電機出力約束為

式中，Pgu,i、Pgl,i分別為同步發電機組i的出力上限和下限。

（2）同步發電機爬坡率約束為

式中，Ru,i、Rl,i分別為機組最大上坡率和最小下坡率。

（3）最小開、關時間限制分別為

式中：i=1,2,…,ng；t=1,2,…,T；Tup為機組的最小運行時間；Tdown為機組的最小關機時間。

（4）啟動和關停約束分別為

（5）功率平衡約束為

式中：m為直流系統的數量；nl為負荷的數量；Pl,i,t為負荷i在時間t的大??；Pdc,i,t為直流系統i在t時刻的功率。

（6）電力系統所需的旋轉備用容量約束為

式中，L%為針對系統負荷的旋轉備用率。

（7）靜態電壓穩定約束為

式中：τth為最小奇異值的穩定裕度；τmin,t為t時刻系統最小奇異值；τmin,0為調整前最小奇異值的初始值。通過改變同步發電機的開機狀態、同步發電機出力、直流功率和負荷模型參數，可以達到滿足式（33）所示約束的目的。

3.2 最大受電能力估計

在優化模型中，利用靈敏度來衡量系統參數對最小奇異值的影響，將原有最小奇異值的計算轉化成線性問題，然而這種線性化處理方式會給估計帶來誤差。估計結果距離初始點越遠，誤差越大，甚至會造成優化模型所得結果并非最優解的情況。為此，本文采用一種基于列和約束生成CCG（column and constraint generation）的迭代求解方法，利用迭代思想將系統模型分段線性化，以降低線性化帶來的誤差。這樣優化模型可以寫成矩陣形式為

式中：e為0-1 變量組成的向量；q為連續變量組成的向量；Dv、Dq、Av、Aq、Ev和Eq為參數矩陣；sv、sq、se為參數向量。

利用CCG 算法可以將問題分解為主問題和子問題兩部分。主問題可以表示為

式中：ql為連續變量的限制向量，上標l為向量數量；ξ為輔助變量。

子問題可以表示為

式中，F為子問題函數。

在矩陣Eq、Ev和向量se中含有最小奇異值靈敏度，該靈敏度是通過線性化系統模型得到的，如果不加以修正，會使得優化結果誤差較大。為此，根據主問題和子問題的優化結果更新矩陣Jnet中的系統參數，求解最小奇異值和最小奇異值關于優化變量的靈敏度。首先求解主問題和子問題，利用優化模型結果提供系統運行變量；然后通過奇異值及其靈敏度計算修正主問題和子問題中的矩陣，再次求解主問題和子問題，如此反復迭代，直至前后兩次迭代計算結果相差在很小范圍內，則迭代終止，得到最終優化結果。本文所提的受端電網的最大受電能力估計方法具體步驟如下。

步驟1選定直流落點及初始直流功率。一般來說，直流落點的選取受到地理位置、輸電通道和投資成本等方面的限制。通過篩選得到所有備選直流落點后，可以假設這些直流落點均有直流系統饋入，然后進一步估計受端電網的最大受電能力。

步驟2求解優化調度模型。在給定直流功率下，若優化模型有解，則說明在該受電規模下可以找到一種運行方案滿足靜態電壓穩定約束，這說明系統并未達到受電規模極限，此時進入步驟3；若優化模型無解，則說明在該受電規模下不存在運行方案能夠達到靜態電壓穩定性的要求，這說明已經找到系統的最大受電能力，此時結束計算。

步驟3進一步提高多條直流系統的饋入功率，然后返回步驟2。

一般來說，直流系統的數目和接入位置是確定的，交流系統機組運行方式和直流系統的送電曲線是變化的。本文選擇等比例提高多條直流系統功率來校核系統的最大受電能力。

4 算 例

本文所提出方法在一個修改的IEEE39節點系統中進行驗證。仿真基于PSS/E，優化模型采用Gurobi求解。修改的IEEE39節點系統網架結構如圖3所示，其中3個基于LCC 的單極直流系統分別接入節點9、節點14和節點17，主要參數如表1所示。

表1 3 個直流系統主要參數Tab.1 Main parameters of three DC systems

圖3 修改的IEEE39 節點系統網架結構Fig.3 Grid structure of modified IEEE 39-bus system

4.1 考慮靜態電壓穩定約束對系統決策影響分析

為了分析靜態電壓穩定約束對系統調度決策的影響，在是否考慮靜態電壓穩定約束兩種方案下進行分析。為保留裕度，將允許最小奇異值設定為0.05，可得到是否考慮靜態電壓穩定約束的優化結果分別如圖4和圖5所示。

圖4 不考慮靜態電壓穩定性約束下的調度結果Fig.4 Scheduling results without considering static voltage stability constraints

圖5 考慮靜態電壓穩定性約束下的調度結果Fig.5 Scheduling results considering static voltage stability constraints

由圖4 和圖5 可知，兩種方案在開機方式和機組出力上均有差別。在不考慮靜態電壓穩定約束時，系統中最多有6臺機組不開機，對應時刻分別為01：00、02：00和24：00。在考慮靜態電壓穩定約束時，系統中不再出現6臺機同時停機的工況，在01：00、02：00 和24：00 時刻的機組停機數量分別為4、5 和4。由于系統中機組停機數量越多，發電機對系統的電壓支撐能力越弱，為達到經濟最優目標將過多的機組停機會導致系統電壓穩定裕度不足。因此，是否考慮靜態電壓穩定約束本質上是經濟和穩定性兩者之間的博弈。

兩種方案下，系統的最小奇異值如圖6 所示。可見，不考慮靜態電壓穩定約束的調度方案會導致系統在01：00、02：00和24：00時刻的最小奇異值小于0.05，穩定裕度較小，系統電壓失穩風險增大。而考慮靜態電壓穩定約束的調度方案可以保證系統在全天24 h的最小奇異值均大于0.05。

圖6 不同調度方案下的最小奇異值Fig.6 Minimum singular values under different scheduling schemes

4.2 最大受電能力估計

在多饋入受端電網中，直流功率占比通常較高。然而，隨著直流功率占比的增大，系統的靜態電壓穩定性將會變差?？紤]發電機保持額定出力不變，為保證供需平衡，隨著直流功率增加，應等比例增加各節點負荷。在全開機方式下得到系統最小奇異值隨直流功率占比的變化曲線如圖7所示。

圖7 系統最小奇異值隨直流功率占比的變化Fig.7 Variation of minimum singular value of system with proportion of DC power

需要說明的是，在任意增加一個直流系統輸送功率時，換流母線處的補償電容也會隨之增加，從而保證換流母線在穩態下的電壓幅值保持在正常范圍內。針對圖3所示測試系統，當直流功率占比達到36%時，系統最小奇異值將小于0.05；當直流功率占比達到40%時，系統最小奇異值已經接近于0。可見，直流功率占比超過36%時，對于第3.1節所描述的優化模型已經無解，此時不論如何安排開機方式和系統潮流，都無法使得系統最小奇異值大于0.05。只能通過降直流功率、切負荷等穩控措施來增大系統最小奇異值，以滿足系統對穩定性的要求。

在PSS/E 中調整系統參數，令直流功率占比達到40%，然后進行仿真計算。擾動設置為節點1 處發生100 Mvar 的無功階躍，得到仿真結果如圖8 所示。從圖8（a）可以看出，無功擾動發生后，各母線電壓不能穩定在一個穩態運行點，而是在某個范圍內來回波動，結果表明系統不存在穩態運行點，發生奇異誘導分岔，數值計算結果已不具備可信性。圖8（b）給出了擾動發生后各個發電機功角搖擺情況，結果表明系統并未發生功角失穩，也進一步說明了圖8（a）所示的電壓波動現象是電壓失穩，而不是功角失穩。

圖8 無功負荷階躍下仿真結果Fig.8 Simulation results under reactive load step

5 結 語

本文提出了一種靜態電壓穩定約束下多直流饋入受端電網的最大受電能力估計方法。首先，建立了考慮靜態電壓穩定約束的優化調度模型，以該模型是否有解來判斷在當前受電規模下系統是否存在運行方式能夠滿足靜態電壓穩定性的需求，并基于該模型搜索系統的最大受電能力。然后，通過修改的IEEE39節點系統進行仿真分析，結果表明，所提模型的優化結果可以有效判斷出滿足靜態電壓穩定約束的運行方式。最后，利用所提模型研究受端電網的最大受電能力，結果表明，當直流功率占比過大時，不論采取何種開機方式，系統均無法穩定運行，此時直流功率即為受端電網的最大允許受電量。