融入思政元素的“概率論”課程教學案例設計

陳衍峰

2020年6月教育部印發《高等學校課程思政建設指導綱要》，要求高校要深化教育教學改革，充分挖掘各類課程思政資源，發揮好每門課程的育人作用，全面提高人才培養質量.要把立德樹人融入思想教育、文化知識教育、社會實踐教育等環節，貫穿高等教育各環節［1］.課程思政被擺在了高等教育的突出位置，是落實立德樹人根本任務的重要舉措.全面推進課程思政建設，可以很好地幫助學生樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀，更好地培養德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人［2-4］.

1 “概率論”課程融入思政元素的意義

“概率論”課程是高校理工類和經管類學生的一門十分重要的基礎必修課程，受眾面廣泛，其主要任務是揭示隨機現象的內在統計規律.學生通過對“概率論”課程的學習，可以掌握處理隨機現象的基本思想和方法，進而運用此方法分析和解決社會生產和生活中的實際問題［5］.“概率論”課程是許多后續課程的基礎和工具，學好本門課程對培養學生思維能力、數據處理能力、數學建模能力和理論聯系實際能力都具有重要作用.因此，在“概率論”課程的實際教學中適時融入典型的思政案例，使思政元素與知識內容有機結合，可以很好地提升學生學習本門課程的興趣和積極性，筑牢本門課程基礎知識內容的學習，進而為日后理論研究和實踐奠定堅實基礎［6］.將思政元素融入“概率論”課程教學既利于實現思政教育和專業教育的有機融合，又能發揮思政隱性教育的重要作用.

本文對“概率論”課程思政案例教學進行深入研究，著重選取五個知識點進行案例設計，將誠實守信、持之以恒、腳踏實地、普遍聯系等思政元素融入案例之中，以達到“概率論”課程思政目標.

2 “概率論”課程知識點思政案例設計

2.1 貝葉斯公式思政案例設計

貝葉斯公式是“概率論”課程的一個重要教學內容，具體可以概括為：某個事件A已經發生，它的發生是由B1，B2，…，Bn等n個方面的原因導致，在眾多可能的原因中，由原因B2導致了結果A發生的可能性有多大？這個問題可以用概率P(B2|A)來刻畫.

在講授貝葉斯公式時，可以引入烽火戲諸侯的案例.西周末年，周幽王通過點燃烽火臺，引來各路諸侯救駕以博妃子一笑.后又多次效法，諸侯們漸漸失去了對幽王的信任.最后，當邊關告急時，點燃烽火臺也沒有諸侯趕來救駕，導致幽王被殺，西周滅亡.

問題描述：幽王多次點燃烽火臺戲弄諸侯后，諸侯們為何漸漸失去了對他的信任呢？

問題解答：假設最初諸侯對幽王信任的概率為0.8，諸侯對幽王信任時幽王戲弄諸侯的概率為0.1，諸侯對幽王不信任時幽王戲弄諸侯的概率為0.6.

由此可以看出，諸侯們在第一次被戲弄后，對幽王的信任度由原來的0.8下降至0.4，再次應用貝葉斯公式，可得第二次幽王戲弄諸侯后諸侯們對幽王的信任度為：

這表明幽王在第二次戲弄諸侯后，諸侯們對幽王的信任度由0.4下降至0.1.按此方法，還可計算出第三次幽王戲弄諸侯后諸侯們對幽王的信任度為0.018 2.從中不難看出，當幽王3次戲弄諸侯后，諸侯們對幽王的信任度已由最初的0.8下降至0.018 2，可以說諸侯們對幽王基本沒有了信任度.因此，最后當邊關真正告急時，沒有諸侯前來救駕，幽王被殺，西周滅亡.

這個例子用具體數字闡明了誠實守信的重要性，揭示了一而再、再而三地連續性欺騙可以使人們對一件事情產生誠信危機，以此引導每位學生悟懂誠實守信是做人的根本，每個人都要有正確的三觀，同時誠實守信、真抓實干也是中華民族的傳統美德.

對上述問題可以作進一步思考.假如在3次戲弄諸侯后，幽王認識到了問題的嚴重性，那么怎樣做才能再次獲得諸侯們的信任呢？

該問題即為利用貝葉斯公式求解P(A|)，此時，P(A)=0.018 2，P()=0.981 8，P(|A)=1-P(B|A)=0.9，P()=0.4，于是，有

這表明通過3次戲弄諸侯，幽王認識到問題的嚴重性，第一次糾正錯誤后，諸侯們對其信任度由0.018 2上升至0.04.用與上文同樣的方法，由貝葉斯公式計算可得出，幽王第二次至第七次糾正錯誤后，諸侯們對其信任度的數值.7次信任度的具體數值如表1所示.

表1 7次信任度

從表1可以看出，隨著糾正錯誤次數的增多，信任度數值也在逐漸增大，且在第七次時，數值重新回到了原始數值0.8以上，可見信任度的回升比較緩慢.

以此教育學生誠實守信是當代大學生應有的品質，是其在社會中前進的基石，也是其踐行社會主義核心價值觀的基本價值準則，在日常學習和生活的各方面都要恪守誠信，比如：考試誠信、經濟誠信、生活誠信、上網誠信、遵規誠信等.因為一旦失信，再想重建誠信，絕非一兩次信守承諾能夠做到，可能根本無法恢復，即使能夠恢復也需要很長一段時間.

2.2 小概率事件原理思政案例設計

小概率事件原理又稱為實際推斷原理，是“概率論”課程中非常重要的原理之一，具體可以闡述為：一個隨機事件本身發生的概率很小，即在一次試驗中實際不會發生，但在多次重復試驗下，小概率事件一定會發生.深入研究該原理可以發現其中蘊含著從量變到質變的哲學思想.

在進行該原理所涉及的相關知識內容教學時，可以恰當地引用范進中舉的案例.引導學生以唯物主義的思想看待問題，培養他們鍥而不舍、刻苦勤奮和持之以恒的精神.

范進中舉的故事源于《儒林外史》，講述范進是一名秀才，勤學苦讀，自12歲應考鄉試，連續應考了20余次，最后一次才考中舉人的故事.

問題描述：從故事中可以看出，范進每次考試能夠考中是一個小概率事件，而小概率事件在一次隨機試驗中幾乎是不會發生的.為什么多次應考后此小概率事件就成為必然事件發生了呢？假設每次應考的結果之間有關聯，并不相互獨立，且每次考中的概率為0.3.

問題解答：設事件Ai表示第i次未考中，i=1，2，…，20，事件B表示考中.依題意，可以得出第一次考中的概率為P(B)=0.3，第二次考中的概率為P(B)=1-P(A1A2)=1-P(A1)P(A2|A1)=1-0.72=0.51，第三次考中的概率為P(B)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=1-0.73=0.657，按此規律繼續計算可得出，20次考試中每次考中的概率，具體數據如表2所示.

表2 20次考中的概率

從表2可以看出，隨著考試次數的增多，考中的概率逐漸增大，且在第二十次考試時，考中的概率高達0.999 2，可以近似地認為，此次考中的可能性是100%，即該事件是一個必然事件.

這個案例表明，小概率事件雖本身發生的可能性較小，但只要不斷重復去做，在多次試驗后，小概率事件即成為了必然事件，也即不斷量變之后，達到了質變.借此小概率事件原理告訴學生，在現實生活中，某件事即使成功的希望很小，也要盡最大的努力，當努力的次數足夠多，幾乎可以肯定這件事情一定會成功.提醒學生要趨利避害，及時糾正不好的小概率事件，勿以惡小而為之，勿以善小而不為，一定要防微杜漸，切忌千里之堤，潰于蟻穴，一定要努力學習科學文化知識，為社會的不斷發展貢獻自己的一份力量.

2.3 古典概型思政案例設計

在講授古典概型問題時，彩票問題是其中重要的內容之一.眾所周知，近年來，電腦彩票在我國各省市均有發行，花幾元錢就可購買一張，購買后就有機會獲得幾百萬甚至上千萬的獎金.因此，買彩票中獎也成了許多人夢寐以求的事情.下面以某地福利彩票36選7為例，通過計算查看中各等獎的可能性有多大？

從彩票問題本身容易看出，中獎概率問題屬于古典概型問題，其基本事件總數為n=.于是由古典概型計算公式可得，一等獎的中獎概率為，運用同樣的方法可計算出，二等獎至七等獎各獎項的中獎概率分別為3.474 0×10-6，2.084 4×10-5，2.918 2×10-4，7.295 4×10-4，6.565 9×10-3，8.754 5×10-3.將其做成散點圖如圖1所示.

圖1 36選7彩票7個獎項的獲獎概率散點圖

從圖1可以看出，隨著彩票中獎等級的降低，中獎的概率逐漸增大，這與實際情況相符合.其中一等獎的中獎概率為1.197 9×10-7，即一千萬人中約有1人中一等獎，可見中一等獎的概率相當小，幾乎被看作是不可能實現的事情，所以人們幻想通過購買彩票中大獎發家致富是不現實的.基于此教育學生購買彩票不能心存僥幸，要秉持一顆平常心來對待，要以支持國家福利事業發展的態度，為社會發展作出自己微薄的貢獻，充分發揚社會主義人道精神，懂得做人要腳踏實地，一步一個腳印，只有憑借自己辛勤的工作才能獲得相應的回報.

2.4 二維離散型隨機變量聯合分布思政案例設計

在講授二維離散型隨機變量聯合分布時，可以引入一類無放回抽球問題作為教學案例.通過對其聯合分布列、兩個邊際分布列的求解，驗證聯合分布列能夠決定邊際分布列，而邊際分布列不能決定聯合分布列.引導學生學會運用聯系的觀點看問題，正確處理問題的整體與部分的關系.

無放回抽球問題：一口袋中有4個球，它們依次標有數字1，2，2，3.從這個口袋中任抽取1球后，不再放回袋中，再從袋中任意抽取1個球.設每次抽取球時，每個球被抽取到的幾率是等可能的.分別以ξ和η表示第一次和第二次抽取到的球上標有的數字，求二維隨機變量(ξ，η)的聯合分布列，并求其兩個邊際分布列.

問題解答：從問題闡述中可以知道，ξ和η的可能取值均為1，2，3，且可求得相應取值時的概率為：

因此，二維隨機變量(ξ，η)的聯合分布列如表3所示.

表3 (ξ，η)的聯合分布列

由聯合分布列可以求得關于ξ和η的邊際分布列分別如表4、表5所示.

表4 ξ的邊際分布列

表5 η的邊際分布列

由上面的求解過程可以看出，如果知道了某個二維隨機變量(ξ，η)的聯合分布列，那么可以由聯合分布列求出ξ和η的邊際分布列，這是因為聯合分布體現了(ξ，η)的整體規律性，邊際分布列體現了ξ和η的部分規律性，而當整體規律性確定了，那么部分規律性當然也就確定了.

另外，若從二維隨機變量(ξ，η)本身來看，這是由ξ和η兩個單個隨機變量組成.在本案例求解二維隨機變量的聯合分布列時，是在兩個隨機變量公共取值范圍上進行的，這也很好地體現了局部也在影響整體.

鑒于此，可以引導學生正確把握部分與整體的關系.這個關系類似于個人的三觀與社會主義核心價值觀之間的關系，即部分的發展影響整體，整體的進步離不開部分，整體決定部分，部分不能決定整體，但可以反作用于整體.聯想到生活當中，每個學生都要做堪當民族復興大任的時代新人，將個人夢與民族夢、國家夢緊緊聯系在一起，將個人的小我融入祖國的大我，樹立崇高理想，與歷史同向，與祖國同行，與人民同在，用拼搏和汗水為實現中華民族偉大復興的中國夢添磚加瓦.

2.5 二項分布思政案例設計

二項分布是離散型隨機變量常用分布中的一個，生活中的許多隨機現象往往都可以用二項分布來表達，因此，二項分布在“概率論”課程教學中顯得非常重要.

在講授此內容時，可以巧妙地引入一類保險投保問題作為教學案例.通過對此類問題的解決，啟迪學生懂得萬物皆有聯系，學會用聯系的觀點看待和處理問題.

問題描述：設某保險公司的某人壽保險險種有1 000人投保，每個人在一年內死亡的概率為0.005，且每個人在一年內是否死亡是相互獨立的，試求在未來一年中這1 000個投保人中死亡人數不超過10人的概率.

問題解答：此題從正面出發，常規的解決方法是設ξ為1 000個投保人中在未來一年內死亡的人數，因此，可知ξ服從參數為1 000，0.005的二項分布，于是所求問題的概率為：

此題中n很大，p很小，且λ=1 000×0.005=5比較適中，因此，有

而此式的求解可以通過查閱泊松分布表完成，方便快捷，容易求得結果為0.986.

通過對該問題解答過程的學習，鼓勵學生自己總結、發現和體會其中的巧妙聯系和變通，以此樹立良好的學習信心，很好地學習本門課程.同時在學習和生活中遇到困難時，要積極尋找解決問題的方法，善于運用事物之間的普遍聯系，適時轉化思維模式，多角度、多維度思考和解決問題.

3 結語

本文緊密結合立德樹人的教育理念，通過精心設計誠實守信、持之以恒、腳踏實地、整體與部分和普遍聯系等思政案例，潛移默化實現了思政育人的教學效果，同時極大地激發了學生分析問題和解決問題的能力.

“概率論”課程思政涉及面廣，不僅涉及量變到質變、整體與部分、普遍聯系、現象和本質、偶然和必然等辯證唯物主義思想，還涉及人生觀、理想信念、科學精神、社會主義核心價值觀、家國情懷等.“概率論”課程思政教學中既有知識傳授，又有價值引領，尤為重要的是能力培養，即通過思政案例分析引導學生科學掌握數學規律，運用數學規律進行理性思考，分析和解決實際問題.目前“概率論”課程思政教學已經取得一定成效，更深入更具育人功能的思政案例需要在今后教學中繼續挖掘和探索.