正余弦定理綜合應(yīng)用教學(xué)案例

一、學(xué)情分析

學(xué)生在上節(jié)課已經(jīng)復(fù)習(xí)了正余弦定理基本知識(shí)、面積公式等，這個(gè)知識(shí)在高一新授課學(xué)習(xí)過(guò)，但學(xué)生遺忘比較嚴(yán)重。因此，教師需要在教學(xué)過(guò)程中掌握學(xué)生的如下情況：第一，在基礎(chǔ)知識(shí)的理解方面，學(xué)生是否能正確地表達(dá)正余弦定理的公式？是否能夠根據(jù)已知條件正確代入數(shù)值并求解未知量？第二，在定理應(yīng)用方面，學(xué)生是否能夠正確判斷在給定問(wèn)題中使用余弦定理還是正弦定理？是否能在不同情境下選擇不同的定理以達(dá)到最有效解決問(wèn)題的目的？第三，是否有學(xué)生在應(yīng)用正余弦定理時(shí)遇到困難？是否存在常見(jiàn)的錯(cuò)誤模式，如公式混淆、數(shù)值代入錯(cuò)誤等？

授課教師則需要通過(guò)分析上述情況，觀察學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，如學(xué)生是否能夠積極參與課堂活動(dòng)、提問(wèn)或與同學(xué)合作，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提供反饋，進(jìn)而更全面地了解學(xué)生在正余弦定理應(yīng)用方面的問(wèn)題，為個(gè)性化教學(xué)和針對(duì)性幫助提供有力的依據(jù)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)與目標(biāo)

本堂課的教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)概念回顧、題目訓(xùn)練，使學(xué)生逐步理解并熟練掌握正余弦定理，進(jìn)一步運(yùn)用定理解決問(wèn)題。而教學(xué)難點(diǎn)主要體現(xiàn)在熟練運(yùn)用正余弦定理來(lái)解三角形中的面積和周長(zhǎng)范圍問(wèn)題。本節(jié)課擬通過(guò)復(fù)習(xí)回顧來(lái)引入概念，結(jié)合實(shí)例演示進(jìn)行輔助講解，小組討論實(shí)現(xiàn)交互學(xué)習(xí)，最后設(shè)置作業(yè)來(lái)鞏固練習(xí)，進(jìn)而達(dá)成如下教學(xué)目標(biāo)：

1.通過(guò)課程教學(xué)熟練掌握正余弦定理、三角形面積公式以及邊角關(guān)系互化。

2.培養(yǎng)邏輯思維能力、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。

3.通過(guò)小組合作交流解決問(wèn)題培養(yǎng)合作意識(shí)，增強(qiáng)表達(dá)能力及自信心，提高學(xué)習(xí)的自覺(jué)性、主動(dòng)性。

三、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)回顧，引入概念

教師：同學(xué)們好！上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了正余弦定理及相關(guān)的三角形邊角之間的關(guān)系，下面同桌相互提問(wèn)，通過(guò)一問(wèn)一答來(lái)復(fù)習(xí)這些知識(shí)（時(shí)間2分鐘）。課后作業(yè)第2題（新教材必修第二冊(cè)54頁(yè)第22題），有些同學(xué)做錯(cuò)了，下面小組交流一下這道題目，然后小組代表來(lái)講講解題過(guò)程（時(shí)間為3分鐘）。本節(jié)課主要包括對(duì)正弦定理、余弦定理、面積公式及其變形公式的回顧，以及邊角互化的解題技巧。

（設(shè)計(jì)意圖：第一，通過(guò)對(duì)公式的回顧為本節(jié)課解答問(wèn)題提供工具;第二，相互提問(wèn)復(fù)習(xí)給每個(gè)同學(xué)思考并表達(dá)的機(jī)會(huì)。）

例題1：已知a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，且acosC+asinC-b-c=0.問(wèn)題：（1）求∠A.（2）若a=2，△ABC的面積為，求b，c.

教師：同學(xué)們相互提問(wèn)得都很認(rèn)真，作業(yè)題討論得也很深入。下面哪個(gè)小組同學(xué)來(lái)給大家講一講第（1）小題的解題思路。好，A同學(xué)來(lái)講。

A學(xué)生：第（1）小題求角A，可以把條件式子中的邊化成角，統(tǒng)一成角來(lái)解。

解：∵acosC+asinC-b-c=0，由正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入消掉2R可得：sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0.

∵A+B+C=π，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

代入上式可得：sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，

∵sinC≠0，∴sinA-cosA=1，

∴2（sinAsinC-cosA）=1，

∴sin（A-）=，

∵A是三角形內(nèi)角，∴A-=，A=.

教師：A同學(xué)講得非常好！過(guò)程很規(guī)范，大家給他鼓掌，A同學(xué)來(lái)談?wù)劷忸}后的體會(huì)！

A學(xué)生：這個(gè)解法是把條件式子中的邊化成角，這個(gè)式子的特點(diǎn)是邊的齊次式，常用正弦定理轉(zhuǎn)化統(tǒng)一成角的關(guān)系式來(lái)解題;第二就是轉(zhuǎn)化后式子中有三個(gè)角，常借助三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化減少式子中角的個(gè)數(shù);第三就是三角恒等變換公式要非常熟練，才能看到題目時(shí)及時(shí)想到這種解法。

（二）實(shí)例演示，輔助講解

教師：說(shuō)得非常好！哪個(gè)小組同學(xué)還有不同的解法？這道題能否用角化邊來(lái)解呢？同學(xué)們小組討論交流2分鐘。（老師在多媒體上展示第二種解法）

（設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生能夠直觀感受邊化角和角化邊、正弦定理和余弦定理之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，能夠了解到同樣一道三角函數(shù)題可以用不同的方法來(lái)解決。）

解：由余弦定理得cosC=，

∴a·+asinC-b-c=0，

∵asinC=csinA，

∴a2+b2-c2+2bcsinA-2b2-2bc=0，

∴sinA-1=，∴sinA-1=cosA，

∴sinA-cosA=1，

∴sin（A-）=，A-=，A=.

教師：看來(lái)邊化角和角化邊兩種方法都是可行的，解三角形這類題一般都可以用這兩種方法，至于哪種方法更好，視具體題目而定。哪個(gè)小組同學(xué)來(lái)講第（2）小題的解題過(guò)程？好，B同學(xué)來(lái)講一下！

B學(xué)生：由（1）可知A=，a=2，S△ABC=，求b和c.

解：S△ABC=bcsinA=bc=，∴bc=4.由余弦定理得：a2=b2+c2-bc，

∴b2+c2-bc=4，（b-c）2-bc=0，

∴（b-c）2=0，b=c，

∵A=，

∴△ABC是等邊三角形，b=c=a=2.

教師：B同學(xué)講得清晰明了，很好！大家給她鼓掌。請(qǐng)B同學(xué)來(lái)談?wù)劷忸}后的體會(huì)。

B學(xué)生：題目中有面積條件，第一，用面積公式求出bc=4，所以想到邊的關(guān)系，用余弦定理;第二，解三角形要三個(gè)條件才行。

（三）小組討論，交互學(xué)習(xí)

教師：說(shuō)得很好！還要注意解題過(guò)程中bc，b+c，b2+c2可以相互轉(zhuǎn)化;其次，該題的條件中a=2和A=是邊和對(duì)角，我們稱為邊對(duì)角模型。

（設(shè)計(jì)意圖：第一，討論講解作業(yè)題，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)正余弦定理的靈活應(yīng)用;第二，“兵教兵”來(lái)更正錯(cuò)誤可引發(fā)更深度的學(xué)習(xí);第三，可以培養(yǎng)學(xué)生反思的意識(shí)與合作精神;第四，引出新知識(shí)點(diǎn)。）

教師：這個(gè)題目把條件改一下，把面積為去掉，只余下兩個(gè)條件a=2和A=，三角形形狀不確定，請(qǐng)同學(xué)們來(lái)求解面積的范圍。即例題2：在△ABC中，a=2，A=，求S△ABC的取值范圍。接下來(lái)同學(xué)們交流5分鐘，哪個(gè)小組同學(xué)來(lái)講一講解題過(guò)程？好，C同學(xué)來(lái)講。

C學(xué)生：解：由余弦定理得a2=b2+c2-bc=4，∵b2+c2≥2bc，∴bc≤4，∴S△ABC=bcsinA=bc≤，∴△ABC面積范圍是（0，].

教師：C同學(xué)講得很好！b2+c2，b+c，bc三者再次說(shuō)明轉(zhuǎn)化關(guān)系，這個(gè)條件下能求出周長(zhǎng)的范圍嗎？

C同學(xué)：可以，b2+c2-bc=4，∴（b+c）2-3bc=4，bc≤，∴≤4，∴（b+c）2≤16，b+c≤4，∵b+cgt;2，∴周長(zhǎng)的范圍是（4，6].

教師：C同學(xué)思維很敏捷，解題規(guī)范正確，大家鼓掌。哪個(gè)小組同學(xué)還有其他解法嗎？誰(shuí)來(lái)講一講？能從“角”方面考慮嗎？好，D同學(xué)來(lái)講一下你的思路。

D學(xué)生：由正弦定理得a=2RsinA，∴2R=，bc=2RsinB·2RsinC=4R2·sinBsinC=sinBsinC，

∴S△ABC=bcsinA=bc=sinBsinC，

其中sinBsinC=sinBsin（A+B）=sinB（sincosB+cossinB）=sinBcosB+sin2B=sin2B+（1-cos2B）=（sin2B-cos2B）+

∵B∈（0，），∴2B-∈（-，）.

由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sin（2B-）∈（-，1]，∴sinBsinC∈（0，]，∴S△ABC∈（0，].

對(duì)于周長(zhǎng)的范圍，b+c=2R（sinB+sinC）=（sinB+sinC），其中sinB+sinC=sinB+sin（+B）=sinB+cosB+sinB=（sinB+cosB）=（sinB+cosB）=sin（B+）

∵B∈（0，） ∴B+∈（，）

∴sinB+sinC∈（，）

∴b+c∈（2，4]，那么周長(zhǎng)范圍是（4，6].

教師：這種從“角”考慮的解法難度較大，D同學(xué)解得很清晰、明了、規(guī)范，你們要向他學(xué)習(xí)善于思考、勤于鉆研的好習(xí)慣，大家給他鼓掌。D同學(xué)來(lái)談?wù)劷忸}后的體會(huì)。

D學(xué)生：三角形周長(zhǎng)和面積求范圍問(wèn)題，一般都有兩種思路“化邊用余弦，化角用正弦”，對(duì)數(shù)的運(yùn)算熟練常化邊，對(duì)三角恒等變換公式熟練常化角。

教師：說(shuō)得真好！如果把這個(gè)題目再加個(gè)條件：在銳角△ABC中，a=2，A=，面積和周長(zhǎng)的范圍還能求出來(lái)嗎？大家討論交流2分鐘。哪個(gè)小組同學(xué)來(lái)說(shuō)一說(shuō)，好，E同學(xué)來(lái)講一講。

E學(xué)生：加了“銳角三角形”，第二種解法中角B范圍是B∈（，），2B-∈（，），sin（2B-）∈（，1]，∴sinBsinC∈（，]，

∴S△ABC∈（，），對(duì)于周長(zhǎng)范圍：B+∈（，），∴sin（B+）∈（，1），∴sinB+sinC∈（，），∴b+c∈（2，4），∴周長(zhǎng)的范圍是（2+2，6].

教師：E同學(xué)考慮得很好，解題很規(guī)范，提出表?yè)P(yáng)！這節(jié)課同學(xué)們學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)，各小組交流2分鐘，哪個(gè)小組同學(xué)來(lái)總結(jié)一下？

G學(xué)生：這節(jié)課學(xué)習(xí)了在三角形中利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，求“邊對(duì)角”“邊鄰角”以及三角形面積、周長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題。

（四）設(shè)置作業(yè)，鞏固練習(xí)

教師：課堂上同學(xué)們表現(xiàn)都很優(yōu)秀，課下同學(xué)們根據(jù)課堂上學(xué)會(huì)的方法自己編制兩道三角形中求范圍的題目，各小組匯總選出三道最適合同學(xué)們鞏固的作為課后作業(yè)。

（設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生參與編制作業(yè)、布置作業(yè)，可以起到增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、延伸課堂以及繼續(xù)深入思考和開(kāi)發(fā)創(chuàng)新思維的作用。）

四、教學(xué)反思

本節(jié)課使用多方法循序漸進(jìn)地推進(jìn)正余弦定理的應(yīng)用學(xué)習(xí)，通過(guò)課程教學(xué)和實(shí)際觀察，發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)性質(zhì)較為熟練，對(duì)于基礎(chǔ)性題目能夠較好地解答，基本能夠針對(duì)題目恰當(dāng)使用正余弦定理。但也存在諸多問(wèn)題：一是部分學(xué)生對(duì)定理只是了解但不熟練，不能做到舉一反三。其二則是“眼高手低”，部分學(xué)生存在“一看就會(huì)，一做就錯(cuò)”的問(wèn)題。三是正余弦定理之間的轉(zhuǎn)化不夠靈活，做題較慢，且計(jì)算量稍大的題目容易出錯(cuò)。四是小組討論時(shí)盡管多數(shù)學(xué)生可以有效地討論問(wèn)題，但仍有部分學(xué)生不參與或消極參與小組討論。

針對(duì)以上存在的問(wèn)題，教師應(yīng)在接下來(lái)的教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行反思和改進(jìn)，進(jìn)一步通過(guò)展示不同類型問(wèn)題、引導(dǎo)問(wèn)題解決過(guò)程、聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景、注重與其他數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系、提供足夠的練習(xí)機(jī)會(huì)以及關(guān)注學(xué)生的反饋來(lái)進(jìn)一步提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，最終促進(jìn)學(xué)生鞏固知識(shí)，同時(shí)推動(dòng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。

（作者單位：山東省單縣第一中學(xué)）

編輯：趙飛飛

作者簡(jiǎn)介：吳新永（1969—），男，漢族，本科，山東省單縣第一中學(xué)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。