提取對稱關系 設計運算思路

摘? 要：針對學生對一道試題解答的運算思路，分析了運算煩瑣的原因在于提取的幾何對象和表征的代數結構都喪失了對稱性，進而從幾何直觀和代數推理兩個角度給出三種簡潔的解答過程. 最后從理解數學運算的本質特征、培養解析幾何的思維方式、發揮對稱結構的簡化功能等方面反思了解析幾何的運算教學.

關鍵詞：數學運算；運算思路；對稱關系

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0043-05

引用格式：李昌. 提取對稱關系? 設計運算思路：以一道圓錐曲線試題的解答為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（2）：43-47.

一、問題提出

二、運算路徑分析

三、簡潔的解答

以上分析表明，使運算路徑簡潔的關鍵在于選擇的幾何對象要能凸顯中點承載的對稱性，表達幾何對象的代數結構要能延續中點的對稱性，即形與數要進行深度結合.

1. 對稱的兩點同在雙曲線上

四、教后思考

在解析幾何教學中，只有深刻認識到數學運算的本質特征，才不會將其異化為純粹的代數計算；也只有發現并充分利用代數結構所表達的幾何圖形的對稱性，設計的運算路徑才能更簡潔.

1. 深刻理解解析幾何數學運算的本質特征

用代數方法解決幾何問題是解析幾何的核心思想. 代數方法主要指數學運算，數學運算本質上是用演繹推理解決數學問題的思維方式. 解析幾何中的數學運算是幾何背景下的運算推理，其運算對象雖然無異于純粹的數式，然而卻是一些幾何元素、幾何關系的代數表征；它遵循的運算法則雖然無異于代數的加、減、乘、除，然而執行哪種運算卻不是機械和任意的，而是由幾何性質及其相互間的關系來決定的；其運算路徑不是程序化的，而受制于幾何量、幾何性質或幾何關系的內在邏輯；代數運算的結果大多數情況下要與幾何量、幾何性質的意義相符. 這表明了幾何背景具有導算、啟算和驗算的功能，是代數運算的骨架.

因此，解析幾何運算教學的目標設定，不能停留在習得算法知識和提升運算技能的層面，而應該上升到優化運算思維和提高運算素養的水準. 解析幾何運算教學的價值追求，不能停留在用代數方法研究幾何問題的感性層面，而應該深化到豐富推理內涵，推動運算發展的理性高度. 通過解析幾何，抽象的代數結構有了直觀形象的模型，數形結合的思想方法融合了幾何思維的形象化和代數運算的程序化，實現了邏輯推理與代數運算的靈活轉換.

2. 破除模式化運算培養解析幾何的思維方式

在圓錐曲線的問題解決中，一些學生常常把直線與圓錐曲線的位置關系作為解決問題的方向和路徑. 基于此的運算思路具有模式化的特征：先按照解方程組的變形法消元化簡，整理成一元二次方程，寫出根與系數的關系；再確定后續的運算對象和運算思路，如果代數結構復雜或者找不到運算思路就放棄解答. 長此以往，學生容易形成思維定式和“解析幾何中的數學運算不僅煩瑣而且路徑單一”的錯誤認識.

通過教學培養和發展解析幾何的思維方式是破除模式化運算的必由之路. 解析幾何的思維方式指的是，在解決問題時先用幾何眼光觀察，分析幾何圖形的要素及相關的幾何關系；再用代數語言表達，而且在代數運算中時刻注意利用它們來簡化運算. 筆者認為，這種思維方式在解決問題時具體體現為：首先，要厘清題目中的幾何關系，深刻理解問題本質，適當轉化、恰當歸納；其次，要合理提取幾何對象并恰當地表征，即表征幾何對象的代數結構既要準確表達數學本質又不能喪失特點；最后，圍繞幾何性質和幾何關系設計合理簡潔的運算思路，求得與幾何意義相符的運算結果. 學生運用解析幾何的思維方式提取幾何對象、表征代數結構、設計運算思路的過程是實踐數形結合思想的過程，也是智慧拔節的生長過程.

3. 充分發揮代數對稱結構簡化運算的功能

對稱性普遍存在于自然界和人類社會中. 數學中的諸多內容都呈現出結構對稱、性質優美的特征.“從一般意義上講，對稱對于我們的論題很重要……如果一道題目具有某方面的對稱性，我們常常能得益于注意到可以互換的部分，而且，常常值得我們用同樣的方式來處理那些起相同作用的部分.”數學教育家G.波利亞的這句話至少表明了對稱性可以使問題的解決事半功倍. 因此，在設計運算思路時，應該選取能體現對稱性的幾何對象作為運算對象，表征運算對象的代數式也要盡可能地保留結構上的對稱性. 這才符合G.波利亞所教的“對稱的東西要盡量對稱地去處理，不要隨意破壞任何自然的對稱性”的解題原則.

對稱是體現數學美的主要方式，通過教學有意識地引導學生去感悟和體驗對稱美，既可以培養學生的審美情趣，又能用對稱思想潛移默化地熏陶學生. 長此以往，學生會用對稱的眼光觀察數學對象，用對稱的思想分析數學問題，這樣不僅有利于發現簡潔的解答，也可以促使學生對數學的理解更加深刻、透徹.

參考文獻：

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