高中數學教科書中的留白分析

孫丹丹 徐亞楠

摘? 要：教科書留白為學生提供了自主探究的空間，使得學習內容由封閉走向開放. 以人教A版《普通高中教科書·數學（必修）》中的留白為載體，探究了教科書中的留白類型. 研究發現，教科書中的留白可以分為方法之白、論證之白、陳述之白、應用之白、發現之白五種類型，每種類型都存在不同的子類，有著不同的教學價值.

關鍵詞：高中數學；教科書；留白

中圖分類號：G634? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0009-04

引用格式：孫丹丹，徐亞楠. 高中數學教科書中的留白分析：以人教A版《普通高中教科書·數學（必修）》為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（2）：9-12.

留白是一種中國藝術創作的常用手法，留空白以給人想象之余地，成就以無勝有的美學意境. 教學中也有留白藝術. 教學留白，指在教學過程中教師不將內容完全講給學生，而是給學生留下自主思考的空間，讓學生補入自己的理解. 在教學過程中，若學習內容設計得太滿，教師大量講授，學生就沒有自主思考和自我消化的時間，容易造成被動接受，而適當的留白就是為學生提供思考的空間，給學生以表達和創造的機會，可以調動學生學習的自主性和積極性，同時生成課堂討論素材.

教科書是教師教學的重要參考資料，深刻影響著教師的教學設計和實施. 教科書如何留白影響了教師在教學中如何留白. 教科書留白指教科書中一些推導過程和結論沒有完全呈現出來，或者只問不答. 留白可以增加教科書及教師與學生之間的互動，為學生留出自主探究的空間，使得學習內容由封閉走向開放.

本文將以人教A版《普通高中教科書·數學（必修）》（以下統稱“人教A版教科書”）中的留白為載體探究教科書中的留白類型. 瀏覽人教A版教科書，發現留白常因問題或任務而起，主要集中在提示框、思考框、探究框三個欄目，思考框和探究框穿插在教科書的正文中，提示框常在正文邊側. 因此，本文聚焦以上三個欄目中的留白，不關注練習、習題、閱讀與思考、探究與發現等欄目. 判斷留白的依據是教科書給出問題或任務而沒有給出解決方法，參考已有研究對留白的分類，本文將歸納教科書中的主要留白類別，分析其特點及潛在價值.

一、方法之白

方法之白指教科書已給出一種問題解決方法，引導學生用另一種或多種方法來解決問題. 例如，“3.1.2 函數的表示法”一節中，例題要求用解析法表示某分段函數，人教A版教科書給出了結合圖象判斷分段函數解析式的方法，在提示框中給出留白問題：你能用其他方法求出[Mx]的解析式嗎？引導學生探索其他求解方法.

方法之白根據留白空間大小的不同可以分為指引類留白和開放類留白. 指引類留白，指教科書給定了問題解決方法的思考角度. 例如，在“5.4.2 正弦函數、余弦函數的性質”一節中，例題要求比較兩對同名三角函數值的大小，人教A版教科書給出了借助正弦函數及余弦函數單調性解題的方法，在提示框中鼓勵學生從單位圓的角度比較函數值的大小，提示了另一種問題解決的思考角度. 開放類留白，指教科書鼓勵學生用其他方法解決問題，但沒有任何提示，學生可以采取任何方法. 例如，在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”一節中，人教A版教科書從向量的角度證明了余弦定理，在提示框中以問題“你能用其他方法證明余弦定理嗎？”引導學生思考證明余弦定理的其他方法，但是沒有給出方法上的提示.

方法之白引導學生采取不同的方法解決問題，促使學生多角度地思考，有助于拓展學生的思維，鍛煉學生思維的靈活性. 不同角度的思考還可以建立不同知識之間的關聯，促進學生建構貫通的知識網絡.

二、論證之白

論證之白指讓學生解釋教科書新知或問題解決過程中已經給出的某種說法或做法的緣由. 例如，在“4.1.1 n次方根與分數指數冪”一節中，人教A版教科書討論了正數和負數的奇次方根及表示、正數的偶次方根及表示. 隨后指出負數沒有偶次方根，但并沒有解釋，在提示框中給出留白問題：為什么負數沒有偶次方根？又如，在“5.5.2 簡單的三角恒等變換”一節中，例9要求學生求解形如y = asin x + bcos x的三角函數式的周期與最值，在第（1）小題中，人教A版教科書直接將[y=sinx+][3cosx]變形為[y=212sinx+32cosx]，而沒有給出具體步驟，在提示框中給出留白問題：你能說說這一步變形的理由嗎？

論證之白根據論證類型的不同分為論實類留白和論偽類留白. 論實類留白即論證某種正確說法或做法的合理性，這些說法或做法往往是教科書正文知識或問題解決過程的一部分. 例如，在“6.4.3 余弦定理、正弦定理”一節中，例8求解三角形，由[sinC=22]解得角C有兩個值，在提示框中給出留白問題：為什么角C有兩個值？讓學生論證解題過程中的細節. 論偽類留白即論證某種說法或做法為什么不正確，這些說法或做法基于正文內容提出，往往是學生可能存疑的迷思概念. 例如，在“9.2.4 總體離散程度的估計”一節中，人教A版教科書給出用平均距離刻畫離散程度，在提示框中給出留白問題：想一想，為什么用“平均距離”刻畫離散程度，用“總距離”行嗎？總距離與平均距離形成對比，旨在讓學生通過論證為什么“總距離”不行而對“用平均距離刻畫離散程度”的合理性有更深入的思考.

論證之白常在正文邊側以問題的形式引出，不打斷正文的邏輯主線. 論實類留白使學生關注到正文容易被忽視的知識細節；論偽類留白通過反向陳述促進學生思考正文定義或問題解決的合理性. 論證之白可以推動學生對細節的關注，將學生可能存在的疑惑或錯誤顯性化，在說理論證的過程中加深學生對知識的理解，使學生養成嚴密的思考習慣.

三、陳述之白

陳述之白旨在讓學生闡述對某個或某幾個主題的理解或認識，不指向問題解決，個性化較強，不同學生可能有不同的表述，常出現在知識學習之后. 例如，在“9.1.1 簡單隨機抽樣”一節中，人教A版教科書給出抽簽法和隨機數法，在提示框中給出留白問題：比較隨機數法與抽簽法，它們各有什么優點和缺點？又如，在“6.4.3.1 余弦定理”一節中，人教A版教科書給出了借助向量運算推導余弦定理的過程，在提示框中給出留白問題：從這里的推導過程，你感受到向量運算的力量了嗎？

陳述之白往往涉及不同主題之間的關聯，根據所陳述主題關系的不同分為橫向類留白和縱向類留白. 橫向類留白指促進學生思考同一主題內平行子主題的區別與聯系等. 例如，在“1.1 集合的概念”一節中，人教A版教科書在介紹完自然語言、列舉法、描述法后，在思考框中給出留白問題：舉例說明，用自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點. 縱向類留白即讓學生闡述前后知識的關聯. 例如，在“3.1.1 函數的概念”一節中，人教A版教科書在講述完函數的概念及例題后，在思考框中給出留白問題：至此，我們在初中學習的基礎上，運用集合語言和對應關系刻畫了函數，并引進了符號[y=fx]，明確了函數的構成要素. 比較函數的這兩種定義，你對函數有什么新的認識？引導學生聯系初中階段和高中階段所學的函數的定義，對比前后所學的知識.

陳述之白注重學生對知識的個人理解及體會，常涉及不同知識或同一知識的前后比較，是一種跳出知識細節的審視，有助于促進學生思考知識間的區別與聯系，包括橫向關聯和縱向關聯，在比較辨析中明晰不同知識的本質，深化理解. 此外，陳述之白有助于鍛煉學生的表達能力，特別是數學語言與自然語言的融合.

四、應用之白

應用之白即引導學生使用剛學習的概念、方法、結論等解決問題，通常在新知學習之后. 例如，在“1.1 集合的概念”一節中，人教A版教科書給出了描述法的概念，在提示框中給出留白問題：你能用這樣的方法表示偶數集嗎？讓學生應用剛學過的描述法表示偶數集. 又如，在“4.1.2 無理數指數冪及其運算性質”一節中，人教A版教科書給出探索[52]的值的過程，在思考框中給出留白問題：參照以上過程，你能再給出一個無理數指數冪，如[23]，說明它也是一個確定的實數嗎？要求學生應用已有思路探索[23]的值.

應用之白根據問題解決所用知識類型不同可分為知識應用類留白和結論應用類留白. 知識應用類留白即引導學生應用剛學過的數學知識或方法. 例如，在“1.2 集合間的基本關系”一節中，人教A版教科書講解完空集的概念后，在提示框中給出留白問題：你能舉出幾個空集的例子嗎？利用空集的概念舉例. 結論應用類留白即引導學生將數學結論進一步應用到生活或其他學科中. 例如，在“9.2.3 總體集中趨勢的估計”一節中，例4給出借助100戶居民用戶的月均用水量估計全市居民用戶的月均用水量的平均數和中位數的解題過程，在提示框中給出留白問題：假設某個居民小區有2 000戶，你能估計該小區的月用水總量嗎？引導學生將例題結論進一步應用到實際問題的解決中.

應用之白一般出現在概念、方法、結論后，旨在讓學生在剛接觸新知后解決簡單問題，在應用練習中進一步理解概念、熟悉方法. 相對于課后練習，這些應用難度較小，大多數是已有應用的同類問題或簡單變式. 數學結論在生活或其他學科中的應用則是數學結論在非數學情境中的延伸，體現了數學與生活及其他學科的密切關聯.

五、發現之白

發現之白即引導學生觀察發現一些結構的規律、特點或者引導學生發現其他事實. 例如，在“7.1.2 復數的幾何意義”一節中，人教A版教科書在復平面內畫出了兩個特殊復數對應的點和向量，并計算出了它們的模，在提示框中給出留白問題：點Z1，Z2有怎樣的關系？引導學生發現Z1，Z2實部相同、虛部互為相反數的規律，從而引出共軛復數的概念及特點. 又如，在“9.2.4 總體離散程度的估計”一節中，人教A版教科書給出了標準差的定義，但是并沒有指明標準差的取值范圍，在提示框中給出留白問題：標準差的取值范圍是什么？標準差為0的一組數據有什么特點？促使學生自主發現問題的結果.

發現之白根據補白內容對上下文知識所起的作用不同分為鋪墊類留白和延伸類留白. 鋪墊類留白即發現的規律或事實被用在進一步的知識講解或問題解決中，包括引導學生發現問題的特點，以啟發問題解決思路. 例如，在“5.5.2 簡單的三角恒等變換”一節中，例8要求證明[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β]，

[sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2]. 提示框中給出留白問題：這兩個式子的左右兩邊在結構形式上有什么不同？引導學生觀察式子特點以選擇適當的公式解決問題. 延伸類留白指引導學生在新知學習或問題解決的基礎上發現更多相關的事實結論或一般規律. 例如，在“7.2.2 復數的乘、除運算”一節中，例4計算了兩個共軛復數的乘積[2+3i2-3i]的值，在提示框中給出留白問題：若z1，z2是共軛復數，則z1z2是一個怎樣的數？啟發學生基于具體問題解決發現共軛復數相乘所得結果為實數的一般規律.

發現之白引導學生發現規律、特點及事實結論，新知講解或問題解決前的發現會成為進一步學習討論的素材，對問題條件的特點洞察會啟發問題解決思路，新知講解或問題解決后的發現會拓展教科書上與知識點相關的結論或規律，得到一些值得關注的事實.

六、分析比較

大部分留白以問題引出，難度適中，著眼于學生思維的最近發展區，不僅能激發學生的思考，啟發學生的思維，還可以引導學生參與到知識的建構中來，給學生帶來學習的成就感.

各留白類型的主要信息如表1所示.

留白類型的內涵確定不只考慮了知識和性質，因為知識和性質往往存在重合. 例如，應用方法解釋論證、應用新知發現新知、應用新知解釋論證等. 因此，留白分類也考慮了所留之白與教科書知識的關系，關注了留白對數學學習的價值，使同一種類別的價值盡可能聚焦. 論證之白重在解釋論述已有說法或做法的緣由及合理性，通過論述使已有表述有理有據；應用之白重在過程，通過應用過程熟悉和鞏固新知；發現之白重在規律或事實，通過觀察分析，發現問題解決思路或值得關注的結論. 例如，“6.2.4 向量的數量積”一節在給出向量的數量積定義及數量積的交換律、分配律后，在思考框中給出留白問題：設[a，b，c]是向量，[a · bc=ab · c]一定成立嗎？為什么？該留白需要學生運用數量積的定義發現向量積的結合律不成立，發現不成立的過程其實也是論證其為何不成立的過程. 但是由于論證之白是論述教科書已有說法及做法的緣由或合理性，因而這不屬于論證之白，雖然該留白需要學生應用數量積的新知，但其側重點不在過程，而在于讓學生發現結論——向量積的結合律不成立，因而歸為發現之白.

本文給出了一種教科書留白的分類方式，需要在實踐中進一步檢驗完善. 不同內容模塊、不同版本教科書的留白有何特點？教師在實際教學中應該如何應用教科書留白？這些留白對學生的數學學習有什么價值？這些都是值得未來進一步研究的議題.

參考文獻：

［1］王勝軍. 論中國繪畫的留白藝術［J］. 藝術教育，2009（8）：116-117.

［2］蔡甜甜，劉國祥，寧連華. 數學課堂留白藝術的理論探析與實踐反思［J］. 數學教育學報，2018，27（6）：29-32.

［3］馬復. 數學教育需要留白藝術［J］. 上海課程教學研究，2017（2）：3-8.

［4］沈勤學. 教材留白與教學補白［J］. 中學政治教學參考（中旬），2018（8）：11-12.

［5］汪曉勤. 數學史上的留白與創新［J］. 中學數學月刊，2023（4）：1-4.