關注結構·優化運算·發展素養

摘? 要：圓錐曲線是高中數學學習的重要內容之一，是考查學生數學運算素養的重要載體. 基于2023年高考數學新課標Ⅱ卷第21題所蘊含的數學內容結構和數學認知結構探究解決問題的一般思路與方法，構建解決問題的數學方法結構. 優化解題運算過程，發展數學運算素養.

關鍵詞：教學過程；構建結構；數學運算；核心素養

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）02-0054-06

引用格式：劉守文. 關注結構·優化運算·發展素養：2023年高考數學新課標Ⅱ卷第21題解法探究及思考［J］. 中國數學教育（高中版），2024（2）：54-59.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）指出，平面解析幾何的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數方法. 平面解析幾何的基本特征是以坐標系為研究工具，通過數學運算來研究幾何圖形的位置關系和數量關系.

本文基于2023年高考解析幾何試題中蘊含的數學內容結構和數學認知結構，遵循用坐標法研究幾何圖形的位置關系和數量關系這一基本思路和方法，從不同視角探究試題的解法，優化數學運算，構建解決解析幾何問題的一般數學方法結構，發展學生的數學運算素養.

一、試題呈現

二、試題分析

三、試題推廣

四、基于結構化視域的圓錐曲線復習備考建議

《標準》明確指出，重視以學科大概念為核心，使課程內容結構化，促進學科核心素養的落實. 喻平教授指出，數學核心素養的成分難以在單個知識點上表現出來，它往往隱藏在知識體系、知識結構之中. 可見，單元教學是發展學生數學核心素養的路徑之一，教學內容結構化是實施單元教學的有效策略.

1. 整合單元內容，優化數學內容結構

數學運算是研究平面解析幾何的核心素養主線，貫穿于點、直線、圓錐曲線等數學知識學習的全過程，是聯系平面解析幾何知識內容的紐帶. 新授課受新知發展邏輯順序的約束，而復習內容不同于新授課，可以站在單元整體的高度，優化原有的內容結構，整合單元內容資源，突出數學內容本質，發展學生的數學運算素養. 例如，對該試題數學內容結構的構建，突出了平面解析幾何的數學內容本質——利用幾何圖形建立直觀、通過代數運算刻畫規律. 平面解析幾何首先是幾何問題，離不開點、直線、曲線這些幾何直觀圖形；平面解析幾何還是代數問題，是通過點的坐標、直線、曲線的方程的聯立來解決幾何圖形的位置和度量問題. 數與形貫穿于整個平面解析幾何知識內容之中，幾何問題與代數表征構成了平面解析幾何不可或缺的內容結構.

2. 立足認知結構，構建數學方法結構

學生通過對問題內容結構的構建，將其內化為數學認知結構，在大腦中檢索解決類似問題的一般經驗與方法，并通過數學運算完成驗證. 該題幾種解法的算式結構的變化是在認知結構的調節、監控與指引下實現的，學生在運算過程中不斷反思、探索優化運算的路徑，步步遞進、層層承接. 運算是數學的“童子功”，要重視運算的通性通法. 例如，思路1的直接求解運算，雖然計算過程煩瑣，但是思路自然、算理簡樸、實用性強，能夠揭示數學內容的本質. 無獨有偶，聯系人教A版新、舊兩版教材對平面解析幾何“點到直線的距離公式”內容中點到直線的距離公式的推導過程的處理差異，《普通高中課程標準實驗教科書·數學》（2004年）給出了用兩點間距離公式推導點到直線的距離的探究思路，隨后指出“上述方法思路自然，但運算較繁”，轉到用“面積法”推導公式. 《普通高中教科書·數學》（2019年）沒有回避“運算較繁”這個問題，引導學生參與這個問題的計算過程，重視對學生數學運算能力的培養，再進一步引導學生思考引起運算量大的原因，啟發學生嘗試優化運算方法. 從單元教學的視角來看，數學運算素養的發展不是一蹴而就的，而是落實在新授課、復習課等各種課型的教學實踐中逐步發展的，其發展具有連續性和階段性. 對于圓錐曲線的復習課，每節課的數學內容不盡相同，但問題本身蘊含的思想方法、問題解決的一般方法卻有相似之處. 因此，立足數學認知結構，構建數學方法結構可以幫助學生跳出“知識千面”與“題目百變”的囹圄，站在數學思想方法的高度梳理知識、審視問題，能夠更好地透過“問題現象”直達“知識本質”.

3. 整體把握結構，重構數學單元結構

數學內容結構、數學認知結構和數學方法結構不是獨立存在的，而是相互關聯、相互依存的. 學生將數學內容結構內化為數學認知結構，經過理解、整合，數學認知結構反向充實數學內容結構. 同時，由數學認知結構構建數學方法結構，通過對數學方法的歸納與推廣，不斷充實數學認知結構和數學內容結構，從而形成內容更豐富、認知更嚴密、方法層次更高的數學結構. 在這個良性循環重構的過程中獲取“四基”、培養“四能”、發展數學核心素養. 其與“四基”、“四能”、數學核心素養的關系如圖6所示.

[數學內容結構][數學認知結構][數學方法結構] [內化] [構建] [充實][充實][充實][歸納、推廣] [獲取“四基”] [培養“四能”] [發展數學核心素養][圖6]

數學教科書是以基本單元內容為結構來編排的，單元內容結構是數學內容結構最重要的來源之一. 由于學生對教科書單元編排內容理解的深刻性存在差異，導致數學認知結構有差異，從而影響解決問題的數學方法的選取. 例如，該題思路2的解法4，借助教科書例題和探究內容的啟發，挖掘、梳理教科書不同問題內容的相同解法結構. 受知識發生發展的邏輯順序的制約，教科書無法將“3.1 橢圓”的例3和“3.2 雙曲線”的探究內容放在一起探究，此處需要充分調動學生的認知思維，在單元視角下重構單元數學內容結構、單元認知結構和單元方法結構.

五、結語

卜以樓老師從結構化視角將復習課講解歸納為三個層次：從有到有（對學過的知識進行結構梳理），從有到更有（對學過的知識進行創造性結構梳理），從無到有（讓復習課成為新授課）. 筆者的理解是，從有到有體現了對原有數學內容結構進行固化、應用與梳理；從有到更有是對原有數學內容結構加入了認知成分，優化了原有的數學認知結構；從無到有打破了原有的數學結構，重新構建了更高層次的數學方法結構. 構建是基于基層構架邏輯的破與立，是對數學“四基”的原創性整合，是培養數學“四能”的重要手段，是數學核心素養得以發展的載體.

參考文獻：

［1］李昌官. 試論數學教學的結構性原則［J］. 課程·教材·教法，2002（5）：35-37.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］喻平. 數學單元結構教學的四種模式［J］. 數學通報，2020，59（5）：1-8，15.

［4］章建躍. 利用幾何圖形建立直觀? 通過代數運算刻畫規律：解析幾何內容分析與教學思考（之一）［J］. 數學通報，2021，60（7）：7-14.