指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式的構建與實踐
2024-05-13 13:07:15文尚平
中學教學參考·理科版 2024年2期
文尚平
［摘 要］問題是數學的心臟，數學問題解決是一種重要的認知活動，數學問題解決教學蘊含全新的教學理念與價值訴求，其本質是師生學數學、用數學的過程。基于學習論、教學論和課程論三大理論的內涵挖掘，圍繞數學問題解決教學的目標、任務、策略和評價四個方面，建構了指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式，并嘗試將其應用于數學單元復習課教學，從操作層面進行實踐檢驗。
［關鍵詞］學教評一體化；數學問題解決教學模式；單元復習課
［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0001-05
一、問題提出與模式構建
《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）的“課程目標”中提出，通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”），提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）［1］。問題解決已經成為貫穿《課標》的關鍵詞和主題詞，數學學科核心素養的形成與發展源于知識的應用與問題的解決。哈爾莫斯認為，問題是數學的心臟。波利亞把數學視為一門問題解決的學科，并把問題解決作為數學教學的焦點。圍繞問題解決而開展的數學教學，既是數學教育的重要理念、策略和方法，也是數學教學的基本組織形式，其設計包括運用系統方法分析問題解決教學起點、確定問題解決教學目標、設計問題解決教學活動、選擇問題解決教學策略、實施問題解決教學評價、修訂問題解決教學方案等重要環節［2］，最終指向問題解決這一根本目標。
問題解決教學模式已經成為數學教育研究的重要范式。然而，研究發現，當下我國數學問題解決教學還普遍存在“課堂整體觀照不足，重教學輕評價”“學習目標定位不準，重知識點輕達成度”“教學評價技術不熟，重判斷輕改善”［3］等問題。究其原因是在教學中不能實現學習、教學、評價這三者的一體化。在我國，崔允漷教授最先引進“教學評一致性”這一概念，并從四個方面對其含義作出了解釋，構建了“學教一致、教評一致、學評一致”三因素模型［4］。后來，章勤瓊、陽海林等人提出“學教評一致性”概念，并主張課堂教學首先要分析好學生學習的內容與要求，才能更好地分析教師的教學和學習的評價［5］。相比“教學評一致性”，“學教評一體化”更符合《課標》的結構特點，也更符合教育教學實踐的邏輯。通過深度解讀指向“學教評一體化”的數學問題解決教學的本質內涵，以及探討其從課標走向課堂、從理論走向實踐的操作路徑與實施策略，構建了指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式（如圖1）。
數學單元復習課教學以問題解決為根本目標，強調基于“關鍵考查問題”“小問題”“具體問題”高考三大考查問題來設計問題鏈，與其相關的教學內容分析、學習目標確立、教學策略選擇、教學評價實施都迫切需要實現學教評一體化。因此，基于指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式的數學單元復習課教學可以概括為以下四個基本環節：一是依據課程標準、核心素養、教材內容、高考三大考查問題，分析課型特征并確立學習目標，解決“要到哪里”的問題；二是依據學生的認知起點和已有的學習經驗，剖析教學的重難點，并對確立的學習目標進行評估，解決“如何能到那里”的問題；三是依據確立的學習目標，設計具體的教學活動，解決“如何到那里”的問題；四是依據適切的評價框架，實施教學評價，解決“是否確定已經到那里”的問題。
本文以“平面向量數量積”單元復習課教學為例，探索指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式的構建與實踐。
二、基本流程與實踐操作
（一）依據單元復習課的課型特征，分析高考三大考查問題的考查要求，確立學習目標，解決“要到哪里”的問題
指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，需要回答的第一個問題是如何確定學習目標，即“要到哪里”。相應的“學習目標”應具有“導教、導學、導評”的功能。對于“平面向量數量積”單元復習課教學，教師可通過前測，評估學生求解數量積的整體水平，并實施動態教學分析，以明確“要到哪里”，為教學活動的實施做好鋪墊，讓學生確定學習的目標、重點、難點，帶著問題進行學習。“前測”的試題涉及定義法、基底法、坐標法、投影法和極化恒等式法。本環節圍繞“平面向量數量積”這一高考關鍵考查問題設計了如下前測問題鏈：（1）已知[a=2]，[b=1]，[
設計意圖：圍繞基礎知識與基本技能，將零散、模糊和死板的問題整合成系統、清晰和靈動的前測問題鏈，為本節課復習與探究“關鍵考查問題”“小問題”“具體問題”熱身，為知識的重構做好鋪墊，明確“要到哪里”。“前測”問題的解決情況反饋，不僅可用于調整、優化本節課的學習目標，還可用于指導教學任務的分析和教學活動的開展。
（二）依據已確立的學習目標，設置“小問題”教學任務，解決“如何確保能到那里”的問題
指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，需要回答的第二個問題是如何進行教學任務設置，即設置教學任務，解決“如何確保能到那里”的問題。在此環節中，基于5個“前測”問題，開展師生、生生互動交流，明確解決平面向量數量積問題涉及的知識、技能和方法，梳理出求解平面向量數量積的五種公式、四種方法，以及與之相關的兩大上下位知識。本環節圍繞“平面向量數量積”這一高考關鍵考查問題設計了如下“小問題”鏈：（1）在上述5個問題的解決過程中用到了哪些知識、哪些方法？你有什么體會？（2）結合平面向量數量積的公式及其結構特點，思考[a·b]與[a+b]、[a-b]的內在關系及其幾何表達。（3）如果把問題（2）的代數關系遷移到三角形中，還可以怎么表示？三角形中線與數量積有何關系？
設計意圖：圍繞基本思想與基本活動經驗，將淺層、低階的學科認識問題整合成超越具體知識、體現學科本質、凸顯專家思維的“小問題”鏈，目的在于對單元復習課中學生解決問題需具備的思想、方法進行提煉與加工，讓學生運用知識時知其然，也知其所以然。根據“小問題”的解決情況反饋，調整課堂教學節奏，并優化下一環節中“具體問題”的解決教學。
（三）設計問題解決教學的基本事件，優化“具體問題”教學策略，解決“如何到那里”的問題
指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，需要回答的第三個問題是如何進行教學策略的開發與選擇，即分析指導教學任務完成的策略，解決“如何到那里”的問題。此環節的教學以“具體問題”鏈為中心，以教師為主導、學生為主體，依據“前測問題”“小問題”的解決與反饋，預設和生成“具體問題”鏈，確保預設問題是多重的、非線性的，生成問題是學生自主提出的且是自然的。在師生交互下產生的預設問題的呈現順序、呈現跨度、呈現方式以及呈現內容應隨課堂的即時反饋做出調整，追求自然生成。“平面向量數量積”問題的解決，需要掌握最基本、最常用的三大形式（定義式、基底式、坐標式）。要想解決“如何到那里”的問題，教師需要在教學中呈現樣例，樣例要有較強的針對性和互補性。本環節圍繞“平面向量數量積”設計了如下“具體問題”鏈以及變式子問題鏈：
具體問題1：由兩個確定元過渡到三個確定元：[AC·AE=（AB+AD）AB+12AD]。
（1）在正方形[ABCD]中，[AB=2]，點[E]為[BC]中點，求[AC·AE]。
具體問題2：掌握極化恒等式法求數量積，感悟整體法、方程思想、化歸思想在問題解決中的應用。
（2）等邊三角形[ABC]中，[AB=2]，[P]為平面[ABC]內一點，求[PA·（PB+PC）]的最小值。
變式1：在[△ABC]中，[D]是[BC]的中點，[AD=3]，[BC=10]，求[AB·AC]。
變式2：已知[AB]為圓[O]的直徑，[M]為弦[CD]的動點，[AB=8，CD=6]，求[MA·MB]的取值范圍。
變式3：平面四邊形[ABCD]，[O]為[BD]的中點，[OA=3，OC=5]，[AB·AD=-7]，求[BC·DC]。
具體問題3：利用幾何問題代數化思想，建立坐標系，將“平面向量數量積”動態問題轉化為代數問題，感悟在利用坐標法解決“平面向量數量積”動態問題的過程中，正交與斜交的不同及相應問題的解決方法的差異。
（3）矩形[ABCD]中，[AB=2]，[BC=2]，[EB=EC]，[F]在[CD]邊上，[AB·AF=2]，求[AE·AF]。
變式1：在[Rt△ABC]中，[CA=CB=2]，[M、N]是斜邊[AB]上的兩個動點，[MN=2]，求[CM·CN]的取值范圍。
變式2：在[△ABC]中，[OM=1]，[ON=2]，[∠MON=120°]，[BM=2MA]，[CN=2NA]，求[BC·OM]。
變式3：在[△ABC]中，[D]是[BC]的中點，[E]在[AB]邊上，[BE=2EA]，[AD]與[CE]交于點[O]，若[AB·AC=6AO·EC]，求[ABAC]的值。
設計意圖：在探究“具體問題”鏈的過程中，設計具體、真實、綜合的問題解決情境，給學生提供冷靜思考的時間和充分表達的機會，引導學生像數學家一樣思考問題、解決問題，有效落實了學生“四基”“四能”的培養，提升了學生分析和解決問題的能力。由問題解決與經驗生長的共生共存關系可知，并不預先存在一種固定的方式使學生學會解決問題。學生需要在質疑與試錯的過程中、聆聽與被聆聽的情境中、批判與反思的體驗中建構個人的知識結構［6］。課堂教學，功在預設，貴在生成。根據課堂中學生的實際情況，教師應及時做出教學調整，在問題解決的過程中兼顧學生提出問題能力的培養。
（四）開展問題解決教學的評價反饋，評價“關鍵考查問題”教學效果，解決“是否確定已經到那里”的問題
指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，需要回答的第四個問題是如何檢測學習效果，即如何實施教學評價，解決“是否確定已經到那里”的問題。依托《課標》的課程內容要求和學業質量標準，通過課時對話、單元提煉、作業練習進行評價反饋，檢測問題解決教學是否已經實現預期目標，檢測學生是否已經掌握解決問題所需的基礎知識、基本技能、基本思想，以及其提出和分析問題的能力是否得到鍛煉，并通過評價反饋改進教與學。
1.從知識、方法、體驗三個角度展開課時對話，夯基固本
（1）知識回顧：本節課，我們學到了哪些數學概念和公式？
（2）方法回顧：除了學到具體的知識，我們是否還掌握了一條研究平面向量數量積問題的路徑？
（3）經歷回顧：這節課我們經歷了什么？
2.圍繞“考查問題”“題胚”“變式”展開單元提煉，正本清源
（1）構建單元復習課教學的基本問題框架。基于指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式，圍繞“關鍵考查問題→小問題→具體問題”構建“平面向量數量積”單元復習課問題解決教學的基本問題框架（如圖2）。
（2）提煉高考關鍵考查問題的模胚。基于指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式，關注立意、情境、設問三大命題要素，總結提煉出關注平面向量數量積問題的題型結構及試題模胚。
已知：向量（三角形、四邊形）的模長（與模有關的等式）、夾角、點（動點）、坐標。
求解：某兩個向量的數量積的值（范圍）。
（3）實施高考關鍵考查問題的變式。基于指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式，從問題表征角度歸納總結平面向量數量積問題的題型結構（題胚），并從問題變式角度歸納總結平面向量數量積問題的考查特點，以歸納解題的一般方法，獲得解決此類問題的高級規則和圖式。
條件變式：變換平面圖形、恒等式結構，準確選擇合適的平面向量數量積公式求解。
結論變式：根據條件求平面向量數量積的值或范圍。
設計意圖：從問題解決的視角進行數學教學，使學生能夠在給定的情境中提出問題或者通過修改已給問題的條件來創設新的問題。通過條件變式、結論變式，有效促進學生發現問題、提出問題并解決問題，進而培養學生的問題解決能力。
3.圍繞“原則、目標、內容”設計作業，守正創新
回答“是否確定已經到那里”這一個基本問題，意味著對“學會解決問題”這一終極目標的實現度進行了評價。作業是常見的評價手段之一。問題解決視角下，需基于以“學生—學習—學會”為中心的大作業觀，統整課前、課中、課后的作業設計，實現課程學程化、作業學習化［7］，從而將原本用以補充教學的傳統作業轉化成學生探究、創造的載體與成長的通道，并推動教學實現學生在教師引導下參與作業活動、解決作業問題的過程化轉型。
（1）以“學教評一體化”為作業設計原則。依據“平面向量數量積”復習課的教學目標、教學反饋等設計作業。學生能解決熟悉情境下的平面向量數量積求解問題，會對問題條件進行識別、分解、組合，進而能正確選擇運算方向。在鞏固知識的基礎上，作業應突出知方法、明方法、選方法、用方法以及發現問題、提出問題的能力要求。
（2）以問題解決能力培養為作業設計目標。根據設計原則，細化、分解教學目標，進而確定作業的目標、難度和題型，并對照作業目標和教學目標，確保作業的有效性。據此，“平面向量數量積”單元復習作業的目標做如下設計：掌握平面向量數量積運算的五大基本方法，熟悉每一種方法的操作要領；能在陌生的數學情境中熟練選擇最適切的求解方法，深刻理解多個向量的不確定問題轉化為一對“基向量”的確定問題背后的算法邏輯，理解平面向量數量積運算的本質；通過研究高考試題，把握“平面向量數量積”的高考考查要求、考查規律和命題方向。
（3）以指導學生研究高考、提出問題為作業設計內容。如設計作業：請同學們以小組合作的形式，研究近5年高考新課標卷中考查向量運算的試題及其解法，嘗試為2024年高考命制一道考查平面向量數量積的試題，并說出你的理由。
設計意圖：基于上述三個維度設計作業，剖析近5年高考新課標卷數學壓軸題的本質特征，引導學生掌握壓軸題的基本解法；基于核心素養，建立高考全國卷數學壓軸題的題干和設問的模胚，圍繞模胚題開展“我為高考命題”活動，培養學生提出問題的能力。
三、教學反思與經驗整合
（一）指向“學教評一體化”的數學問題解決教學要做好“五大”教學分析
根據《課標》要求，數學問題解決教學中教師應結合具體教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光發現問題，用準確的數學語言描述問題，用適切的數學方法解決問題［8］，并在解決問題的過程中理解數學學科的本質，增強數學學科的價值認同。因此，要想開展指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，一要做好教學內容分析，圍繞解決問題所需知識的上下位關系以及高考關鍵考查問題展開分析，突出學科知識的本質；二要做好教學目標分析，圍繞解決問題所需知識的實踐反思，提取問題解決方法，立足學科核心素養，突出教學目標的實現；三要做好學情分析，問題解決中圍繞學生所需具備的能力以及學生可能所存在的認知困境展開分析，突出教學起點的確立；四要做好教學重難點分析，圍繞問題解決教學的重難點和重難點突破展開分析，突出教學方式的設計；五要做好教學策略分析，圍繞與問題解決相關的知識與技能、過程與方法這兩條基本主線，合理選擇教學策略和信息技術工具，突出教學策略的選取。問題既是學生思維的起點，也是學生思維的動力源泉。提問既是教學策略，也是教學組織的基本形式。因此，教師應在理解教學內容、明確教學目標、把握內容本質、分析教學重難點、選取教學策略的基礎上，設計并提出合適的、遞進式的問題，引導學生展開深入的思維訓練，促使學生理解知識、掌握方法、提升素養。
（二）指向“學教評一體化”的數學問題解決教學要設計好“四大”基本問題
心理學認為，數學問題解決是在一定的數學情境下，遵照既定的目標，應用相關知識和技能，經過一系列的思維操作，使得數學問題得以解決的過程。指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，一要設計好教學目標，依據教學目標的“導教、導學、導評”功能開展教學活動，明確“要到哪里”；二要設計好教學任務，依據教學目標設計一個主問題和若干個關鍵考查問題，并實時生成新的問題，確保“能到那里”；三要選好教學策略，依據教學目標設計完成教學任務的方法、路徑，解決“如何到那里”；四要設計好教學評價，依據教學目標開展課時小結、歸納提煉和作業練習，明確“是否已經到那里”。上述過程實質上是在尊重學生的已有起點和發展的可能的基礎上設計教學目標，在尊重教學基本規律的基礎上設計具體的教學任務，在尊重學生的差異的基礎上選取教學策略，在尊重教學結果的基礎上設計評價反饋。教師應將教學目標始終貫穿整個教學活動，并通過評價反饋及時優化問題解決教學，實現“學教評一體化”。
（三）指向“學教評一體化”的數學問題解決教學要構建“三大”教學主線
中學數學課堂教學的一個重要目標就是培養和提高學生的數學思維能力，特別是數學問題解決能力。指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，要按照“關鍵考查問題→小問題→具體問題”的遞進思路進行設計，開展活動。高考關鍵考查問題體現了對歷年高考試題的研究與再利用，體現了整體掌握高考試題考查的難度、方向的設計思想，是問題解決教學的內容主線。“小問題”體現了對歷年高考試題所考查的思想方法、核心素養的提煉與加工，是問題解決教學的素養主線。“具體問題”體現了對基礎知識、基本技能的復習與鞏固，包括數學課程中概念、命題和理論等基礎知識，以及運算、測量、認圖、畫圖、證明和數據處理等基本技能，是問題解決教學的操作主線［9］。可見，數學問題解決教學須實現“學教評一體化”，先對與課程內容有關的高考試題進行深度研究，提取出高考重點考查的數學思想、方法、能力及水平，再進行具體知識點的歸納與復習，以及問題解決的操作與訓練。
指向“學教評一體化”的數學問題解決教學，要突出主題，關注知識的整合，尤其要強化提高學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的訓練［10］。數學問題解決教學是學生與數學情境交互作用的過程，它將學習嵌入需要運用知識解決問題的情境中，指引學生在陌生的情境中將新信息與已有知識鏈接起來解決問題。這個過程恰恰是學生學會學習、發展素養的過程。建構指向“學教評一體化”的數學問題解決教學模式，將有助于提升數學單元復習課教學的有效性。指向“問題解決”的數學單元復習課教學，既要關注問題的設計是否符合教學目標，又要關注問題的生成是否自然，還要關注問題的解決過程是否能很好地發展學生的數學學科核心素養。因此，教師應提出有價值的問題，并鼓勵學生發現和提出有價值的問題，最終落實“四基”、培養“四能”。
［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］
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［5］? 章勤瓊，陽海林.基于課程標準的小學數學“學、教、評一致性”：兼論核心素養的落實與評價［J］.課程·教材·教法，2022（11）：21-28.
［6］? 張紫屏.論問題解決的教學論意義［J］.課程·教材·教法，2017（9）：52-59.
［7］? 謝翌，楊志平.大作業觀：主要內涵與實踐路徑［J］.課程·教材·教法，2022（1）：10-17.
［9］? 林梅，余泉，袁曉亮，等.指向核心素養的數學單元復習課教學設計研究［J］.數學通報，2022（11）：9-13.
［10］? 李紅婷.數學問題解決教學設計及其實施策略［J］.數學通報，2007（6）：34-37.
（責任編輯 黃春香）
