一道試題的解法探究與教學反思

龐毅

［摘 要］通過對一道高三摸底試題進行考情分析、解法探究和問題拓展，揭示試題的本質，并從注重解題經驗積累培養數學運算素養、注重信息技術應用培養學生數字素養兩個方面提出教學反思。

［關鍵詞］解法探究；教學反思；圓錐曲線；信息技術

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0025-03

解析幾何是高考加強“綜合性”考查的重要載體。廣西南寧市2024屆高中畢業班摸底測試第21題將直線與橢圓的位置關系以及長度計算相結合，問題設計緊扣高考評價體系的“基礎性、綜合性、應用性、創新性”考查要求，既基礎又開放，對高三數學復習備考具有重要的參考意義。

一、試題呈現與考情分析

（一）試題呈現

已知平面上動點[E]到點[A（1，0）]與到圓[B：x2+y2+2x-15=0]的圓心[B]的距離之和等于該圓半徑。記Ε的軌跡為曲線[Γ]。

（1）說明[Γ]是什么曲線，并求[Γ]的方程；

（2）設[C]、[D]是[Γ]上關于[x]軸對稱的不同兩點，點[M]在[Γ]上，且[M]異于[C]、[D]兩點，[O]為原點，直線[CM]交[x]軸于點[P]，直線[DM]交[x]軸于點[Q]，試問[OP·OQ]是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由。

評析：本題主要考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質和直線方程等主干知識，考查通過代數運算結果判斷幾何性質的坐標法和函數與方程、轉化與化歸以及數形結合等數學思想，考查邏輯推理、數學運算等核心素養。第（2）問是開放性問題，重點考查學生的創新能力和探索精神。

（二）考情分析

本題的考試情況如表1所示。

[題目 實考

人數 滿分 平均分 標準差 難度 區分度 滿分率 零分率 第21題 54110 12 1.15 1.77 0.15 0.21 0.16 29.52 ]

從統計的結果來看，本題總體平均分1.15，難度0.15，這個結果出乎命題組的預料。為了解考生的解答情況，筆者對部分考生的答題卡進行分析并訪談考生。通過分析與訪談發現，潛力生直接放棄答題；部分中等生解答第（1）問時根據文字的描述列出[（x-1）2+y2+（x+1）2+y2=4]這一方程，因簡化困難而止步；優秀生在解答完第（1）問后，設[CM]的方程為[y=kx+m]，然后代入橢圓方程，應用韋達定理，寫兩根之和與兩根之積的表達式，后因感覺運算繁雜而放棄。由此可見，出現較低平均分的原因是學生不具備解決此類問題的基本活動經驗，缺乏對運算對象的理解、運算思路的探究、運算方法的選擇和運算背景的變換的能力。

二、解法探究

第（1）問啟發學生從橢圓的定義入手，不難得出橢圓的標準方程為[x24+y23=1]。本文僅對第（2）問進行探究。

解法1：如圖1所示，設直線[CM]的方程為[y=kx+m]，[C（x1，y1）]， [D（x1，-y1）]， [M（x2，y2），]

由[y=kx+m，3x2+4y2=12，]得

[（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0]，

則[x1+x2=-8km3+4k2]，[x1x2=4m2-123+4k2]。

直線[DM]的方程為[y+y1=y1+y2x2-x1（x-x1）]，令[y=0]，得[xQ=x1+y1（x2-x1）y1+y2]，

所以[OQ=xQ=x1+y1（x2-x1）y1+y2=x1y2+x2y1y1+y2=x1（kx2+m）+x2（kx1+m）kx1+m+kx2+m=2k·4m2-123+4k2+m·-8km3+4k2k·-8km3+4k2+2m=4km]。

在[y=kx+m]中，令[y=0]，得[xP=-mk]，

所以[OPOQ=-mk·4km=4]，

因此，[OPOQ]為定值４。

反思：本解法用代數方法解決幾何問題，充分展現了坐標法的魅力與威力。從直線與橢圓的位置關系入手，利用方程思想，用[k]、[m]分別表示[OP]、[OQ]，從而求出[OPOQ]的值與[k]、[m]無關，判斷出其為定值。但用[k]、[m]表示[OQ]時冗長繁雜，考生在規定時間內難以完成。

解法2：考慮特殊情形，當點[M]在橢圓長軸頂點時，[M]、[P]、[Q]三點重合，[OP=OQ=a]，所以[OPOQ=a2]。由此猜想，本題條件下可能有[OP·OQ=a2]。

設[C（x1，y1）]，[D（x1，-y1）]，[M（x2，y2）]，

則設直線[CM]的方程為[y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）]，

令[y=0]，得[xP=x1-y1（x2-x1）y2-y1=x1y2-x2y1y2-y1]。

因為點[D]與[C]關于[x]軸對稱，所以用“[-y1]”代換“[y1]”，可由[xP]得[xQ=x1y2+x2y1y2+y1]，

所以[OPOQ=xPxQ=x12y22-x22y21y22-y21]（*）。

因為[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，所以[x21y22-y21x22=a21-y21b2y22-a21-y22b2y21=a2（y22-y21）]，

所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-x22y21y22-y21=a2]，

因此， [OPOQ]為定值4。

反思：本解法先找特殊點，猜想[OPOQ]的可能取值，再進行一般化證明，這是解決存在性問題的基本方法。本解法充分利用點[C（x1，y1）]與[D（x1，-y1）]關于[x]軸對稱的性質，用“[-y1]”代換“[y1]”就可由[xP]得[xQ]，這種對稱代換方法可減少運算量，使運算變得簡單明了。與解法１相比，本解法凸顯“探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序”的重要性。另外，在化簡[x21y22-x22y21y22-y21]時，利用橢圓標準方程代換后結果為[a2]，表明結果只與橢圓長半軸有關，具有一般性。

三、問題拓展

（一）變換對稱軸

拓展1：設[C]、[D]是[Γ：][x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上關于[y]軸對稱的不同兩點，點[M]在[Γ]上，且[M]異于[C]、[D]兩點，[O]為原點，直線[CM]交[y]軸于點[P]，直線[DM]交[y]軸于點[Q]，試問[OP·OQ]是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由。

解：如圖２所示，設[C（x1，y1）]，[D（-x1，y1）]，[M（x2，y2）]， 則直線[CM]的方程為[y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）]，

令[x=0 ]，得[yP=-x1（y2-y1）x2-x1+] [y1=x2y1-x1y2x2-x1]，

用“[-x1]”代換“[x1]”，由[yP]得[yQ=x２y１+x１y２x2+x1]，

所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21]（**），

因為[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上，所以[x22y21-x21y22=x22b21-x21a2-x21b21-x22b2=b2（x22-x21）]，

所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21=b2]，

因此，[OPOQ]為定值[b2]。

（二）變換曲線

拓展２：設[C]、[D]是[Γ：][x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上關于[x]軸對稱的不同兩點，點[M]在[Γ]上，且[M]異于[C]、[D]兩點，[O]為原點，直線[CM]交[x]軸于點[P]，直線[DM]交[x]軸于點[Q]，試問[OP·OQ]是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由。

解：接解法２（*），因為[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上，所以[x21y22-x22y21=a21+y21b2y22-a21+y22b2y21=a2（y22-y21）]，

所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-y21x22y22-y21=a2]，

因此，[OPOQ]為定值[a2]。

拓展３：設[C]、[D]是[Γ：][x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上關于[y]軸對稱的不同兩點，點[M]在[Γ]上，且[M]異于[C]、[D]兩點，[O]為原點，直線[CM]交[x]軸于點[P]，直線[DM]交[y]軸于點[Q]，試問[OP·OQ]是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由。

解：接拓展１解法（**），因為[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]上，

所以[x22y21-x21y22=x22b2x21a2-1-x21b2x22b2-1=-b2（x22-x21）]，

所以[OPOQ=yPyQ=x22y21-x21y22x22-x21=b2]，

因此，[OPOQ]為定值[b2]。

拓展４：設[C]、[D]是[Γ：][y2=2px （p>0）]上關于[x]軸對稱的不同兩點，點[M]在[Γ]上，且[M]異于[C]、[D]兩點，[O]為原點，直線[CM]交[x]軸于點[P]，直線[DM]交[x]軸于點[Q]，試問[OP·OQ]是否為定值？若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由。

解：接解法２（*），因為[C（x1，y1）]，[M（x2，y2）]均在拋物線[y2=2px （p>0）]上，

所以[OPOQ=xPxQ=x21y22-x22y21y22-y21=y21y224p2]不是定值。

反思：[OPOQ]不是定值，但[xP+xQ=x1y2-x2y1y2-y1+] [x1y2+x2y1y2+y1=-y1y22p+y1y22p=0]為定值。由以上拓展可知，曲線（橢圓或雙曲線）[Γ]上關于其對稱軸對稱兩點與曲線[Γ]上另外一點的連線，在該對稱軸上截距乘積的絕對值為定值，定值為曲線[Γ]在該對稱軸半軸長的平方。

四、教學反思

以上分析和問題拓展，顯示出試題的立意深刻和背景豐富，存在很好的教學價值。但學生的得分情況反映出學生的學和教師的教都還缺乏實效，值得我們反思。

（一）注重解題經驗積累，培養學生的數學運算素養

解析幾何解答題是高考考查學生數學運算素養的重要載體。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。”在高三數學復習過程中，教師應注重教材例題、習題和歷年高考典型試題的“一題多解”訓練，引導學生積累解題經驗，形成良好的認識結構；探索“多題一解”，揭示試題的本質，提高學生分析問題和解決問題的能力。同時，注重解題技巧（如對稱代換）的運用，縮減運算步驟，提高解題效率。

（二）注重信息技術的運用，培養學生的直觀想象素養

信息技術的運用可以幫助學生理解概念、提高數學抽象能力，為學生分析問題和解決問題提供可視化、直觀化的幫助，促進學生深度學習。幾何畫板軟件是學生分析與解決解析幾何問題最有力的幫手，讓學生掌握該軟件的使用方法，不僅能夠提高學生學習解析幾何的興趣，消除學生對解析幾何題的畏難心理，還能提升學生的動態幾何感知能力，加深學生對基本定義的理解，拓展學生思維，幫助學生建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，從而提升學生的直觀想象素養。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 胡善俊，余樹寶.基于數學活動經驗的解題實踐與教學思考［J］.中學數學教學參考，2019（34）：37-40.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責任編輯 黃桂堅）