求線段比最值問題的方法研究

宋玉海

［摘 要］初中數學中，求線段比最值問題難度較大，學生在解答的過程中可能會遇到一些困難。文章結合幾個例題，分析探討求線段比最值問題的方法，旨在幫助學生突破解題難點，發展學生的思維能力。

［關鍵詞］線段比；最值；初中數學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0018-04

近幾年，中考數學試題中不斷出現關于線段比最值問題，這類問題難度較大，學生解答普遍有些困難。解決此類問題可以用弦與直徑的關系、銳角三角函數的邊角關系、直角三角形斜邊與直角邊的大小關系、二次函數的最值性質等。

一、利用“直徑是圓中最長的弦”求線段比的最值

當圖形中幾個點到一定點的距離相等時，則這幾個點在以定點為圓心的圓上，此時可以作出輔助圓，并利用“直徑是圓中最長的弦”求得線段比的最值。

［例1］如圖1所示，等腰直角[△ABC]的斜邊[AB]下方有一動點[D]，[∠ADB=90°]，[BE]平分[∠ABD]交[CD]于點[E]，則[CECD]的最小值是。

分析：如圖2所示，取[AB]的中點[O]，連接[OC]、[OD]、[AE]。由[OA=OB=OC=OD]，得[A]、[C]、[B]、[D]四點共圓，往證點[E]是[△ABD]的角平分線的交點，再證明[CE=CA]為定值，當[CD]是直徑時，[CECD]的值最小。

解：如圖2所示，取[AB]的中點[O]，連接[OC]、[OD]、[AE]?！遊∠ACB=∠ADB=90°]，[OA=OB]，∴[OC=OD=12AB]，∴[A]、[C]、[B]、[D]四點共圓，∵[CA=CB]，∴[∠CBA=∠CAB=45°]，∴[∠CDA=∠CBA=45°]，[∠CDB=∠CAB=45° ]，∴[∠CDB=∠CDA]，∴[DE]平分[∠ADB]，∵[BE]平分[∠ABD]，∴點[E]是[△ABD]的角平分線的交點，∴[AE]平分[∠BAD]，∴[∠BAE=∠DAE]，∵[∠CAE=∠CAB+∠BAE=45°+∠BAE]，[∠CEA=∠EDA+∠EAD=45°+∠DAE]，∴[∠CAE=∠CEA]，∴[CA=CE=定值]，∴當[CD]的值最大時，[CECD]的值最小，∴當[CD]是直徑時，[CECD]的值最小，最小值[=ACBA=22]，故答案為[22]。

評注：當兩個直角三角形的斜邊重合時，這兩個直角三角形的四個頂點一定在同一個圓上，但是直角頂點的位置并不確定。本題通過作出輔助圓，利用“直徑是圓中最長的弦”求得線段比的最小值，體現了輔助圓的價值。

二、利用一元二次方程根的判別式求線段比的最值

當線段的長作為一元二次方程的未知數時，這個一元二次方程一定有實數根，由此可以確定根的判別式一定大于或等于0，這樣就建立了關于未知系數的不等式，通過求不等式的解集，獲得未知系數的最值，從而求得線段比的最值。

［例2］如圖3所示，在Rt[△ABC]中，[∠A=90°]，[AB=AC]，點[D]在[AB]上，點[E]在[AC]上，且[AD=CE]，連接[DE]，求[DECD]的最小值。

分析：設[AB=AC=1]，由等腰直角三角形的性質得出[BC=2]，設[AD=CE=x]，則[AE=BD=1-x]，過點[D]作[DF⊥BC]于[F]（如圖4），則[△BDF]是等腰直角三角形，得[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=22（x+1）]，[CD=DF2+CF2=x2+1]，得[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，設[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，得[y]的最大值為[1+52]，即可得出[DECD]的最小值。

解：設[AB=AC=1 ]，∵[∠A=90°]， [AB=AC ]，∴[△ABC]是等腰直角三角形，[∠B=45°]，∴[BC=2AB=2]，設[AD=CE=x]，∴[AE=BD=1-x]，過點[D]作[DF⊥BC]于[F]，如圖4所示，則[△BDF]是等腰直角三角形，∴[BF=DF=22BD=22（1-x）]，[DE=AD2+AE2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1]，[CF=BC-BF=2-22（1-x）=22（x+1） ]，[CD=DF2+CF2=22（1-x）2+22（x+1）2=x2+1 ]，∴[DECD=2x2-2x+1x2+1=2-2x+1x2+1]，設[2x+1x2+1=y]，整理得[yx2-2x+y-1=0]，∵[x]為實數，∴[Δ=（-2）2-4y（y-1）≥0]，即[y2-y-1≤0]，∴[1-52≤y≤1+52]，∴[y]的最大值為[1+52]，∴[DECD]的最小值為[2-1+52=5-12]。

評注：本題求線段比的最小值的過程中運用了多重知識，首先是假設線段[AB]、[BD]的值，并表示出[DF]與[CD]的長，然后將問題轉至一元二次方程根的判別式，由[x]為實數建立一個一元二次不等式。該方法本質是解一元二次不等式，這需要運用二次函數、一元二次方程和二次根式的相關知識。

三、利用銳角三角函數的邊角關系求線段比的最值

銳角三角函數反映的是直角三角形邊與邊的關系，因為垂線段最短，所以將斜三角形邊與邊的比轉化為直角三角形邊與邊的比，就可以找到斜三角形邊與邊的比的最小值。

［例3］如圖5所示，點[D]為等邊三角形[ABC]內一點，且[∠BDC=120°]，則[ADBD]的最小值為 。

分析：如圖6所示，將[△BCD]繞點[C]順時針旋轉60°得到[△ACE]，連接[DE]，過點[A]作[AH⊥DE] 于點[H]。證明[∠AEB=60°]，則[AHAE=32]，根據[ADBD=ADAE≥AHAE]求解即可。

解：如圖6所示，將[△BCD]繞點[C]順時針旋轉60°得到[△ACE]，連接[DE]，過點[A]作[AH⊥DE]于[H]?！遊CD=CE]，[∠DCE=60°]，∴[△DCE]是等邊三角形，∴[∠EDC=∠DEC=60°]，∵[∠AEC=∠BDC=120°]，∴[∠AED=60°]，∵[BD=AE]，∴[ADBD=ADAE]，∵[AH⊥DE]，∴[AD≥AH]，∴[ADBD≥AHAE]，∵[∠AHE=90°]，[∠AEB=60°]，∴在Rt[△AHE]中，[AHAE=sin∠AEH=sin60°=32]，∴[ADBD≥32]，∴[ADBD]的最小值為[32]。

評注：本題用旋轉法將等邊三角形中的“星形”線段[DA]、[DB]、[DC]轉化到同一個三角形[ADE]中，同時也得到[∠AED=60°]，利用“垂線段最短”的幾何性質得到[ADBD的最小值是AHAE]，最后利用60°角的正弦值求得線段比的最小值。不難發現，利用銳角三角函數的邊角關系也是求線段比最值的策略之一。

四、利用“弓形高”求線段比的最值

當定角對定邊時，可以得到一個輔助圓，在輔助圓中，從弓形各點向弦作垂線段，其中過弓形中點所作的垂線段最長，據此可以求得線段比的最大值。

［例4］如圖7所示，在[△ABC]中，[∠C=90°]，點[D]是[BC]邊上一動點，過點[B]作[BE⊥AD]交[AD]的延長線于點[E]。若[AC=2]，[BC=4]，則[DEAD]的最大值為 ? ? ? 。

分析：過點[E]作[EF⊥BC]于[F]，推出[△ACD ]∽[△EFD]，根據相似三角形的性質得到[DEAD=EFAC]，當[OE⊥BC]時，[EF]有最大值，根據勾股定理得到[AB=25]，由垂徑定理得到[BF=12BC=2]，求得[EF=5-1]，即可得到結論。

解：如圖8所示，過點[E]作[EF⊥BC]于[F]，∵[∠C=90°]，∴[AC]∥[EF]，∴[△ACD ]∽[△EFD]，∴[DEAD=EFAC]，∵[AE⊥BE]，∴[A]、[B]、[E]、[C]四點共圓。設[AB]的中點為[O]，連接[OE]，如圖9所示，當點[E]是[BC]中點時，[EF]的值最大，此時[E]、[F]、[O]共線，∵[AC=2]，[BC=4]，∴[AB=AC2+BC2=22+42=25]，∴[OE=OB=5]，∵[OE⊥BC]，∴[BF=12BC=2]，∴[OF=OB2-BF2=5-4=1]，∴[EF=OE-OF=5-1]，∴[DEAD=EFAC=5-12]，∴[DEAD]的最大值為[5-12]，故答案為[5-12]。

評注：本題[∠C=∠AEB=90°]，且都對著同一邊[AB]，出現了定角對定邊的現象，所以可以把輔助圓作出來，因為[BC]固定，所以弓形[BC]也固定，從弓形[BC]上各點向弦作垂線段，其中垂線段最長，實際上也就是弓形高，這是求得[DEAD]的最大值的關鍵。

五、利用二次函數最值法求線段比的最值

在求線段比的最值的問題中，當兩條線段是相似三角形的對應邊時，可以轉化為另一組對應邊的比，另一組對應邊通常是一組水平線段的比或一組豎直線段的比。其中線段的長可以用點的縱坐標的差或橫坐標的差表示，從而建立二次函數關系式，利用二次函數最值的性質解決問題。

［例5］如圖10所示，在平面直角坐標系中，已知拋物線[y=ax2+bx+c]與[x]軸交于點[A（-3，0）]，[B（1，0）]兩點，與[y]軸交于點[C（0，3）]，點[P]是拋物線上的一個動點。（1）求拋物線的表達式；（2）當點[P]在直線[AC]上方的拋物線上時，連接[BP]交[AC]于點[D]，當[PDDB]的值最大時，求點[P]的坐標及[PDDB]的最大值。

分析：（1）運用待定系數法，將點[A（-3，0）]，[B（1，0）]，[C（0，3）]代入[y=ax2+bx+c]，即可求得拋物線的表達式；（2）運用待定系數法可得直線[AC]的表達式為[y=x+3]，過點[P]作[PE]∥[x]軸交直線[AC]于點[E]，設[P（t，-t2-2t+3）]，則[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，可得[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，由[PE]∥[x]軸，得[△EPD ]∽[△ABD]，進而得出[PDDB=PEAB=-t2-3t4=-14t+322+916]，再運用二次函數最值的性質即可求得答案。

解：（1）∵拋物線[y=ax2+bx+c]與[x]軸交于點[A（-3，0）]，[B（1，0）]兩點，與[y]軸交于點[C（0，3）]，∴[9a-3b+c=0，a+b+c=0，c=3，]解得[a=-1，b=-2，c=3，]∴該拋物線的表達式為[y=-x2-2x+3]。

（2）設直線[AC]的表達式為[y=kx+n]，則[-3k+n=0，n=3，]解得[k=1，n=3，]∴直線[AC]的表達式為[y=x+3]，過點[P]作[PE]∥[x]軸交直線[AC]于點[E]，如圖11所示，設[P（t，] [-t2-2t+3）]，則[E（-t2-2t，-t2-2t+3）]，∴[PE=-t2-2t-t=-t2-3t]，∵[A（-3，0）]，[B（1，0）]，∴[AB=1-（-3）=4]，∵[PE]∥[x]軸，∴[△EPD ]∽[△ABD]，∴[PDDB=PEAB]，∴[PDDB=-t2-3t4=-14t+322+916]，∵[-14<0]，∴當[t=-32]時，[PDDB]的值最大，最大值為[916]，此時點[P]的坐標為[-32，154]。

評注：本題求線段[PDDB]的最大值，首先利用了相似三角形對應邊成比例將其轉化為另一組對應邊的比，然后將拋物線上的點[P]表示為（[t]，[-t2-2t+3]），由直線[AC]的表達式[y=x+3]得點[E]表示為（[-t2-2t]，[-t2-2t+3]），這樣[PE]的長可以用含[t]的代數式表示，最后建立關于[t]的二次函數，利用二次函數最值的性質解答。

六、利用旋轉或全等求線段比的最值

在求線段比的最值問題中，如果兩條線段的長都不固定，且都在直角三角形中，那么可以通過旋轉或構造全等三角形的方法，將這兩條線段的比轉化為另外兩條線段的比，在轉化后的兩條線段中，若其中一條線段的長固定，則只需考慮另一條線段的最值即可。

［例6］如圖12所示，正方形[ABCD]中，[E]在射線[BC]上，連[AE]、[DE]，則[DEAE]的最小值是 。

分析：（1）旋轉法。如圖13所示，將[△ADE]繞點[A]順時針旋轉90°到[△ABE′]，取[AE]的中點[H]，連接[HB]、[HE′]，由勾股定理得[HE′=52AE]，由斜邊中線性質得[BH=12AE]，由三角形三邊關系得[BE′+BH≥52AE]，轉化成[DE≥5-12AE]，從而得[DEAE]的最小值。（2）全等法。如圖14所示，設[AE=2]，取[AE]中點[M]，連接[BM]，過[A]作[AN⊥AM]，且[AN=AM]，連接[DN]、[NE]，由邊角邊公理得[△BAM ]≌[△DAN]，則[DN=1]，由勾股定理得[NE=5]，由三角形三邊關系得[DE≥EN-DN]，從而求得[DEAE]的最小值。

? ? ? ?

圖13? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖14

解法1：如圖13所示，將[△ADE]繞點[A]順時針旋轉90°到[△ABE′]，則[BE′=DE]，[AB=AD]，[AE′=AE]，取[AE]的中點[H]，連接[HB]、[HE′]，由旋轉的性質得[∠HAE′=90°]，∴[HE′=AE'2+AH2=AE2+12AE2=52AE]，∵[H]是直角三角形[ABE]斜邊的中點，∴[BH=12AE]，又∵[BE′+BH≥HE′=52AE]，即[DE+12AE≥52AE]，∴[DE≥5-12AE]，∴[DEAE]的最小值為[5-12]。

解法2：如圖14所示，設[AE=2]，取[AE]中點[M]，連接[BM]，則[BM=12AE=1]，過[A]作[AN⊥AM]，且[AN=AM]，連接[DN]、[NE]，則[△BAM ]≌[△DAN]（SAS），∴[DN=BM=1]，在Rt[△NAE]中，[NE=AN2+AE2=5]，∵[DE≥EN-DN]，∴[DEmin=5-1]，∴[DEAEmin=5-12]。

評注：本題在求解[DEAE]最小值的過程中分別采用了兩種方法：一是旋轉法，將題中條件集中在[△AE′H]中，利用三角形三邊關系求最值；二是全等法，將題中條件集中在[△AEN]中，利用三角形三邊關系求最值。

總之，求線段比最值的方法歸根結底就是轉化，把所求線段比轉化為另一組線段比，然后再把線段比轉化為求一條線段的最值，從而求得線段比的最值。

（責任編輯 黃桂堅）

1.兩相似正三角形的特征探究

2.兩相似正六邊形的特征探究

3.兩相似一般三角形的特征探究

4.兩相似一般四邊形的特征探究

5.兩相似多邊形的特征：

6.兩相似多邊形的性質：

“共生”一詞來源于生物學，指不同屬種的動植物之間，通過互相利用各自的特性和優勢共同生存的狀態，是指兩種不同生物之間所形成的緊密互利關系。“共生”一詞中“共”是共同之意，“生”是生長之意。

2022年4月21日，教育部頒布了《義務教育數學課程標準（2022年版）》，引發了新一輪的數學教學改革，數學教學更關注學段銜接、單元教學、項目式學習以及學業質量標準等問題。從2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》到2011年頒布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》再到2022年頒布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》），回顧20年的課程改革歷程，2001年提出“雙基”，數學教學開始關注學生的成長，關注學生的數學學習過程，關注學生的情感態度與價值觀，教與學的方式開始發生轉換；2011年提出“四基”“四能”，明確數學教學要引導學生積累數學基本活動經驗、感悟數學基本思想，培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，同時明確提出教學活動是師生共同參與、交往互動、共同發展的過程，表明課程目標中的過程與結果同等重要；2022年提出“三會”以及核心素養，改革的重心指向學科的整體規劃、協同推進，將數學核心素養從小學、初中到高中連貫起來，選擇引發學生思考的教學方式，進一步加強綜合與實踐，整體把握教學。

筆者認為，不斷修訂課程標準的根源在于社會發展帶來的學生學習環境的變化以及社會對教育需求的提升。隨著義務教育的普及，教育需求從“有”轉向“優”，進一步明確“培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人”，優化育人藍圖。從這種意義上來說，數學教學需兼顧教學內容、教學手段、學生的學習與思考過程、教師的教學規劃與實施過程。教師在設計教學時更需要關注學生、自身和教學內容之間的互動與共生，打造“共生課堂”，以“共生課堂”撬動課堂“生長”。

一、精心設計預習前測，實現學生與學習資源的“共生”

學生是學習的主體，預習是學生學習的第一步，也是實現學生有效學習的基礎。但是，學生的預習多停留于對課本的粗略閱讀，對知識的了解浮于表面，沒有深入的思考，更缺乏提出問題的意識和能力，這樣的預習不會帶動學生知識和思維的“生長”。對此，教師精心設計預習前測，不僅可以幫助學生有效閱讀課本知識，還能促進學生深度思考，實現學生與學習資源的“共生”。

例如，在人教版八年級上冊“軸對稱”的教學中，為促進學生的有效預習，以及實現學生與學習資源的“共生”，筆者設計了預習前測理解單。

最短路徑問題前測理解單

1.閱讀以下問題和解答過程。

如圖1所示，在公路m同側有兩個工廠A、B，現要在公路上建一個倉庫Q，使其到A、B兩個工廠的距離之和最短，倉庫Q應建在何處？

某同學正確畫出了圖形，并寫出了畫圖過程。

解：如圖2所示，①畫出點[A]關于公路[m]的對稱點[A1]；②連接[A1]與[B]，直線[A1B]與公路[m]交于一點，該點即為倉庫[Q]所在的位置，此時倉庫Q到[A]、[B]兩工廠距離之和最短。

請你回答：這位同學斷定倉庫應建在“直線[A1B]與公路[m]的交點[Q]”的主要依據是（）。

A.垂線段最短

B.兩點確定一條直線

C.兩點之間，直線最短

D.兩點之間，線段最短

2.如圖3所示，直線[l]是一條河，[P]、[Q]兩地在河的同側，欲在l上的某點[M]處修建一個水泵站，向[P]、[Q]兩地供水，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的管道，則鋪設的管道最短的是（）。

A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B

C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D

3.如圖4所示，在平面直角坐標系中，點A（-2，4），B（4，2），在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，則點P的坐標是（）。

A.（-2，0）? ? ? ? ? ?B.（4，0）

C.（2，0）? ? ? ? ? ? ?D.（0，0）

本節內容較抽象，學生在閱讀理解課本內容時有一定的難度，甚至有不少學生在上完新課后可能仍對其中涉及的概念和原理感到困惑，所以通過設計前測理解單，幫助學生有目的地閱讀，更能幫助學生逐步深入掌握本節內容。教師還錄制了微視頻供學生結合課本內容一起學習。通過微視頻學習，學生了解如何將實際問題抽象為數學的線段和最小值問題， 即“將軍飲馬問題”，理解通過軸對稱實現將線段和最小值問題轉化為“兩點之間線段最短”問題，感悟轉化思想， 理解如何通過邏輯推理證明所求距離最短，體會“任意”在數學證明中的重要作用。

二、巧妙創設情境，實現教師與學生的“共生”

《課標》指出，選擇能引發學生思考的教學方式，強化情境設計與問題提出，注重發揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發展核心素養。在教學設計過程中，教師不斷思考如何創設真實情境和合理的問題，以引發學生的思考，激發學生的學習興趣，促進學生知識和思維的“生長”。為此，教師需要更深入地探索數學知識與生活的聯系，以及數學知識在生活中的運用。教師要用數學的眼光觀察和思考生活中的問題，并將問題與所教授的數學內容緊密銜接，從而引出課堂學習的內容。教師的思考與問題設計不僅有利于促進學生對數學知識的學習與思考，還有利于提升教師的教學能力，促進教師的專業發展。

例如，在人教版九年級上冊“數據的收集與整理”單元中的“加權平均數”的內容教學中，教師創設超市購物的情境，讓學生用數學的眼光觀察生活中的問題，促進學生知識和思維的“生長”。

活動1：情境引入

為歡度國慶，同學們準備開展“迎國慶”主題班會，需要購買10斤果凍。超市有果肉、乳酸兩種果凍，果肉果凍每斤20元，乳酸果凍每斤15元。為滿足大家的不同口味，同學們可以怎樣搭配呢？

思考：這幾種購買方案的平均單價一樣嗎？如果不一樣，哪種購買方案的平均單價更低呢？為什么？

[方案 果肉果凍20元/斤 乳酸果凍15元/斤 平均單價（元/斤） ① 1 9 ② 4 6 ③ 3 7 ④ 2 8 ⑤ 5 5 ⑥ W1 W2 ]

教師創設問題情境，并以問題串的形式呈現，引發學生的思考，讓學生在實際問題中自己設定購買方案，并發現各個購買方案的平均單價的不同。學生從已有的數學經驗出發，提出合理猜想。學生根據生活經驗可以猜想第①種購買方案的平均單價可能最低，從中體會到由于果凍比重的不同導致平均單價的不同，由生活實際引出加權平均數，使學生快速投入數學活動中。讓學生通過猜想、觀察體會果凍的重量對果凍的平均價格的影響，使學生初步體會加權平均數的“權”作用。

活動2：明晰概念

（1）第①種購買方案的平均單價是多少？如何計算？有哪些不同的計算方法？

（2）其他購買方案的平均單價是多少？

讓學生獨立分析第①種購買方案中的平均單價。

教師應關注學生可能提出的不同解法，引導學生比較兩種解法的區別，選擇最優方法，給予肯定，并鼓勵學生學習數學要大膽猜想、仔細驗證。在學生猜想的基礎上進一步提出問題，讓學生用嚴密的數學計算來驗證猜想的正確性，并通過解題過程讓學生獲得成功的體驗，讓學生清楚加權平均數的大小不僅受到各組數據值的大小的影響，而且受到各組值出現次數多少的影響。

又如在湘教版八年級上冊“平方根”的教學中，教師通過地板磚的鋪設實例引入教學內容，并圍繞學習任務，選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知規律的素材開展教學，讓學生感受數學學習的實用性，激發學生的學習興趣。

問題：某家庭在裝修兒童房時需鋪地磚10.8 m2，剛好用去正方形的地磚30塊。你能算出每塊地磚的邊長是多少嗎？

學生思考并作答。

師：如何計算正方形的邊長？

教師展示學生的思考過程，并強調此題是已知面積求邊長。

師：如果每個正方形的面積為1、4、9時，邊長又是多少？

學生思考并作答，教師強調計算出邊長的依據。

師：如果每個正方形的面積為5 m2，邊長又是多少？如果每個正方形的面積為a m2，邊長又是多少？

讓學生體驗已知一個數的平方求這個數的過程，為歸納平方根的概念做好鋪墊，同時提出問題，讓學生產生認知沖突，激發學生的求知欲。

對于比較抽象的函數概念的引入，學生很難體會變量之間的對應關系。對此，教師可以選擇國慶假期的閱兵式的情境，讓學生體會變量之間的對應關系，引發學生的思考。

問題情境：

1.請同學們觀看國慶閱兵的視頻，觀察視頻中的數學現象并提出數學問題。

生1：視頻中的數學問題是士兵踢正步時速度不變，只是踢正步的步子數和路程在變化，哪些是變量？它們之間有什么關系？

教師結合學生的回答列表：

[步子數[x] 路程[y] 1 75 2 150 3 225 [?]? ? ? ? ? ? ? ? ? [?]? ? ? ? ? ? ]

提問：剛才提出的數學問題中哪些是常量，哪些是變量？這些變量是怎么變化的？

2.生活中這樣的問題很多，請同學們再舉一些生活中含有變量的實例。

學生展示生活中含有變量的實例，討論：常量有哪些？變量有幾個？分別是哪些變量？它們之間有什么關系？ 這些變量是怎樣變化的？

從生活入手，讓學生學會觀察生活中的數學問題，以精準而高效的方式指明本節課的學習內容，隨后讓學生回顧舊知識，并分享個人實例。這樣，既復習了上節課的內容又引入了本節課的內容，同時提高學生把所學數學知識與現實世界相聯系的意識和能力，讓學生體會到數學與生活的緊密聯系。

三、擴大思維空間，實現學生與學生的“共生”

教學內容是落實教學目標，發展學生核心素養的載體。課程實施過程中，教師需要對教學內容進行整體分析與拆解、重構處理，通過學習活動讓學生體會數學知識的產生與發展、結構與關聯，從而把握其價值與意義。學生通過參與學習活動，與同伴協作交流，在收獲知識的同時，擴大了思維的空間，提升了核心素養，實現了思維的生長。

例如，人教版九年級下冊“相似三角形”一節，教材只出示一個探究兩個相似的正三角形和兩個相似的正六邊形的對應邊和對應角的關系的問題，并不能體現數學研究問題從特殊到一般、從簡單到復雜的過程，因此不利于學生之間的有效學習與交流。為此，教師就要將一個大的問題拆解成幾個小問題，從特殊的正三角形出發，研究相似三角形的邊、角特征，然后再擴充到較復雜的相似正六邊形的邊、角特征，在研究了邊、角特殊的多邊形后（如圖5），讓學生討論邊與角一般的三角形、四邊形、多邊形，再一次體會從簡單到復雜、從特殊到一般的數學分析過程，從而體會研究數學問題的基本方法和思路， 落實“會用數學的思維思考現實世界”的目標。

[1.兩相似正三角形的特征探究

2.兩相似正六邊形的特征探究

3.兩相似一般三角形的特征探究

4.兩相似一般四邊形的特征探究

5.兩相似多邊形的特征：

6.兩相似多邊形的性質： ]

四、堅持教學反思，實現教師技能的“生長”

教學是一門充滿未知色彩的藝術，即使一節課從備課的準備到課堂的呈現，教師都做了充分的準備和進行了仔細的打磨，但由于課堂上學生群體的不同，出現的問題也不盡相同。這就需要教師不斷根據學生的表現，結合教材中的知識體系，堅持進行每一節課的課后教學反思。通過反思，思考教學內容，調整教學的方式和方法，這樣不僅能更有效地促進學生學習，還能促進教師對教學內容的理解和把握，提高教師的教學技能，實現教師的專業發展。

課堂的“生長力”直接決定了課堂的實效。教師需要精心設計預習前測，巧妙創設情境，有效設計活動，以擴大學生的思維空間，努力實現學生與學習資源、教師與學生、學生與學生的“共生”。通過教師的教學反思，實現教師技能的“生長”，讓教師的“生長”推動學生的成長，讓學生的成長帶動教師的“生長”，進而實現課堂的“共生”。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 湯虹.指向初中生數學概念理解的數學文化融入研究［D］.寧波：寧波大學，2022.

［2］? 陳江紅.渝中區“共生課堂”課時教學案例設計：一元二次方程及解法［J］.進展，2020（23）：73-75.

［3］? 張勇.在體驗中走向共生：初中數學共生課堂體驗式教學的嘗試與思考［J］.理科考試研究，2017（8）：35-36.

［4］? 丁兆全.初中數學共生課堂體驗式教學的嘗試與思考［J］.新課程教學（電子版），2020（6）：77.

（責任編輯 黃桂堅）