初中數學反比例函數常見題型分析

許志興

［摘 要］反比例函數是初中數學的一類較為重要的函數，其在中考數學試卷中頻繁出現。與其他函數相比，反比例函數具有一定的特殊性，無論是基礎性質，還是相關圖象，均與眾不同，這使其成為中考數學考查的熱點。文章結合實際問題，總結反比例函數的基礎概念問題、圖象性質問題、面積問題、最值問題及綜合問題等常見題型，旨在幫助學生熟練掌握反比例函數的常見考點，促使學生有效解答反比例函數問題。

［關鍵詞］反比例函數；常見題型；初中數學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0035-03

反比例函數因具有特殊性質而成為中考數學的常見考點。在實際的考題中，除了對反比例函數的基礎性質進行考查，還會將反比例函數與一次函數、三角形、平行四邊形等進行綜合考查。因此，需要掌握的知識點較多，導致學生在解答問題時效率不高。為了幫助學生熟練掌握反比例函數的常見考點，筆者結合實際問題對中考中反比例函數的常見題型進行分析。

一、基礎概念問題

反比例函數的基礎概念是常見的考點之一，這類考點主要在選擇題及填空題中進行考查。反比例函數基礎概念問題主要考查學生對反比例函數基礎知識的掌握程度，難度較小，需要學生熟練掌握反比例函數的基本性質。

［例1］如圖1所示，平行四邊形[OABC]的頂點[O]為坐標原點，[A]在[x]正半軸，[B、C]在第一象限，反比例函數[y=1x]的圖象過點[C]，[y=kx（k≠0）]的圖象過點[B]，若[OC=AC]，則[k=]? ? ? ? ? ?。

解析：因為點[C]在反比例函數[y=1x]圖象上，所以可設點[C]的坐標為[m，1m]，

因為[OC=AC]，可知[A（2m，0）]，

因為[OABC]為平行四邊形，

所以點[B]的坐標為[3m，1m]。

因為點[B3m，1m]在[y=kx（k≠0）]的圖象上，

所以[k=3m×1m=3]。

評析：本題在求解[y=kx（k≠0）]中[k]的取值時，需要借助反比例函數[y=1x]上的點[C]，而后根據平行四邊形[OABC]的性質，表示出[y=kx（k≠0）]上點[B]的坐標，進而求得[k=3]。

二、圖象性質問題

反比例函數圖象的性質是反比例函數問題的重要考點，與其他函數的圖象不同，反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。對于反比例函數[y=kx（k≠0）]，其圖象為雙曲線，會無限接近于[x]軸和[y]軸，但不會相交。當[k>0]時，圖像位于一、三象限，[y]隨[x]增大而減小，當[k<0]時則相反。另外，在反比例函數的圖象上任取一點，向[x]軸和[y]軸作垂線，所構成矩形的面積為[k]，這是解答面積問題時常用的方法。在實際的考試中，會有諸多考查反比例函數的圖象性質的題目，故需要靈活掌握。

［例2］如圖2所示，雙曲線[y=kx]與直線[y=mx]相交于[A、B]兩點，點[B]的坐標為[（-2，-3）]，則點[A]的坐標為（ ）。

A.（-2，-3）? ? ?B.（2，3）? ? ?C.（-2，3）? ? D.（2，-3）

解析：因為雙曲線[y=kx]與直線[y=mx]相交于[A、B]兩點，所以可以畫出關于原點[（0，0）]對稱的中心對稱圖形，點[B]的坐標為[（-2，-3）]，利用中心對稱特點，可得點[A]的坐標為[（2，3）]，故正確答案為[B]。

評析：本題主要考查雙曲線圖象的中心對稱特點，當雙曲線[y=kx]與直線[y=mx]相交于[A、B]兩點時，[A、B]兩點關于原點中心對稱，即點[B]的坐標為（-2，-3）時，點[A]的坐標為[（2，3）]。

三、面積問題

反比例函數面積問題的題型較為靈活。在實際解題中，常用的解題方法有數形結合法、求[k]值法、割補法等。如常用解題方法“割補法”，在面積問題中可以通過分割或者補充，將原本不規則的圖形轉化為規則圖形，進而解答問題。

［例3］如圖3所示，點[P（m，1）]，[Q（-2，n）]在反比例函數[y=4x]的圖象上，過點[P]分別向[x]軸和[y]軸作垂線，垂足分別為[M、N]，連接[OP]、[OQ]、[PQ]，若四邊形[OMPN]面積為[S1]，[△POQ]的面積為[S2]，則（ ）。

A. [S1]∶[S2=2]∶[3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. [S1]∶[S2=1]∶[1]

C. [S1]∶[S2=4]∶[3]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D. [S1]∶[S2=5]∶[3]

解析：因為點[P（m，1）]、[Q（-2，n）]在反比例函數[y=4x]的圖象上，所以[m×1=-2n=4]，

所以[m=4]，[n=-2]，所以[P（4，1）]、[Q（-2-2）]，

因為過點[P]分別向[x]軸和[y]軸作垂線，垂足分別為[M、N]，

所以[S1=4]。

如圖4所示，作[QK⊥PN]，交[PN]延長線于點[K]，

則[PN=4]，[ON=1]，[PK=6]，[KQ=3]，

所以[S2=S△PQK-S△PON-S梯形ONKQ=12×6×3-12×4×1-12×（1+3）×2=3]，

所以[S1]∶[S2=4]∶[3]，故正確選項為[C]。

評析：在本題中出現了“斜三角形”這一元素，但其邊沒有落在坐標軸上。因此，可以借助割補法進行解題。將斜三角形轉變為直角三角形、直角梯形等，進而求解。計算可得[S1=4]，將[S2]轉化為[S△PQK-S△PON-S梯形ONKQ]進行解答。

四、最值問題

在函數的應用中，最值問題是一類常見的問題，最值問題在反比例函數中也是頻繁出現。在解答最值問題時，常用的方法有模型法、函數法、圖形法及性質法等。雖然有較多的解題方法，但是在實際的解題中還需要學生結合實際問題，根據題目信息，靈活選擇合適的解題方法，進而提高解題效率。其中，最短路徑模型是解答最值問題的常用方法，即通過兩點間直線距離最短，確定取得最值時的點，進而求解。

［例4］已知[A、B]為反比例函數[y=-4x]圖象上的兩點，橫坐標分別為[-1]，[-2]。點[P]為[y=x]上一動點，當[PA+PB]最小時，點[P]的坐標為（ ）。

A. [12，12]? ? ? ? ? ? ? ? ? B. [23，23]

C. [（1，1）]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. [32，32]

解析：因為[A]、[B]在[y=-4x]的圖象上，橫坐標為[-1]，[-2]，所以[A（-1，4）]，[B（-2，2）]，作點[B]關于[y=x]的對稱點[C]。

由反比例函數性質可知，[B]、[C]關于原點對稱，則C（2，-2）。

如圖5所示，連接[AC]和[y=x]交于點[P]，此時[PA+PB=PA+PC=AC]最小。

設直線[AC]的方程為[y=kx+b]，

將[A、C]的坐標代入可得[k=-2]，[b=2]，

則直線[AC]的方程為[y=-2x+2]，

將其與[y=x]聯立可得[x=y=23]，

即點[P]的坐標為[23，23]，故正確答案為[B]。

評析：在本題中，根據[A]、[B]在[y=-4x]的圖象上，橫坐標為[-1]，[-2]，則可得[A（-1，4）]，[B（-2，2）]，此時可以畫出相應的圖象。由反比例函數性質可知C（2，-2）。連接[AC]和[y=x]交于點[P]，此時[PA+PB=PA+PC=AC]最小。故此時可確定點[P]的位置，進而結合直線方程進行求解即可。

五、綜合問題

一些復雜的反比例函數題目會將反比例函數與幾何圖形、其他函數等知識點進行綜合考查。這類問題涉及的知識點較多，通常較為復雜。在實際的解題中，需要學生結合實際問題進行靈活分析，其中最為基礎的是熟練掌握反比例函數及其他相關知識。

［例5］如圖6所示，直線[y=-2x+4]與[y]軸、[x]軸分別相交于[A]、[B]兩點，將射線[AB]繞點[B]順時針旋轉到[BC]，使得[∠ABC=∠ABO]，反比例函數[y=kx（x>0）]的圖象經過點[C]，[CD⊥OB]于點[D]，且[S△BCD=32]，則[k=]? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：因為直線[y=-2x+4]與[y]軸、[x]軸交于[A]、[B]兩點，所以[A（0，4）]，[B（2，0）]，

所以[OA=4]，[OB=2]，

在[BC]中截取[BP]，使[BP=OB]，如圖7所示，連接[OP]交[AB]于點[Q]，

因為[∠ABC=∠ABO]，

所以[OP⊥AB]，[OQ=QP]，

因為直線[AB]的方程為[y=-2x+4]，且[OP⊥AB]，

因為[kOP·kAB=-1]，

所以直線[OP]的方程為[y=12x]，

聯立[y=-2x+4]與[y=12x]可得，

[x=85]，[y=45]，

所以[Q85，45]，[P165，85]，

設直線[BC]的方程為[y=kx+b]，

將[B（2，0）]，[P165，85]

代入得[2k+b=0，165k+b=85，]解得[k=43，b=-83。]

所以直線[BC]的方程為[y=43x-83]，

設[CD=h]，

因為[S△BCD=32]，所以[12BD·CD=32]，[BD=3h]，[OD=2+3h]，

所以將[C2+3h，h]代入[y=43x-83]，得[h1=2]或[h2=-2]（舍去）。

所以[C72，2]，因為反比例函數[y=kx（x>0）]的圖象經過點[C]，所以[k=72×2=7]，故[k=7]。

評析：在本題中，通過直線方程可得[OA=4]，[OB=2]，在[BC]中截取[BP]，使[BP=OB]，連接[OP]交[AB]于點[Q]，根據等腰三角形性質可得直線[OP]的方程為[y=12x]，通過聯立方程可得[P165，85]。由待定系數法可得直線[BC]的方程為[y=43x-83]。在此基礎上，設[CD=h]，將[C2+3h，h]代入[y=43x-83]，得[h1=2]。由[C72，2]在[y=kx（x>0）]的圖象上，可得[k=7]。

綜上所述，反比例函數是中考數學的常見考點，本文結合實際問題，總結了中考數學中反比例函數的常見題型，即反比例函數基礎概念問題、圖象性質問題、面積問題、最值問題及綜合問題，并分析相關問題的解題方法。這就要求學生要結合常見問題，總結解題規律，以期在考試中能夠快速解答問題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 林藝彬.利用反比例函數圖像對稱性巧解題［J］.數理化解題研究，2022（35）：23-25.

［2］? 徐魯璐.解反比例函數綜合題的兩種方法［J］.初中生必讀，2023（6）：32-34.

［3］? 丁慧.反比例函數的三種常見考點［J］.現代中學生（初中版），2023（6）：41-42.

（責任編輯 黃春香）